第五章51第二型曲线积分

1、一、一、第二型第二型曲线积分的概念与性质曲线积分的概念与性质二、二、第二型第二型曲线积分的计算法曲线积分的计算法 三、两种曲线积分之间的联系三、两种曲线积分之间的联系 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二型曲线积分第二型曲线积分 第五章第五章 1. 引例引例: 变力沿平面曲线所作的功变力沿平面曲线所作的功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在在 oxy 平面内从点平面内从点 a 沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧 l 移动到点移动到点 b, ablxy求移求移cosabfw “分割分割” “替代替代”“求和求和” “取极限取极限”常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功

2、解决办法解决办法:动过程中变力所作的功动过程中变力所作的功w.abf abf),(, ),(),(yxqyxpyxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 jqip1kmkmabxy2) “替代替代”l把l分成 n 个小弧段,有向小弧段kkmm1),(kkyx近似代替, ),(kk则有kkkkyqxp),(),(kk所做的功为,kwf 沿kkmm1kkkkmmfw1),(k),(kkfnkkww1则用有向线段 kkmm1kkmm1上任取一点在kykx机动 目录 上页 下页 返回 结束 1km4) “取极限取极限”nkw1kkkkkkyqxp),(),(nkdw10limkk

3、kkkky)q(x)p,(其中d 为 n 个小弧段的 最大长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 kmabxyl),(kkfkykx设设 l 为为oxy 平面内从平面内从 a 到到b 的一条的一条有向光滑有向光滑曲线曲线,l分割成分割成n个有向小弧段，个有向小弧段，在在弧段弧段 在在 x 轴和轴和 y 轴上的投影分别为轴上的投影分别为在在 l 上有界。用分点上有界。用分点上任取一点上任取一点),(, ),(yxqyxp机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(000yxma byxmyxmyxmnnn),(),(),(，222111把有向曲线把有向曲线iimm1),(

4、ni21iimm1第第 i 个小个小，1iiixxx 1iiiyyy 和和iimm1),)(,(niii21iiixp ),(iiiyq ),(ni 1作和作和记记 为为 n 个小弧段长度的个小弧段长度的 最大值，如果无论最大值，如果无论l怎样分割怎样分割也无论点也无论点在在),(iiiimm1上怎样选取，极限上怎样选取，极限iiixp ),(iiiyq ),(ni 10lim总是存在总是存在,且为常数，则称此极限为向量值函数且为常数，则称此极限为向量值函数在有向曲线弧在有向曲线弧 l 上上或对或对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,lyyxqxyxpd),(d),(的的第二型曲线积分第二型曲线积分

5、.记作记作其中其中, ),(yxpl 称为称为积分曲线积分曲线或或 积分路径积分路径 .称为称为),(yxq机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 iiixp ),(iiiyq ),(ni 10limjyxqiyxpyx),(),(),(aiiixp ),(iiiyq ),(ni 10lim被积函数被积函数 , lxyxpd),(lyyxqd),(若若 为空间曲线为空间曲线弧弧 , 可定义可定义 上的第二型曲线积分上的第二型曲线积分称为对称为对 x 的曲线积分的曲线积分;称为对称为对 y 的曲线积分的曲线积分. zzyxryzyxqxzyxpd),(d),(d),(类似地类

6、似地, 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 iiixp ),(iiiyq ),(ni 10limni 10limlyyxqxyxpd),(d),(则则llyyxqxyxpd),(d),(若曲线若曲线l为一条封闭曲线时，则积分记作为一条封闭曲线时，则积分记作yyxqxyxpld),(d),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1) 若若 l 可分成可分成 二条有向光滑曲线弧二条有向光滑曲线弧21llllyqxpdd21llyqxpyqxpdddd(2) 用用 - -l 表示与表示与 l 的方向相反的曲线弧的方向相反的曲线弧 , 则则lyqxpdd

7、lyqxpdd则则的方向一致的方向一致的方向与的方向与，lll21设设是是空间有向光滑曲线，起点空间有向光滑曲线，起点a,终点终点b,取以弧长取以弧长 s)()()(, )(lsszzsyysxx0，曲线曲线 的切向量为的切向量为)dddd,dd(szsysx，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 为参数为参数, 曲线曲线的参数方程为的参数方程为).()(, )(),()(, )(lzlylxbzyxa，000起点起点a和终点和终点b的坐标表示为的坐标表示为方向余弦为方向余弦为)()(, )(szsysx，szsysxddcosddcos,ddcos，222zyxsddd

