常用逻辑用语知识点教师

1、 常用逻辑用语 目标认知考试大纲要求：1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2. 了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.重点：充分条件与必要条件的判定难点：根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。知识要点梳理知识点一：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命题有真

2、假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“”的真假判定方式： 若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如：一定推出. 若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.2. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.（2）复合命题的构成形式：p或q；p且q；非p（即命题p的否定）.（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：非真真假真真真假假

3、真假假真真真假假假真假假 当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； 当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。 “非p”与p的真假相反.注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“或”.（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”； “p且q” 的否定是“p或q”.（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。知识点二：四种命题1. 四种命题的形式：用p和q分别表

4、示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p.2. 四种命题的关系原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除、之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。知识点三：充分条

5、件与必要条件1. 定义：对于“若p则q”形式的命题：若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若既有pq，又有qp，记作pq，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.2. 理解认知：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论 推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.3. 判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等

6、价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3) 利用集合间的包含关系判断，比如AB可判断为AB；A=B可判断为AB，且BA，即AB.如图：“”“，且”是的充分不必要条件.“”“”是的充分必要条件. 知识点四：全称量词与存在量词1. 全称量词与存在量词全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可

7、表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.（II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。含有存在量词的命题，叫做特称命题特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.2. 对含有一个量词的命题进行否定（I）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p：，他的否定： 全称命题的否定是特称命题。（II）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p：，他的否定： 特称命题的否定是全称命题。注意：（1）命题的否定与命题的否命题是

8、不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。（2）一些常见的词的否定：正面词等于大于小于是都是一定是至少一个至多一个否定词不等于不大于不小于不是不都是一定不是一个也没有至少两个规律方法指导1. 解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真 假性一致.2. 要注意区分命题的否定与否命题.3. 要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，将二者相互对照可加深认识和理解.4. 处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明，必须证明充分性，又要证明必要

9、性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用定义和利用命题的等价性；求充要条件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条件.5. 特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。总结升华：1. 判断复合命题的真假的步骤： 确定复合命题的构成形式； 判断其中简单命题p和q的真假； 根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.2. 条件“或”是“或”的关系，否定时要注意.类型二：四种命题及其关系2. 写出命题“已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。解析：逆命题：已知是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题； 否命题：已知是实数，若ab0，则a

10、0且b0，真命题； 逆否命题：已知是实数，若a0且b0，则ab0，真命题。总结升华：1.“已知是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；2. 互为逆否命题的两个命题同真假；3. 注意区分命题的否定和否命题. 类型三：全称命题与特称命题真假的判断总结升华：1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立可；2. 要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.类型四：充要条件的判断总结升华：1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结

11、论；2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特别是与关系.类型五：求参数的取值范围总结升华：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论总结升华：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的基本策略。类型六：证明总结升华： 1. 利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）.从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，或以“至多”、“至少”形式出现，或关于唯一性、存在性问

12、题，或者结论的反面是比原命题更具体更容易研究的命题.2. 反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题总结升华：1. 对于充要条件的证明，既要证明充分性，又要证明必要性，所以必须分清条件是什么，结论是什么。2. 充分性：由条件结论；必要性：由结论条件.3. 叙述方式的变化（比如是的充分不必要条件”等价于“的充分不必要要条件是”）.【若则命题】命题的常见形式为“若p则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论。【逆命题】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。也就是说，如果原

13、命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”。【否命题】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题称为互否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题。也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若¬p，则¬q”。【逆否命题】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若¬q，则¬p”。四种命题的关

14、系：四种命题的真假关系：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假（1） 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2） 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假。（1）等底等高的两个三角形是全等三角形；（2）在中，若，则。例2：已知函数是上的增函数，证明：若，则。例3：已知集合A、B，全集，给出下列四个命题若，则；若，则；若，则;若，则则上述正确命题的个数为( )A1B2C3D4习题1：下列命题中，真命题是（ ）A命题“若，则” B命题“若，则”的逆命题C命题“当时，”的否命题 D命题“相似三角形的对应

15、角相等”的逆否命题习题2：命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）A若一个数是负数，则它的平方不是正数 B若一个数的平方是正数，则它是负数C若一个数不是负数，则它的平方不是正数 D若一个数的平方不是正数，则它不是负数习题3：证明：若，则。习题4：给出命题：若，则x=1或x=2； 若，则；若x=y=0，则； 若，xy是奇数，则x，y中一奇，一偶那么（ ）A的逆命题为真 B的否命题为真 C的逆否命题为假 D的逆命题为假知识点二：充分条件与必要条件充分条件：一般地，对于命题若“p,则q”，由p通过推理可以得出q，记作pq，则称p是q的充分条件。必要条件：一般地，对于命题若“p,则q”

16、，由q通过推理可以得出p，记作pq，则称p是q的必要条件。充分必要条件：一般地，对于命题若“p,则q”，由p通过推理可以得出q，由q通过推理可以得出p，记作pq ，则称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件。充分条件与必要条件和集合的关系: ，相当于，即 或 ，即：要使成立，只要就足够了有它就行 ，相当于，即 或 ，即：为使成立，必须要使缺它不行。例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？必要条件？充分必要条件？ 、若x>3 ，则x>2 ； 、若x=1 ，则x2-4x+3=0； 、若f(x)=x，则f(x)在上为增函数例2：求证：关于的一元二次不等式对

