法则与重要极限

1、1、函数极限运算法则、函数极限运算法则),(lim0 xfxx定理定理4 若若)(lim0 xgxx均存在，则均存在，则1)2)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )(lim)(lim00 xfkxkfxxxx （k为常数）为常数）3) 当当0)(lim0 xgxx时，时，).(lim/ )(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx 第六节第六节 极限运算法则极限运算法则证明证明1）设）设bxgxx )(lim0,)(lim0axfxx 0, 0, 021 ,2|)(| a

2、xf,2|)(| bxg取取=min1,2 当当0|x-x0|0).解：解： 1）m=n, 原式原式0010101111limbaxbxbbxaxaannnnx 2）mn, 原式原式011lim1010 mmmnmnmnxxbxbbxaaxxa3）mn，原式，原式=.例例.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分分母母的的极极限限都都是是无无穷穷大大分分子子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)020)2(lim)

3、(lim2lim925lim22229519512 xxxxxxxxxxxx例例 592lim0925lim2lim592lim22519222xxxxxxxxxxxxx由上例知，由上例知，又例又例,115lim330 xxxx 求求 33011)1()1(25limxxxxx 解：原式解：原式 333333011)1()125limxxxxx （ 3332333233011)1(11)1()1125limxxxxxxxxx （215 .,1)1(lim0nnxxnx ),1(lim22 xxxx练习练习3、复合函数极限运算法则、复合函数极限运算法则(p37)定理定理 设函数设函数y=f(u)

4、及及u= (x)构成构成复合函数复合函数y= f (x), 在在x0某个去心邻域某个去心邻域, 若若且且 (x) l , 则复合函数则复合函数y= f (x)在在 xx0时时的极限为的极限为auflxluxx )(lim,)(lim0.)(lim)(lim0aufxfluxx ,)(00)(,)(,0)min(,)(),(02,120 lulxlxlxxxlxxux即即有有取取设设 aufluaufau)(,0, 0, 0)(lim恒恒有有已已知知证证lxxx )(lim0又又, 0, 01 对对上上面面的的 lxxx)(,010恒有恒有!,)(lim)()(0证毕证毕由极限定义得由极限定义得

5、有有axfaufaxfxx 说明说明:aufxfluxuxx )(lim)(lim)(0令令又称变量代换法又称变量代换法1. 2. 幂指函数的极限运算幂指函数的极限运算.)(lim,)(lim,)(lim)(000bxgxxxxxxaxfbxgaxf 则则设设证明证明: .limlim)(limlnln)(ln)()(ln)()(00babuabuxfxguxfxgxxxgxxaeeexf 令令0 极限存在准则极限存在准则0 两个重要极限两个重要极限 第七节第七节 极限存在准则、极限存在准则、两个重要极限两个重要极限数列极限的夹挤准则数列极限的夹挤准则准准则则 如如果果数数列列nnyx ,及及

6、nz满满足足下下列列条条件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末数数列列nx的的极极限限存存在在, , 且且axnn lim. .1、极限存在准则、极限存在准则可以推广到函数的极限可以推广到函数的极限.准则准则 如果当如果当)(00 xux ( (或或mx ) )时时, ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00axhaxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于a. .准则准则 和和准则准则 称为称为夹挤准则夹挤准则.ac(1)1sinlim0 xxx)2

7、0(, xxaobo 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinacxabxbdx 弧弧于是有于是有xobd.aco ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xoab的圆心角为的圆心角为扇形扇形,bdoab的高为的高为 2、两个重要极限、两个重要极限,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例3 3.cos1lim)120 xxx

8、求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 ,5tanlim)20 xxx又又515coslim5sin5lim515cos5sinlim)2000 xxxxxxxxx原式原式xxxarcsinlim)303) 设设 u=arcsinx x0时时u0,1/sin1limsinlim00 uuuuuu原式原式(2)exxx )11(limennxnnnn )11(lim,)11(且且单单调调递递增增, 1 nxn设设,)11()11()111(1 nxnnxn则则)11(lim)11(lim)11(li

9、m1nnnnnnnn 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim nnnnnnnn, e .)11(limexxx x与与n同时趋向同时趋向+ 由夹挤准则由夹挤准则, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim用变量代换可求出用变量代换可求出exxx )11(lim例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5

10、.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e .)211(lim,)1(lim510nnxxxnxe 又又例例7 求求xxxxln)1ln(1sinlim )11ln(1sinlimxxx 解：原式解：原式xxxxx)11ln(11sinlim 1ln1 e)11ln(1sinlimxxxxx 例例6 求求131)23(lim xxx解：原式解：原式131)1(21 lim xxx66210)21(lim e其他几个重要极限其他几个重要极限:axxxxaxaxln/1)1(loglim)1(loglim/100 )1:(ln1lim0 xxxauaxa令令1)1ln(lim0 xxx11lim0 xexx xxxexexxxxxxx)1ln()1ln(1lim1lim1)1(lim)1ln(0)1ln(00例例8 2)1(1ln1lim/100)(limeeexxxexxxxx 公式的综合应用公式的综合应用2/1)1(coslim/10202)1(coslimeeexxexxxxxx 5/1)/11ln()/41ln(lim)/11ln()/41ln(lim0 xxxxxxxx 函