第四章4[1]1定积分的概念与性质09

1、1第四章积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分定积分 2第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的性质定积分的性质定积分的概念及性质 第五五章 3一、定积分问题举例一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 a .?a)(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bah41xix1ixxabyo解决步骤解决步骤 :1) 大化小大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边

2、梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,ia得)()(1iiiiiixxxxfa),2, 1,nii53) 近似和近似和.niiaa1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1inix则曲边梯形面积niiaa10limniiixf10)(limxabyo1xix1ixi62. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动, ,)(21ttctvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1) 大化小大化小., ,1iiit

3、t任取将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经2) 常代变常代变.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分点中任意插入在ntt),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段过的路程为73) 近似和近似和.iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限8abxo二、定积分定义二、定积分定义 ( p88 ),)(上定义在设函数bax

4、f的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 i , 则称此极限 i 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .记作9baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(10 babaab

5、dxxfb, adxxf-dxxfba0)()()( ,2.2.曲边梯形的面积是曲边方程曲边梯形的面积是曲边方程 在区间在区间 上的定积分，即上的定积分，即)(xfy ba,)0)( )( xfdxxfaba badttvsbatv)( ,)(. 1内所经过的路程：内所经过的路程：在时间在时间变速变速113.定积分的几何意义定积分的几何意义:axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1a2a3a4a5a54321d)(aaaaaxxfba各部分面积的代数和a12定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上

6、有界在函数baxf且只有有限个间断点 4.可积的充分条件可积的充分条件:(证明略).,)(可积在baxf 5.5.若已知若已知f f( (x x) )可积可积，则说明积分值与，则说明积分值与 a,ba,b 的分法和的分法和 的取法无关，故的取法无关，故可取一种易于可取一种易于i 运算的特殊分法与特殊的来求定积分。运算的特殊分法与特殊的来求定积分。i 13o1 xyni例例1. 利用定义计算定积分.d102xx解解: 将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni2xy iiiixxf2)(则32ni14o1 xyniiinixf)(1niin1

7、231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy 注注15三、定积分的性质三、定积分的性质(设所列定积分都存在设所列定积分都存在) baxd. 3xxfkxxfkbabad)(d)(. 1 ( k 为常数) bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 2证证:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端ab16 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 4证证: 当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时,

8、可以永远取 c 为分点 , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(17abc当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(185. 若在 a , b 上0)(1iinixf则.0d)(xxfba证证:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1. 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(19推论推论2.xxfbad)(xx

9、fbad)(证证:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7. 设, )(min, )(max,xfmxfmbaba则)(d)()(abmxxfabmba)(ba 208. 积分中值定理积分中值定理, ,)(bacxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfba证证:,)(mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质性质7 可得mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.21oxbay)(xfy 说明说明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推