第八节、常系数齐次线形微分方程

1、 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程0 yqypy二阶常系数齐线性方程二阶常系数齐线性方程)(xfyqypy 二阶常系数非齐线性方程二阶常系数非齐线性方程 2211ycycy通解通解 * y特解特解 * yyy通解通解常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程解法解法n n 阶常系数齐次线性微分方程解法阶常系数齐次线性微分方程解法一、定义一、定义)(1)1(1)(xfypypypynnnn n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式: :0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准

2、形式:)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式:二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy,为常数时为常数时因为因为r和它的各阶导数和它的各阶导数指数函数指数函数xre.都只相差一个常数因子都只相差一个常数因子（1 1）有两个不相等的实根）有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个

3、线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxrececy )0( 特征根为特征根为（2 2） 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexccy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为（3 3） 有一对共轭复根有一对共轭复根,1 ir,2 ir,)(1xiey ,)(2xiey )

4、0( 重新组合重新组合)(21211yyy ,cosxex )(21212yyiy,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xcxceyx 特征根为特征根为二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤: :(1) (1) 写出相应的特征方程写出相应的特征方程(2) (2) 求出特征方程的两个根求出特征方程的两个根; 02 qprr(3) (3) 根据特征方程的两个根的不同情况根据特征方程的两个根的不同情况, ,按照下列按照下列规则写出微分方程的通解规则写出微分方程的通解；与与21rr21rr ，特征方程的两个根特征方程的

5、两个根微分方程的通解微分方程的通解21rr，两个不相等的实根两个不相等的实根21rr 两个相等的实根两个相等的实根 ir 2, 1一对共轭复根一对共轭复根xrxrececy2121 xrexccy1)(21 )sincos(21xcxceyx 小结小结定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .032的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0322 rr解得解得,3,121rr故所求通解为故所求通解为.321xxececy例例1 1 2)0( 4)0(0222sssdtdsdt

6、sd0122 rr121 rrtttececs 2144)0(1 csttteces 24ttttececes 22422)0( 2 cstttees 24例例2求求的的特解特解解：解：特征方程特征方程通解通解代入代入代入代入特解特解.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121ir，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xcxceyx 例例3 3三、三、n n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法代入方程代入方程令令rxey 01)1(1)( ypypypynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnprprprn阶

7、常系数齐次线性微分方程的一般形式为阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为都是常数都是常数其中其中nnpppp,121 根据特征方程的根的不同情况根据特征方程的根的不同情况, ,按照下列规则按照下列规则写出微分方程的通解写出微分方程的通解特征方程的根特征方程的根项项微分方程通解中的对应微分方程通解中的对应r单实根单实根rk 重实根重实根 irk 2, 1重复根重复根一对一对rxce给给出出一一项项：)sincos(21xcxcex 给出两项：给出两项： ir 2, 1一对单复根一对单复根)(121 kkrxxcxccek项：项：给出给出sin)(cos)(2121121xxdxddxxcxccek

8、kkkkx 项：项：给出给出注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每一个而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个且每一项各一个任意常数任意常数.nnycycycy 2211例例4.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:irrr21, 04,321因此原方程通解为xccy21)2sin2cos(43xcxcex例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1cyxc223xc34xcxec5(不难看出, 原方程有特解),

9、132xexxx推广 目录 上页 下页 返回 结束 02)(22222rr例例6. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根为),1(22,1ir)1(24,3ir方程通解 :xew2)2sin2cos(21xcxcxe2)2sin2cos(43xcxc机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为,2,1irir4,3则方程通解 :xxccycos)(31xxccsin)(42机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 yy013 r13 . 2 . 1 r)(23

10、21xcxcceyx 例例8求求的通解的通解解：解：通解通解（三重根）（三重根）例例90 4)4( yy0434 rr0)4(3 rr41 r04.3.2 r240302411xyxxeyeyeyxxx 243241xcxccecyx 求求的通解的通解解：解：（单根）（单根）（三重根）（三重根）四个线性无关的特解四个线性无关的特解通解通解特征根为特征根为, 154321irrirrr故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(54321xxccxxccecyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程为特征方程为, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方

11、程 yyyyyy例例1010.2sin2,2cos,:,4321并求此微分方程的通解并求此微分方程的通解下四个特解下四个特解使之有如使之有如次线性方程次线性方程求一个四阶的常系数齐求一个四阶的常系数齐xyxyxeyeyxx ,4321是线性无关的是线性无关的容易验证容易验证yyyy0)4()1(22 rr例例1111,21可知可知与与由由xxxeyey 解解,2sin22cos43可知可知与与由由xyxy 因此特征方程为因此特征方程为; 12, 1 r根为二重根根为二重根它们对应的特征方程的它们对应的特征方程的.24,3ir 根为共轭复根根为共轭复根它们对应的特征方程的它们对应的特征方程的方程

