线性代数几何背景及应用

1、线性代数中的几何背景线性代数中的几何背景 一、方程及方程组的几何意义一、方程及方程组的几何意义 二、行列式的几何意义二、行列式的几何意义 三、三、平面上线性变换的几何意义平面上线性变换的几何意义 四、二维矩阵特征值的几何意义四、二维矩阵特征值的几何意义 五、向量组的线性相关性的几何意义五、向量组的线性相关性的几何意义 六、二次型的正定性及其所对应的六、二次型的正定性及其所对应的 二次曲面二次曲面12,ff x x一、方程及方程组的几何意义一、方程及方程组的几何意义二元一次方程二元一次方程在几何上表示的是一根直线，则两个二元一次方程组在几何上则表示两根直线的位置关系： 相交=有惟一解 平行=无解

2、 重合=无穷多解 例1 求解下列三个线性方程组 （a） （b） （c）12122 =-1 3 = 3 xxxx 12122 = -1 2 = 3 xxxx 12122= -1 2= 1 xxxx 图1 例1两个二元线性方程解的三种情况：(a)适定 (b)超定 (c)欠定 用ezplot(s1),hold on, ezplot(s2),命令 可以解出结果如下图 其中s1和s2分别为方程的字符串表达式 若有三个二元一次方程或更多个数的二元一次方程，代数上称之为 “超定方程”，一般是不相容的和无解的，几何中平面上三根或更多根直线很难交于一点。 例2 求解方程组 用图解法解例2 121212=1 =

3、32=-3 xxxxxx 图2 例2的解（二元一次超定方程情况） 三元一次方程三元一次方程在几何上表示平面，从而两个三元一次方程构成的方程组表示两个平面的交线，三个三元一次方程构成的方程组两两联立求交线，得到两个二元一次方程，对于求得两根交线在xoy面上的投影。求得两根交线的交点即为方程组的解。若三个平面不重合且没有交线或交点，则表示该方程组无解。如下例。 例3 求解下列线性方程组，并画出三维图形来表示解的情况。（1） ； （2） ；（3） ； （4）35 . 0223315321321321xxxxxxxxx030208321321321xxxxxxxxx254124575321321321

4、xxxxxxxxx151078533232xxxxx利用matlab的m文件编辑器绘图可得： 图3 三元非齐次线性方程组解的几何意义 从图3中可以看出： 方程组（1）的解为三个平面的交点，故该方程组有 唯一解； 方程组（2）的三个平面刚好相交于同一条直线，这个齐次线性方程组有无穷多解，即解空间是一维的。 方程组（3）的三个平面没有共同的交点。即方程组无解。 方程组（4）也无解。 推广之后，更多元的线性代数方程组，则表示更高维空间内的方程组，虽然很难想象直观的几何图形，但关于方程的基本概念是一脉相承的，涉及到计算就是从几何概念过渡到代数概念。如：阶数、维数等概念。二、行列式的几何意义二、行列式的

5、几何意义 二维 已知向量 由向量 和 所构成的 平行四边形的面积为 行列式 的绝对值 ),(),(2211bavbauuv1122abab 三维 已知三个向量 由这三个向量所构成的平行六面体的体积即为 三阶行列式 的绝对值 如图 ),(),(),(321321321cccwbbbvaaau111222333abcabcabc三、平面上线性变换的几何意义三、平面上线性变换的几何意义例3 已知向量 ， 矩阵 ， ， ， ， 。 请分析经过线性变换 后，向量 与原向量 的几何关系 。 21x10011a10012a2005 . 03acossinsincos4a3xayiiiyx4 , 3 , 2

6、, 1i 绘制图形如下图所示： 图4 线性变换的几何意义 从图从图4中可以看出：中可以看出：矩阵 对 进行线性变换的结果 为向量 的竖直轴对称向量；矩阵 对 进行线性变换的结果 为向量 的水平轴对称向量；矩阵 对 进行线性变换的结果 为把向量 的横坐标乘以0.5，把 的纵坐标乘以2得到的向量；矩阵 对 进行线性变换的结果 为把向量 按顺时针方向旋转 所得到的向量。1ax1yx2ax2yx3ax3yxx4ax4yx3 例例4：设x为二维平面上第一象限中的一个单位方块，其四个顶点的数据可写成 把不同的a矩阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结果yi=ai*x。用程序ag911进行变换计算，并画出x

7、及yi图形： x0,1,1,0;0,0,1,1; subplot(2,3,1), fill(x(1,:),0,x(2,:),0,r)a11,0;0,1, y1a1*xsubplot(2,3,2), fill(y1(1,:),0,y1(2,:),0,g) 01100011x绘制几何图形可得： 使用matlab时，行列式用di=det(ai)求得，特征值和特征向量则用pi,lamdai=eig(ai)计算，算得的结果如下：1234 1 0det()1,11 , 0 1 0 1 det()1.5,1.0 1.5 , 1 0 0 1det()0.2,0.2 1.0 , 1 0 1.0 1.0det()

