极限存在准则与两个重要极限64890

1、第七节第七节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则二、两个重要极限二、两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则准则准则1 满足下列条件：满足下列条件：及及、如果数列如果数列nnnzyx), 3 , 2 , 1( )1( nzxynnn,lim ,lim)2(azaynnnn .limaxxnnn 的极限存在，且的极限存在，且那末数列那末数列证明证明,azaynn使得使得, 0, 0, 021 nn ,1 aynnn时恒有时恒有当当,max21nnn 取取恒有恒有时时当当,nn , ayan即即,2 aznnn时恒有时恒有当当

2、, azan上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 1 准则准则成立；成立；有有时时或或当当)()()( ,)(,()1( 00 xhxfxgmxrxux ,)(lim,)(lim)2()()(00axhaxgxxxxxx .)(lim)(lim)()(00axfxfxxxxxx 存在，且存在，且那末那末准则准则1和和准则准则1称为夹逼准则称为夹逼准则.注意注意., 的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼

3、准则求极限关nnnnzyzy如果如果).12111(lim 1222nnnnn 求求例例解解nnn 22111 nnnn2lim又又, 1 1lim2nnn, 1 由夹逼准则得由夹逼准则得. 1)12111(lim222 nnnnnnn111lim 2111limnn ,12 nnnnn 22.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:x1x2x3x1 nxnxam准则准则2 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.3332的极限存在的极限存在证明数列证明数列例例

4、nx证明证明,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32aa 2131,2131 aa(舍去舍去).2131lim nnx解得解得(1)1sinlim0 xxx)20(, xxaobo 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinacxabxbdx 弧弧于于是是有有. aco ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xoab的圆心角为的圆心角为扇形扇形,bdoab的高为的高为 二、两个重要极限二、两

5、个重要极限 xobdca,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x ,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx.tanlim 30 xxx求极限求极限例例解解 xxxtanlim 0 xxxxcos1sinlim0 xxxxxcos1limsinlim00 . 1 .cos1lim 420 xxx 求求例例解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim2

6、1xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 (2)exxx )11(lim先证先证ennn )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地,1时时当当 x, 1 xxx有有xx)11( 1)11(lim xxx而而, e )111(limxxx, e .)11(limexxx ,)11(1 xx)111(xx )11(limxxx)11(limxx 1)111(lim xx 1)111(limxxx, xt 令令 xxx)11(limttt)111(lim 1)111(limttt. e exxx )11(lim,1xt 令令 xxx10)1(lim. e exxx 10)1(limttt )11(lim)111( tttt)11(l