8、d当当l为平面曲线时为平面曲线时则两类曲线积分有如下联系则两类曲线积分有如下联系 zryqxpddd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 szsysxddcosddcos,ddcos， srqpdcoscoscosszsysxdcosd,dcosddcosd，lyqxpddlsqpdcoscos若若 为空间曲线弧为空间曲线弧 , 记记若记若记, 对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxr llyyxqxyxprad),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxrzyxqzyxpzyxa zryqxpradddd)d,d,(ddzyxr 类似

9、地类似地, 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 lrfwdjyxqiyxpf),(),(其中其中lyyxqxyxpd),(d),(sysxddcos,ddcos引例中的变力做功等于引例中的变力做功等于)d,(ddyxr ,dcosddcosdsysx，lsqpdcoscos定理定理:),(, ),(yxqyxp设设在有向光滑曲线在有向光滑曲线 l上有定义且上有定义且参数方程为参数方程为)()(tytxtbal：时，时，当当 :则曲线积分则曲线积分lyyxqxyxpd),(d),(ttp )(),()(t)(ttd)(),(ttq连续连续, l的起点为的起点为a,终点为终

10、点为b，证明证明:存在存在, 且有且有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )()(:tytxl连续，连续，),(, ),(yxqyxp.tbltal上上，对对应应的的终终点点在在，上上，对对应应的的起起点点在在022)()(tt022)()(ttsysxddcos,ddcos)()(:tytxl)(),(ttsl的切向量的切向量022tttsd)()(d)()()(cos,)()()(costtxttx2222lyyxqxyxpd),(d),(lsyxqyxpdcos),(cos),(代入当当l从起点从起点a变到终点变到终点b时，参数时，参数 t 从从变到变到，lyyx

11、qxyxpd),(d),(lsyxqyxpdcos),(cos),(代入代入ttp )(),()(t)(tsd)(),(ttq)()()(ttx22)()()(ttx22tttsd)()(d22ttp )(),(td)(),(ttq特别是特别是, 如果如果 l 的方程为的方程为,:),(baxxy则则xxxqxxpbad )(,)(,)(xlyyxqxyxpd),(d),(定理定理 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如果如果 l 垂直于垂直于 x 轴轴0lxyxpd),(如果如果 l 垂直于垂直于 y 轴轴0lyyxqd),(，2 ，0sxdcosd，2 ，0sydcosd对空

12、间光滑曲线弧对空间光滑曲线弧 :类似有类似有zzyxryzyxqxzyxpd),(d),(d),( )(t)(t)(t)(, )(),(tttq)(, )(),(tttrtd )(, )(),(tttp,:)()()(ttztytx定理定理 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对空间光滑曲线弧对空间光滑曲线弧 :类似有类似有zzyxryzyxqxzyxpd),(d),(d),( 定理定理 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如果如果 垂直于垂直于 x 轴轴0 xzyxpd),(如果如果 垂直于垂直于 y 轴轴0 yzyxqd),(，2 ，0sxdcosd，2 ，0s

13、ydcosd如果如果 垂直于垂直于 z 轴轴，2 ，0szdcosd0zzyxrd),( ,ddxyyxl其中其中l为为(1)圆圆),(),(,11000222到到上从上从yyx的一段弧（如图）的一段弧（如图） (2) 有向折线有向折线 .:aboal解解:02tcos.sin,costytx12t机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yxo),(10a)1 , 1(b(1) 原式原式0222yyx起点起点终点终点0ttcosxyyxlddtt d )sin()sin(t 1021tt d)sin(. 12机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxo),(10a)1 , 1

14、(b(2) 有向折线 .:aboal100:,:yxoa0 xdxyyxoadd0:1,:01ab yx0ydddabx yy xxd)(1011ddoa abx yy x110yxo,ddyxxyxl22其中l为(1) 抛物线 ;:,:102xxyl(2) 抛物线 ;:,:102yyxl(3) 有向折线 .:aboal解解:22xxxx d4103)0, 1(a)1 , 1(b2yx 2xy 10(xxxd)221机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 原式(2) 原式yyy222yy d510410(yyd)41yxo(3) 有向折线 .:aboal原式yxxyxoadd2210200