8、1,11 , 0. dddd 111222333444apapapap5 0. 0.7071 0.7071 1,0.866 + 0.5i 0.8660.5i ,00.7071i 0 + 0.7071id55p关于笔算与机算的结合关于笔算与机算的结合 矩阵的赋值和其加、减、乘、除（求逆）命令； 矩阵化为最简行阶梯型的计算命令；u0,ip=rref(a) 多元线性方程组matlab求解的几种方法；x=inv(a)*b, u=rref(a) 行列式的几种计算机求解方法；d=det(a),l,u=lu(a);d=prod(diag(u) n个m维向量组的相关性及其秩的计算方法和命令; r=rank(a

9、),u=rref(a) 求线性方程组的基础解系及方程解的matlab命令；xb=null(a) 矩阵的特征方程、特征根和特征向量的计算命令；f=poly(a);p,d=eig(a) 化二次型为标准型的matlab命令；ytdy=xtax; 其中y=p-1x, 解高阶线性方程组的方法 解右列方程组 ax=b 可有多种方法,如 (1) x=ab (2) 化为行最简型 a=3,-4,2,2,-1;0,-6,0,-3,-3;4,-3,4,3,-2; 1,2,1,0,-5;-2,6,-2,1,3 b = 2; -3; 2; -2; 1; x=inv(a)*b, pause c=a,b, uc,ip=rr

10、ef(c)12345245123451235123453 -4 + 3 + 2 - = 2 -6 3 -3 = -34 -3 + 4 + 3 - 2 = 2 + 2 + -5 = -2-2 + 6 - 2 + 3 =1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx应用一：线性方程组与矩阵应用一：线性方程组与矩阵1.1 插值多项式例例1 给定t-y平面上的三个点(1,2),(2,3)和(3,6)，求过这三点的二次多项式函数：解：解：本题归结为求a,b,c三个系数，使它们满 足下列各方程2( )qta bt ct 这是典型的三元线性方程组，用matlab时，键入：b=1,1,1,2;1,2,4,3;

11、1,3,9,6; x=rref(b)得到x = 1 0 0 3 0 1 0 -2 0 0 1 1 (1)2,2(2)3,243(3)6,396qa b cqabcqabc x矩阵的最后一列即为a，b，c的值，则待求二次多项式为： 例例2 下表给出函数 上4个点的值，试求三次插值多项式 ，并求 的近似值。2( )32q ttt( )f t230123( )ptaat atat(1.5)fti0123f(ti)30-16解：解：令三次多项式函数过表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：应该用计算机求解，键入：a=1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27, b=3;0;-1;

12、6, s=rref(a,b) 230123()ptaat atat627931842033210321032100aaaaaaaaaaaaa得到x = 1 0 0 0 3 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 0 1 1得到 ，三次多项函数为 , 故 近似等于01233,2,2,1aaaa23( ) 3 22p tttt (1.5)f23(1.5)32(1.5)2(1.5)(1.5)1.125p 1.2 平板稳态温度的计算平板稳态温度的计算 在钢板热传导的研究中，常常用节点温度来描述钢板温度的分布。例例3 假设图1中钢板已经达到稳态温度分布，上下、左右四个边界的温度值如图所示，而

13、表示钢板内部四个节点的温度。若忽略垂直于该截面方向的热交换，那么内部某节点的温度值可以近似地等于与它相邻四个节点温度的算术平均值，如。请计算该钢板的温度分布。图1 平板的温度分布解：根据已知条件可以得到以下线性方程组：化简为标准的矩阵形式如下：4/50304/50104/30204/2010324413412321tttttttttttt 在matlab命令窗口输入： a=4,-1,-1,0; -1,4,0,-1; -1,0,4,-1; 0,-1,-1,4; b=30; 50; 60; 80; u=rref(a,b)8060503041101401104101144321tttt结果为：u =

14、 1.0000 0 0 0 21.2500 0 1.0000 0 0 26.2500 0 0 1.0000 0 28.7500 0 0 0 1.0000 33.7500得到方程组的解为： ， ， ， 。 在例3中，把钢板内部分成了22个节点，本例把钢板内部分为55个节点，如图2所示。求钢板的稳态温度分布，并绘制温度分布图形。25.211t25.262t75.283t75.334t 钢板的温度分布如图3所示。其中x、y坐标分别表示钢板横、纵方向的节点数，高度表示节点的温度值，该三维图形形象地反映了钢板的温度分布。图3 钢板的温度分布 1.3 交通流量的分析交通流量的分析例例4 某城市有两组单行道

15、，构成了一个包含四个节点a,b,c,d的十字路口，如图2所示。汽车进出十字路口的流量（每小时的车流数）标于图上。现要求 计 算 每 两 个 节 点 之 间 路 段 上 的 交 通 流量 。（假设，针对每个节点，进入和离开的车数相等）图2 单行道4节点交通流图4321,xxxx解：根据已知条件可以得到，四个节点的流 通方程为 节点a： 节点b： 节点c： 节点d： 将以上方程组进行整理，得31064060039048052061045014433221xxxxxxxx12233414=160=40 =210 =330 xxxxxxxxmatlab程序ea110为 a=1,-1,0,0;0,1,-

