高中数学人教版选修11习题：第三章3.33.3.3函数的最大小值与导数 Word版含答案

1、起第三章导数及其应用3.33.3导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用3.3.33.3.3函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数a a 级级基础巩固基础巩固一、选择题一、选择题1 1下列说法正确的是下列说法正确的是( () )a a函数在其定义域内若有最值与极值函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值则其极大值便是最大值，极小值便是最小值极小值便是最小值b b闭区间上的连续函数一定有最闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值值，也一定有极值c c若函数在其定义域上有最值若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之则一定有极值；反之，若有极值若有极值，则一定有最值则

2、一定有最值d d若函数在给定区间上有最大若函数在给定区间上有最大( (小小) )值值，则有且仅有一个最大则有且仅有一个最大( (小小) )值值，但若有极值但若有极值，则可则可有多个极值有多个极值解析：由极值与最值的区别知选解析：由极值与最值的区别知选 d.d.答案：答案：d d2 2函数函数f f( (x x) )2 2x xcoscosx x在在( (，) )上上( () )a a无最值无最值b b有极值有极值c c有最大值有最大值d d有最小值有最小值解析：解析：f f( (x x) )2 2sinsinx x0 0 恒成立恒成立，所以所以f f( (x x) )在在( (，) )上单调递

3、增上单调递增，无极值无极值，也无最值也无最值答案：答案：a a3 3函数函数f f( (x x) )1 12 2x x2 2lnlnx x的最小值为的最小值为( () )a.a.1 12 2b b1 1c c不存在不存在d d0 0解析：解析：f f( (x x) )x x1 1x xx x2 21 1x x，且且x x00，令令f f( (x x)0)0，得得x x11；令；令f f( (x x)0)0，得得 00 x x1.00) )(1)(1)若若f f( (x x) )的最小值的最小值h h( (t t) )；(2)(2)若若h h( (t t)00) )，所以当所以当x xt t时时

4、，f f( (x x) )取最小值取最小值f f( (t t) )t t3 3t t1 1，即即h h( (t t) )t t3 3t t1.1.(2)(2)令令g g( (t t) )h h( (t t) )( (2 2t tm m) )t t3 33 3t t1 1m m，由由g g( (t t) )3 3t t2 23 30 0 得得t t1 1，t t1(1(不合题意不合题意，舍去舍去) )当当t t变化时变化时g g( (t t) )，g g( (t t) )的变化情况如下表：的变化情况如下表：t t(0(0，1 1) )1 1(1(1，2 2) )g g( (t t) )0 0g

5、g( (t t) )递增递增1 1m m递减递减所以对所以对t t(0(0，2 2) )，当当t t1 1 时时，g g( (t t) )maxmax1 1m m，h h( (t t)2 2t tm m对对t t(0(0，2 2) )恒成立恒成立，也就是也就是g g( (t t)0)0，对对t t(0(0，2 2) )恒成立恒成立，只需只需g g( (t t) )maxmax1 1m m01.1.故实数故实数m m的取值范围是的取值范围是(1(1，) )1010已知函数已知函数f f( (x x) )x x3 33 3x x2 29 9x xa a. .(1)(1)求求f f( (x x) )

6、的单调递减区间；的单调递减区间；(2)(2)若若f f( (x x) )在区间在区间 2 2，2 2 上的最大值为上的最大值为 2020，求它在区间求它在区间 2 2，2 2 上的最小值上的最小值解：解：(1)(1)因为因为f f( (x x) )3 3x x2 26 6x x9.9.令令f f( (x x) )0 0，解得解得x x1 1 或或x x3 3，所以所以 函数函数f f( (x x) )的单调递减区间为的单调递减区间为( (，1)1)，(3(3，) )(2)(2)因为在因为在( (1 1，3 3) )上上f f( (x x) )0 0，所以所以f f( (x x) )在在 1 1

7、，2 2 上单调递增上单调递增又由于又由于f f( (x x) )在在 2 2，11上单调递减上单调递减，且且f f( (2)2)8 812121818a a2 2a a，f f(2)(2)8 812121818a a2222a a，所以所以f f(2)(2)f f( (2)2)所以所以f f(2)(2)和和f f( (1)1)分别是分别是f f( (x x) )在区间在区间 2 2， 2 2 上的最大值和最小值上的最大值和最小值， 于是有于是有 2222a a2020，所以所以a a2.2.所以所以f f( (x x) )x x3 33 3x x2 29 9x x2.2.所以所以f f( (

8、1)1)1 13 39 92 27 7，即即f f( (x x) )最小值为最小值为7.7.b b 级级能力提升能力提升1 1设直线设直线x xt t与函数与函数f f( (x x) )x x2 2，g g( (x x) )lnlnx x的图象分别交于点的图象分别交于点m m，n n，则则| |mnmn| |达到最小达到最小值时值时t t的值为的值为( () )a a1 1b.b.1 12 2c.c.5 52 2d.d.2 22 2解析：由题意画出函数图象如图所示解析：由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出由图可以看出| |mnmn| |y yt t2 2lnlnt t( (t t0)0)y

9、 y2 2t t1 1t t2 2t t2 21 1t t2 2（t t2 22 2） （t t2 22 2）t t. .当当 0 0t t2 22 2时时，y y0 0，可知可知y y在在0 0，2 22 2 上单调递减；上单调递减；当当t t2 22 2时时，y y0 0，可知可知y y在在2 22 2，上单调递增上单调递增故当故当t t2 22 2时时，| |mnmn| |有最小值有最小值答案：答案：d d2 2若函数若函数f f( (x x) )axax3 3x x在实数集上有极值在实数集上有极值，则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_解析解析：因为因为f f( (x x) )a

10、xax3 3x x，所以所以f f( (x x) )3 3axax2 21 1，当当a a0 0 时时，f f( (x x) )3 3axax2 21010 在实在实数集上恒成立数集上恒成立，此时函数此时函数f f( (x x) )axax3 3x x在实数集上不存在极值在实数集上不存在极值当当a a00 时时，令令f f( (x x) )3 3axax2 21 10 0，得得x x1 13 3a a，由由f f( (x x)0)0 得得x x 1 13 3a a；由由f f( (x x)0)0 得得1 13 3a a x x 1 13 3a a，此时函数此时函数f f( (x x) )axa

11、x3 3x x在实数集上存在极值综上可知在实数集上存在极值综上可知，a a的取值范围为的取值范围为a a0.0.答案：答案：a a003 3设函数设函数f f( (x x) )x xx x2 23 3lnlnx x证明：证明：f f( (x x) )2 2x x2.2.证明：证明：f f( (x x) )的定义域为的定义域为(0(0，) )，设设g g( (x x) )f f( (x x) )(2(2x x2)2)2 2x xx x2 23 3lnlnx x则则g g( (x x) )1 12 2x x3 3x x（x x1 1） （2 2x x3 3）x x. .令令g g( (x x) )0 0，得得x x1 1 或或x x3 32 2( (舍去舍去) )当当 0 0 x x1 1 时时，g g( (x x) )0 0，当当x