第三节：偏导数

1、第二节第二节 偏导数偏导数 一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数二、高阶偏导数 三、小结三、小结定义：设定义：设 y = f (x) 在点在点 0 x的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义， 当当自变量自变量 x 在在0 x处处取得增量取得增量 x)(0仍在该邻域内仍在该邻域内xx 相应的函数也取得增量相应的函数也取得增量)()(00 xfxxfy 如果比值的极限如果比值的极限xxfxxfxyxx )()(limlim0000存在存在则则称称 y = f (x) 在在 处可导，处可导， 0 x并称该并称该极限为极限为 y = f (x) 在点在点 处的导数，记为

2、处的导数，记为 即即 ),(0 xf 0 xxxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000一元函数导数概念的回顾一元函数导数概念的回顾考虑二元函数考虑二元函数 z = f ( x , y ) 若将若将 y 固定（看作常量），则它成为一个关于固定（看作常量），则它成为一个关于 x 的的一元函数，可将其对一元函数，可将其对 x 求导。求导。同同理，可定义理，可定义 z = f ( x , y ) 关于关于 y 的偏导数。的偏导数。所以，所以，z = f ( x , y ) 关于关于 x , y 的偏导数，实际上就的偏导数，实际上就是两个一元函数的导数（将其中一个变量固定，函是两个一元

3、函数的导数（将其中一个变量固定，函数则成为另一个变量的一元函数）数则成为另一个变量的一元函数）这个关于这个关于 x 的一元函数对的一元函数对 x 的导数，称为二元函数的导数，称为二元函数 z = f (x , y ) 关于关于 x 的偏导数的偏导数一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法00yyxxxz ， 00yyxxxf ， ,xz 记为记为),(yxfzxx或或,xf 同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导数，的偏导数， 上述关于二元函数偏导数的定义，可推广到上述关于二元函数偏导数的定义，可推广到 n 元函数的情形。元函数的情形。例如：例如：

4、u = f ( x , y , z ) xu,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy xzyxfzyxxfx ),(),(lim0 例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解: xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 先求偏导先求偏导函数，再将点函数，再将点 ( 1 , 2 ) 代入。代入。证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求 xz ，yz

5、. 解解 xz 22211yxx322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy xyxx22例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求 xz ，yz . 解解 yz22211yxx 32222)()(|yxxyyyx 0,0,2222yyxxyyxx00 yxyz不存在不存在 yyxx22解解xxxfarctan2cos)1,(2 分析下列解法是否正确？分析下列解法是否正确？2x 2)()1,(xxxxf x2 2)()1,(yyxxf 0 例例 4 4 设设,arctan2cos),(2yxyyxyxf 求求 )1,(xfx, )1,(xfy. 解解),(yxfy2

6、x yxyarctan2sin2 )(112cosyyxyxy 2x yxyarctan2sin2 2cos)(2yyyxx )1,(xfy2x xarctan2 偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分;有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、3、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；2、对于多元函数，在某点处，即使各偏导数、对于多元函数，在某点处，即使各偏导数都存在，也不能保证函数在该点连续。都存在，也不能保证函数在该点连续。).0, 0(),0, 0(,),(, 6yxffxyyxfz求求设设例例 解解0)0,

7、0()0,(lim)0 , 0(0 xfxffxx0 . 0)0 , 0( yf同理同理xxx0|0|lim0 3、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上一点上一点为曲面为曲面设设yxfzyxfyxm 如图如图),(,000yxfzyym 截截此此曲曲面面得得一一曲曲线线作作平平面面过过 ),(00yxfx则则0),(0 xxxxdyxfd 对对即即为为切切线线xtm0轴轴的的斜斜率率x几何意义几何意义: :二、高阶偏导数二、高阶偏导数),(yxfxzx ),(yxfyzy 在区域在区域 d 内，它们仍是内，它们仍是 x , y 的二元函数，可继的二元函数，可继续求偏

8、导数。续求偏导数。 xzx,22xz 记为记为,22xf 或或,xxz或或).,(yxfxx或或 xzy,2yxz 记为记为,2yxf 或或,yxz或或).,(yxfyx或或 yzx,2xyz 记为记为,2xyf 或或,xyz或或).,(yxfxy或或类似地，可以定义三阶或更高阶的偏导数。类似地，可以定义三阶或更高阶的偏导数。),(yxfxzx ),(yxfyzy xzx,22xz 记为记为,22xf 或或,xxz或或).,(yxfxx或或 xzy,2yxz 记为记为,2yxf 或或,yxz或或).,(yxfyx或或 yzx,2xyz 记为记为,2xyf 或或,xyz或或).,(yxfxy或或

9、 yzy,22yz 记为记为,22yf 或或,yyz或或).,(yxfyy或或 二阶二阶混合混合偏导偏导数数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 33xz ,62y )(xzx )33(322yyyxx )(22xzx )6(2xyx 22yz ;1823xyx )(yzy )92(23xxyyxy yxz 2, 19622 yyx)(xzy )(yyyxy32233解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx xyz 2, 19622 yyx

10、)(yzx )(xxyyxx2392xyzyxz 22例例 7 7 设设byeuaxcos ，求二阶偏导数，求二阶偏导数. 解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax xyuyxu 22问题：问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等

11、的条件）三、小结三、小结习题习题6-3: 1 ， 5, 6作业作业 p19若函数若函数),(yxf在 点在 点),(000yxp连连续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),(000yxp的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续续,但但 )0 , 0(, )0 , 0(yxff不存在不存在. 例如例如,一一、 填填空空题题: :1 1、 设设yxztanln , ,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 设设 xzyxezxy则则

12、),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 设设,zyxu 则则 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 设设,arctanxyz 则则 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 练练 习习 题题 5 5、设、设zyxu)( , ,则则 yzu2_. .二、二、 求下列函数的偏导数求下列

13、函数的偏导数: : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . .三、三、 曲线曲线 4422yyxz, ,在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的切线与正向处的切线与正向x轴所成的倾角是多少轴所成的倾角是多少? ?四、四、 设设xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、设五、设)ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .六、六、 验证验证: : 1 1、)11(yxez , ,满足满足zyzyxzx222 ； 2 2、222zyxr 满足满足 rzzryrxr 222222. . 七、设七、设 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. . 一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22 ；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1 , , xxzyzyln2 ；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz . .二、二、1 1、 xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12; ;练习题答案练习题答案 2 2、zzyxy