16、1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1 b=160;-40;210;-330 u0=rref(a,b) 可以得出其最简行阶梯形矩阵 由于u0的最后一行为全零，也就是说，四个方程中实际上只有三个独立方程，所以该方程组为欠定方程，存在无穷多组解。 1 0 0 1 330 0 1 0 1 170 u0= 0 0 1 1 210 0 0 0 0 0若以 为自由变量，方程组的解可以表示为： 如果有一些车围绕十字路的矩形区反时针绕行，流量 。都会增加，但并不影 响出入十字路的流量。这就是方程组有无穷多解的原因。 4x210170330434241xxxxxx4321,xxxx人口迁徙问题 例5 假设一

17、个城市的总人口数是固定不变，但人口的分布情况变化如下：每年都有5的市区居民搬到郊区；而有15的郊区居民搬到市区。若开始有700000人口居住在市区，300000人口居住在郊区。请利用分析：（1）10年后市区和郊区的人口各是多少？（2）30年后、50年后市区和郊区的人口各是多少？（3）分析（2）中数据相似的原因。解：这个问题可以用矩阵乘法来描述。令人口变量 其中 为市区人口所占比例， 为郊区人口所占比例。在n+1年的人口分布状态为：用矩阵乘法可写成： ,nnnxyxnxny110.950.150.050.85nnnnnnxxyyxy1110.950.150.050.85nnnnnnxxyyxax

18、 开始市区和郊区的人口数为 可以得到n年后市区和郊区的人口分布：因此10年后的人口可用程序计算如下：a=0.95,0.15;0.05,0.85;x0=700000;300000;x10=a10*x0 程序运行的结果为：市区和郊区人口数约为：744630和255370。 000700000,300000 xyx2nnn-1n-20x = ax= a x= a x1010107.44637446301.0005,2.5537255370 xeyx 无限增加时间n，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。为了弄清为什么它趋向于一个稳态值，可以将a对角化。令 ，其中为对角矩阵，则有对角矩阵

19、的幂次可以化为元素的幂次 所以，它就很容易计算。 -1a = ppkkk-1-1-1-1a = pp ppppp p 00kk-1kx= a x = p p x1122kkk k程序la24% 分析n年后城市人口分布a=0.95,0.15;0.05,0.85;x0=700000;300000;p,lamda=eig(a);syms n % 定义符号变量nxn=p*lamda.n*inv(p)*x0 % .n对矩阵lamda中所有元素进行幂运算 计算结果为： 随n增大后一项(4/5)n趋近于零。75000050000*4/525000050000*4/5nnxn多项式插值与拟合 例6 下表给出了

20、平面坐标系中五个点的坐标。 （1）请过这五个点作一个四次多项式函数， 并求x=5时的函数值。用matlab绘制多项式函数曲线、通过已知点及插值点。 （2）请根据这五个点，拟合一个二次多项式函数， 并用matlab绘制多项式函数曲线及已知的五个点。x01234y-270210-75234401234( )pxaa xa xa xa x22012( )pxaa xa x解：（1）根据已知条件，把五个点的坐标值分别代入四次多项式函数，可以得到如下线性方程组： 其中矩阵：234012342340123423401234234012342340123400002711110222221333304444

21、75aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aa = y234023412342234323442710000011111,21122220133337514444aaaaaaay 系数矩阵a的行列式为范德蒙(vandermonde)行列式，且五个坐标点的横坐标各不相同，则该行列式不等于零，所以方程组有唯一解。 写出程序：x=0;1;2;3;4; % 输入已知点坐标y=-27;0;21;0;-75;% 构造范德蒙矩阵，也可用内置的vander函数a=x.0,x.1,x.2,x.3,x.4;a=ay; % 得到适定方程组的唯一解a， 运行程序，得到 a(1)=-27,a(2)=12,

22、a(3)=26,a(4)=-12,a(5)= 1多项式拟合要解一个超定方程 把五个点的坐标值分别代入二次多项式函数，可以得到如下线性方程组： 其中，20122012201220122012002711022213304475aaaaaaaaaaaaaaa aa = y22021222271000111,21122013375144aaaaya 该方程组有三个未知数，但有五个方程，进一步分析可以得到该方程组无解，即不存在一个二次多项式曲线刚好能过已知的五个点。matlab软件提供了一个利用最小二乘法解决超定方程组解的方法。求系数的公式也是a=ay，以找到一条二次曲线来近似地描述已知5点的变化情况。 对比插值和拟合的曲线如下图刚体的平面运动 例7 用平面坐标系中的一个闭合图形来描述刚体，用一个矩阵x来表示它。x的一列表示刚体一个顶点的坐标。为了使