将军饮马问题教学文案

1、将军饮马问题精品资料第一讲将军饮马问题学习要点与方法点拨一、主要内容 （1）将军饮马问题的概念。（2）将军饮马问题在坐标系、一次函数、三角形、正方形中的应用。（3）将军饮马问题与勾股定理。二、 本章重点掌握将军饮马问题的概念和解题思路，能解决将军饮马问题和一次 函数、坐标系、几何图形和勾股定理等的综合习题。课前预习轴对称的性质与作法；一次函数的性质；勾股定理的性质；三角形、矩形、正方形的性质；三角形的三边关系、平移的性质。、将军饮马问题的概念和基本思路起源：古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有 位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，有一位将军从

2、位于 A点的军营，返回位于B点的家中，途中需要到达一 条小河MN边，让马去河里喝水。那么，该如何选择路径，才能使将军回家的过程 中，走过的路程最短？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题A MN初一看，这个问题好像没有什么思路，那我们先把问题的概念转换一下。这个问题中A点和B点在河MN的同一侧，那么，如果 A点和B点在河MN的不同侧呢？这时我们好像有一点眉目了，我们要利用的定理就是：两点之间直线最短，先找线路再找点。那我们再回到最开始时的问题，是不是有了启发呢？思路：为了找线路，可以利用轴对称的原理，先做对称，再转化成三角形的三边关系。例1,如图，一匹

3、马从S点出发，先去河0P边喝水，再去草地0Q吃草，然后再回到S点。该如何选择线路，使得经过的总路程最短?草地O M例1图例2图二、将军饮马与坐标系例2,已知A(2,3)、B(3,2)，M是x轴上的一个动点，N是y轴上的一个动点, 求AN+NM+B的最小值，并求出此时M N的坐标。思路：作对称两段折线f作一次对称f转化折线二段折线 T作两次对称 T转化折线连线段f最小值例 3,已知 A(-3,4)、B(-2,-5)、M(O,m)、N(0,m+1)，求 BM+MN+AN最小值，并 求此时对应的m的值。运用平移的性质例4,已知A(4,1)、B(-3,-2)，试在x轴上找一点C,是|AC-BC|最大，

4、求出点C 的坐标和这个最大值。构造三角形，运用三角形的边长关系三、将军饮马问题解题思路的归纳学习了几个常见的例子，我们再来整理一下思路。首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。1. 怎么对称，作谁的对称？简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说 只有定点才可以去作对 称的。(不确定的点作对称式没有意义的)那么作谁的对称点？ 一首先要明确关于对称的 对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？-一般而言都是动点所在直线。2. 对称完以后和谁连接？一句话：和另外一个顶点相连_。绝

5、对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。3. 所求点怎么确定？首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点_。实际就是我们 所画直线和 已知直线的交点。4将军饮马一定是求最短距离吗？肯定不是。或者说求最短距离是将军饮马中的最简单一类题目。根据将军饮马的基 本模型可以拓展出很多题型。根本原因是因为在作轴对称过程中不但是作了点的对称， 还作了边长和角度的对称！或者说.边长和角度的对称才是最关键_。四、将军饮马与勾股定理例5,如图，将军的军营在 A处，与河岸的距离0A=4km将军的家在B处。且 QA=7km QB=8km他下班回家的路上先把马牵到小河边去饮水，然后再回到家中

6、，求他 下班回家要走的最短路程。O小河|PA?B/A4 'QB例5图例6图 O A A2Q例6,如图，/ POQ = 20°, A为OC上的点，B为OP上的点，且OA=1 OB=2 在OB上取点A，在OC上取点 A ,求AA + AA + A2B的最小值。例 7，Z AOB = 45°, P是/ AOB内一点，PO = 10，Q R分别是 OA OB上的动 点，求 PQR周长的最小值。五、三角形、正方形中的将军饮马例8,如图，在等边厶ABC中, AB=6 ADLBC, E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2求EM+E（的最小值例9,如图，在锐角厶ABC中,

7、AB=42 / BAG45°,/ BAC的平分线交BC于点 D, M N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MI®最小值是。例10,如图，正方形 ABCD勺边长为8, M在DC上,且DM= 2, N是AC上的一动 点，DW MN勺最小值为上一动点，连接PB PQ则厶PBQ周长的最小值为cm例12, 次函数y = kx + b 的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4).（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设 OA AB的中点分别为 C D, P为OB上一动点，求PC PD的最小值，并求取得最小值时 P点坐标.y例13,如图，在坐标系xOy中，有一条河，

8、河岸分别为x轴和直线MN直线MN与y轴的 交点为A（0,2），P、Q两地位于河的两岸，且 P（0,5）、Q（5,-1）。现在需要在河上架一座桥，（桥必须垂直于河岸），来沟通P、Q两地，求M桥的端点B、C的坐标，使得从P地到Q地的 路程最短。O C总结：将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离 是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现“线段a+b的最小值”这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“

9、点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11O1,已知A(-1,4) ，B(1,1)，在x轴上找一点C,使AC+BC最小。贝U C点的坐标是 ，AC+BC勺最小值是。2, 已知A(-1,3) ，B(-3,1) ，M是x轴上一动点，N是y轴上一动点，则当 AN+NM+MB小时，M的坐标是， N的坐标是。3, 已知

10、A(-4,4) ，B(-1,-3) ，M(O,m), N(0,m+1)，当 BM+MN+ASl小时，点 M的坐标是 最小值是。4,已知A(-4,5) , B(2,-2)，在x轴上找一点C,则当|AC-BC|最大时，点C的坐标是 最大值是5,如图，点A,B位于直线I的同侧，到直线I的距离AC = 10 , BD = 30，且CD = 30,在直线I上找到一点M,是AM+BI最短，则最短距离是BAMAP 直线ICDO NB题5图6,如图，/ AOB = 45°，点P在/ AOB内，且 OP = 3，点M,N分别为射线OA 0B上的 动点，则 PMN的周长的最小值为。7,如图，/ AOB

11、= 40°,点 P，Q都在/ AOB内, Z AOP = / BOQ = 10°,且 OP = OQ =B题7图题8图8,如图，Z AOB = 60°,点 P, Q都在Z AOB内, Z AOP = Z BOQ = 15,且 OP = 8,OQ = 6。在射线OA OB上分别存在点 M N,是PM+MN+N的值最小，则最小值是9,如图， ABC中, AB=2 Z BAC=30，若在AC AB上各取一点 M N,使BM+M的值 最小，则这个最小值是多少？题9图10,如图所示，正方形 ABCD勺面积为12,ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P,使PM PE的和最小，则这个最小值为 。11, 如图，若四边形 ABCD是菱形，AB=10cm Z ABC=45 , E为边BC上的一个动 点，P为BD上的一个动点，求 PC+PE的最小值.12, 如图，在锐角厶ABC中, AB = 4 , Z BAC = 45