12、为方程为四阶的常系数齐次线性四阶的常系数齐次线性其通解为其通解为. 04852)4( yyyyy，即即04852234 rrrr,根据以上分析知根据以上分析知.2sin2cos4321xcxcxececyxx ).(.dd,0,000txxvtxxxtft 函数函数求反映物体运动规律的求反映物体运动规律的初始速度为初始速度为时的位置为时的位置为且在初瞬且在初瞬的作用的作用恢复力恢复力，如果物体只受弹性，如果物体只受弹性设有一弹簧下挂一重物设有一弹簧下挂一重物例例12解解,r由于不记阻力由于不记阻力, 0dd222 xktx该方程叫做无阻尼自由振动的微分方程该方程叫做无阻尼自由振动的微分方程.,

13、 0dd tx 即假设即假设由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得xxo.dd,)(0000的特解的特解分方程及初始条件分方程及初始条件是满足上微是满足上微数数反映物体运动规律的函反映物体运动规律的函vtxxxtxxtt , 022 kr上方程的特征方程为上方程的特征方程为.sincos21ktcktcx 得得应用初始条件应用初始条件,.sincos00ktkvktxx 因此所求特解为因此所求特解为,是一对共轭复根是一对共轭复根其根其根ikr 所以方程的通解为所以方程的通解为.,0201kvcxc )20( ,cos,sin00 akvax令令).sin( ktax.tan,002202vkxkvx

14、a 其中其中变为变为ktkvktxxsincos00 这是简谐振动方程这是简谐振动方程txo0 xa att函数图形为函数图形为)(,dd,0,00txxvtxxxtrfot 函数函数求反映物体运动规律的求反映物体运动规律的初始速度初始速度时的位置时的位置且在初瞬且在初瞬用用的作的作和阻力和阻力设物体受弹簧的恢复力设物体受弹簧的恢复力上例中上例中例例1313解解这就是要找满足有阻尼的自由振动方程这就是要找满足有阻尼的自由振动方程0dd2dd222 xktxntx.dd,0000的特解的特解及初始条件及初始条件vtxxxtt , 0222 knrr特征方程为特征方程为其根为其根为244222kn

15、nr .,三种情形分别进行讨论三种情形分别进行讨论及及以下按以下按knknkn .:) i (kn 小阻尼情形小阻尼情形)( ,22nkinr 特征方程的根特征方程的根).sincos(21tctcexnt .22knn ,这是一对共轭复根这是一对共轭复根方程的通解为方程的通解为,0201 nxvcxc 定出定出应用初始条件应用初始条件令令)20( ,cos,sin000 anxvax上式又可以写成上式又可以写成).sincos(000tnxvtxexnt 因此所求特解为因此所求特解为).sin( taexnt.tan,)(,00022002022nxvxnxvxank 其中其中.2的振动的振

16、动的运动是周期的运动是周期从方程可以看出，物体从方程可以看出，物体 t).0, 0(00 vx图中假定图中假定oxtt,而逐渐减小而逐渐减小的增大的增大随时间随时间的振幅的振幅但与简谐振动不同，它但与简谐振动不同，它taent .的增大而趋于平衡位置的增大而趋于平衡位置物体随时间物体随时间 t函数图形为函数图形为.:)ii(kn 大阻尼情形大阻尼情形,222221knnrknnr 特征方程的根特征方程的根,根根这是两个不相等的负实这是两个不相等的负实,)(1)(12222tknntknnececx 方程的通解为方程的通解为.,21可由初始条件来确定可由初始条件来确定其中其中cc,0值最多只有一

17、个值最多只有一个的的从方程可以看出，使从方程可以看出，使tx ,置一次置一次即物体最多越过平衡位即物体最多越过平衡位.现象现象因此物体已不再有振动因此物体已不再有振动. 0, xt时时又当又当).0, 0(00 vx假定假定函数的图形如图所示函数的图形如图所示.的增大而趋于平衡位置的增大而趋于平衡位置因此，物体随时间因此，物体随时间 ttxo.:)iii(kn 临界阻尼情形临界阻尼情形,21nrr 特征方程的根特征方程的根),(21tccexnt ,这是两个相等的实根这是两个相等的实根方程的通解为方程的通解为.21可由初始条件来确定可由初始条件来确定及及其中任意常数其中任意常数cc,0也最多只有一个也最多只有一个值值的的临界阻尼情形使临界阻尼情形使从方程上可以看出，在从方程上可以看出，在tx .现象现象因此物体也不再有振动因此物体也不再有振动nttnttette limlim又由于又由于, 0 nttne1lim . 0,xt时时当当可以看出可以看出.,的增大而趋于平衡位置的增大而趋于平衡位置物体也随时间物体也随时间因此因此t解解 .ln22的通解的通解求微分方程求微分方程yyyyy 例例这是一个非线性微分方程，这是一个非线性微分方程，, 0 y因为因为得得两边