15、2xxxd)(1)0, 1(a)1 , 1(b2yx 2xy yxxyxabdd2210102yyd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 100:,:xyoa0 xd:1,:01ab xy0yd01:ttzyxab0111:)0 , 0 , 1 (a)0 , 1 , 0(b) 1 , 0 , 0(coxyz为折线为折线 abcoa (如图如图), 计算计算zyyxiddd解解1:i1211201机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 oacobcab01ztytx1121td010t1t d 01:ttzyxbc1110:tztyx10tzyxco100:01: ttzy

16、xoa001:10 :t100td) 0 , 0 , 1 (a) 0 , 1 , 0(b) 1 , 0 , 0(coxyz为折线为折线 abcoa (如图如图), 计算计算zyyxiddd解解2:i001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxabdd zyybcddoaxd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 oacobcab其中其中 l 为为,:, 0aaxyybaoaa x(1) 半径为半径为 a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周, 方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2) 从点从点 a ( a , 0 )沿沿 x 轴到

17、点轴到点 b ( a , 0 ). 解解: (1) 取取l的参数方程为的参数方程为,d2xylttaytax0:,sin,cosxyld2ttadsin2203332a(2) 取取 l 的方程为的方程为xyld2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ozyx,d)(d)(d)(zyxyzxxyzi其中其中,2122zyxyx从从 z 轴正向看为顺时针方向轴正向看为顺时针方向.解解: 取取 的参数方程的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttzi20tttcos)sincos22(tt

18、tttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22yxf原点原点 o 的距离成正比的距离成正比,例例6. 设一个质点在设一个质点在),(yxm处受处受恒指向原点恒指向原点,)0,(aa沿椭圆沿椭圆此质点由点此质点由点12222byax沿逆时针移动到沿逆时针移动到, ),0(bb),(yxmxyo)0 ,(aa), 0(bb解解:yyxxdd ab:abtaxcostbysin20:t, ),(yxomf 的大小与的大小与m 到到f 的方向的方向力力f 的作用的作用,求力求力f 所

19、作的功所作的功. ),(yxkff1k机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 tttbttadcossinsincos2202)(2221ba rfwdab二者夹角为二者夹角为 ,max22qpm曲线段曲线段 l 的长度为的长度为 s, 证明证明),(, ),(yxqyxp续续,smyqxpldd证证:lyqxpddsqpldcoscos设设smsqpldcoscos说明说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在在l上连上连 )cos,(cos, ),(tqpastaldsaldcos机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

20、 结束结束 将积分yyxqxyxpld),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(bo到从解：解：oyxb,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxqxyxpld),(d),(syxqyxpld),(),(22xx )1(x其中l 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义kkkknkyqxp),(),(limkk10lyyxqxyxpd),(d),(2. 性质(1) l可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kililyyxqxyxpd),(d),(ilkiyyxqxyxpd),(

21、d),(1(2) l 表示 l 的反向弧lyyxqxyxpd),(d),(lyyxqxyxpd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)()(:tytxl: tlyyxqxyxpd),(d),(tttqttpd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyl:, )(:xxxqxxpbad )(,)(,)(xlyyxqxyxpd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 zzyxryzyxqxzyxpd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttp)(t)(t)(

22、t4. 两类曲线积分的联系lyqxpddsqpldcoscoszryqxpdddsrqpdcoscoscos)(, )(),(tttq)(, )(),(tttrtd 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:zxoyabzk222zyxkzjyi xzklzyxzzzyyxxk222ddd:l22 tx22 ty1 tz) 10:(t101d3ttk2ln3k)1 ,2,2(a线移动到, )2,4,4(b向坐标原点, 其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.沿直sfwldf)(0r) 1 , 2 , 2(abr求 f 所作的功 w. 已知 f 的方向指一质点在力场f 作用下由点机动 目录 上页 下页 返回 结束 2222azyx与曲面axyx2