17、于一切实数都成立的充要条件是例3：给出下列四个命题： 有理数是实数；有些平行四边形不是菱形； "xR，x2-2x>0；$xR，2x+1为奇数. 以上命题的否定为真命题的序号依次是（）ABCD 习题1：判断下列问题中，p是q的充分条件吗？必要条件？充分必要条件？、p: a>b q: ac>bc；、p: x为无理数 q: x2为无理数;、p: x>a2+b2 q: x>2ab ;、p:两条直线的斜率相等； q:两条直线平行。习题2：下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （）p:b0,q:函数f(x)ax2bxc是偶函数； （）p:x 0,y 0,q: xy 0

18、； （）p: a b ,q: a + c b + c。习题3：1的一个充分不必要条件是( )AxyBxy0 CxyDyx0习题4：命题“若ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 .知识点三：简单的逻辑联结词(或、且、非)或：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作pq，读作“p或q”。当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当 p，q都是假命题时，pq是假命题。且：用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“p且 q”p,q两个命题都是真命题时，是真命题；当p，q其中一个是假命题或两个都是假命题

19、时，是假命题。非：(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作，读作“非p”或“p的否定”当p是真命题时，是假命题；当p是假命题时，是真命题。例题1：设集合M=0,1,2, Nx| x2-3x+20,则MN=()A.1B.2C.0,1D.1,2例题2：若A=2，4, 3227,B=1, 1, 222, (238), 3237，且AB=2，5，则实数的值是_例题3：已知集合A=,b, 2b，B=,c, c2若A=B，则c的值是_例题4：如果命题“非p为真”，命题“p且q”为假，那么则有（ ）Aq为真 Bq为假 Cp或q为真 Dp或q不一定为真习题1：(2014·唐山模拟)若集合M

20、y|y3x，集合Sx|ylg(x1)，则下列各式正确的是()A MSM BMSS CMS DMS习题2：已知集合A=x|x23x2=0,B=x|x2x1=0，且AB=A，则的值为_习题3：设集合,则满足的集合B的个数是（ ）A . 1 B .3 C .4 D . 8习题4：命题：“方程x2-2=0的解是x=”中使用逻辑联系词的情况是（ ）A没有使用逻辑联结词 B使用了逻辑联结词“且”C使用了逻辑联结词“或” D使用了逻辑联结词“非”习题5：用“充分、必要、充要”填空： 为真命题是为真命题的_条件； 为假命题是为真命题的_条件； , , 则是的_条件 知识点四：全称量词与存在量词（特称命题、全称

21、命题）(1)全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.(2)存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。含有存在量词的命题，叫做特称命题特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.注：全称命题的否定是特称命题，特称命题

22、的否定是全称命题。（3）全称量词与存在量词的否定。关键词否定词关键词否定词关键词否定词关键词否定词都是不都是至少一个一个都没有至多一个至少两个属于不属于例1：“ab”的含义是（ ）Aa，b不全为0 Ba，b全不为0 Ca，b中至少有一个为Da，b中没有例2：下列命题中，真命题的个数为（ ）对所有正数x，； 不存在实数x，使x<4且x2+5x=24；存在实数x，使得|x+1|1且x2>4 ； 33.A1B2 C3D4习题1：下列全称命题末位是的整数，可以被2整除；不相交的两条直线是平行直线；偶函数的图像关于y轴对称；正四面体中两侧面的夹角相等；其中真命题的个数为( )Al B2 C3

23、 D0习题2：命题“非空集A中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是 的形式；命题“非空集AB中的元素是A中元素或B中的元素”是 的形式；命题“非空集CUA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是 的形式.习题3：命题“$xR，x1或x2>4”的否定为l命题“若是奇函数，则是奇函数”的否命题是（ ）A若是偶函数，则是偶函数 B若不是奇函数，则不是奇函数C若是奇函数，则是奇函数 D若不是奇函数，则不是奇函数2一个命题及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中（ ） A真命题的个数一定是奇数 B真命题的个数一定是偶数C真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D上述判断都不正确3. 已知，命题“若，则

24、”的否命题是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则4. 命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是_ 5.有下列命题：（ ）“若，则互为倒数”的逆命题；“相似三角形的周长相等”的否命题；“若，则方程有实根”的逆否命题； “若，则”的逆否命题其中真命题是 （填序号）。6.（1）“ab=0”的一个充分条件是 。 （2）“x<3”的一个必要条件是 。7.证明：若，则。8.判断下列各组问题中，q是p的充分条件？必要条件吗？充分必要条件？、p:x|x>3 q:x|x>5 ;、p: x|x>0 q:x|x0 ;、p:同位角相等 q:两直线平行 ;、p:四边形对角线相等 q:四边

25、形是平行四边形9.判断下列命题的真假：“”是“”的充分条件；“”是“”的必要条件； “”是“” 的必要条件；（其中A,B是集合） “函数是奇函数”是“”的充分条件.课后练习：一、选择题：1一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中 （ ）（A）真命题与假命题的个数相同 （B）真命题的个数一定是奇数（C）真命题的个数一定是偶数 （D）真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数2.以下命题正确的是 （ ）(A) ( B) (C) (D) 3“用反证法证明命题“如果x<y，那么 <”时，假设的内容应该是（ ）（A） （B） < （C）且< （D）或>4“a1或b2”

26、是“ab3”的 （ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要5设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的 （ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要6.“至多有一个”的否定是 （ ）(A) 至少有一个 ( B) 至少有两个 (C) 恰有两个 (D) 一个也没有7“若xa且xb，则x2（ab）xab0”的否命题（ ）（A）若xa且xb，则x2（ab）xab0 （B）若xa或xb，则x2（ab）xab0（C）若xa且xb，则x2（ab）xab0 （D）若xa或xb，则x2（ab）xab08“”是“