第五节隐函数求导64751

1、第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法（一）一个方程的情形（一）一个方程的情形0),( yxf所确定的所确定的 y 是是 x 的隐函数的隐函数 y = f (x) , 如何求如何求 xdyd例如：例如：0 xexyy两边对两边对 x 求导求导01)( xdexdxdydy,01)( xdydexexdydyyyyexexdyd 11（1）由方程）由方程问题：问题：(1) 没有统一的公式没有统一的公式;将将 y = f (x) 代入方程得：代入方程得：0 )(, xfxffxyx)(,xfxfxddxdxdxf xdydyf 0 yfxfxdyd xf xdydyf (2) 没有回答隐函数是

2、否一定存在没有回答隐函数是否一定存在.隐函数的求导公式隐函数的求导公式且且 0),(00 yxf，0),(00 yxfy， 并并有有 yxffdxdy . . 问题：问题：如何给出如何给出 的计算公式？的计算公式？22xdyd22xdyd)(yxffxdd 2yyxyxfxfffxf fxyxyxff xyx)(yxffx xddyffyyx)( )(2yxyyxyxfffyfffyf 3222yxyyyxxyyxxffffffff yxffdxdy ,0),( yxf,)(xfy 解解 令令1),(22 yxyxf则则,2xfx ,2yfy , 0)1 , 0( f, 02)1 , 0( y

3、f例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在0 x的的值值.解解 令令1),(22 yxyxf则则,2xfx ,2yfy , 0)1 , 0( f, 02)1 , 0( yfyxffdxdy ,yx , 00 xdxdy22dxyd2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd2yyxy 0 xexyy例例2：设：设xexyyxfy ),(解：解：求求22xdydxf,1 yeyfyex 1xdydyxff

4、,11yyexe 22xdyd)11(yyexexdd 2)1 ()1 () 1() 1()1 (yyyyyexxexddeexddxe 1.公式法公式法 2.直接法直接法(上册隐函数求导法上册隐函数求导法)0 xexyy例例2：设：设xexyyxfy ),(解：解：求求22xdydxdyd,11yyexe 22xdyd2)1 ()1 () 1() 1()1 (yyyyyexxexddeexddxe 2111)()()(yyyyyyexyxeeeyexe 2121)()(yyyyexxxeee （2）由方程由方程0),( zyxf所确定的二元函数所确定的二元函数 z = f ( x , y )

5、 , 求求yzxz ,fxzyxy),(,yxfyxfx xdxdxf xzzf 0 zfxfxz zfyfyz 隐函数存在定理隐函数存在定理 2：设函数：设函数 f ( x , y , z ) 在点在点 ),(000zyxp的某一邻域内有连续偏导数，的某一邻域内有连续偏导数，, 0),(000 zyxf且且, 0),(000 zyxfz则方程则方程 f ( x , y , z ) = 0 在点在点 ),(000zyxp的某一的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数函数 z = f ( x , y ) , 它满足条件它满足条件),(00

6、0yxfz 并有并有,zxffxz zyffyz 例例 3 3 设设04222 zzyx，求求 22xz . 解解令令则则,4),(222zzyxzyxf ,2xfx , 42 zfzzxffxz 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz ,2zx 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求 xz ，yx ，zy . 思路：思路：把把y看成看成zx,的隐函数对的隐函数对 z求求偏导数得偏导数得 zy . 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求 xz ，yx ，zy . 解：解： 令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz

7、（1）解出）解出 d z 得得dzdxxyffyzffvuvu 1两边微分得两边微分得dvfdufdzvu )(dzdydxfu )(xydzxzdyyzdxfv dyxyffzfxfvuvu 1xz ,1vuvuxyffyzff 所以所以yz ,1vuvuxyffxzff 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求 xz ，yx ，zy . 解：解： 令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz （2）解出）解出 d x 得得dxdyfzyffzxfvuvu 两边微分得两边微分得dvfdufdzvu )(dzdydxfu )(xydzxzdyyzdxfv dzfyzfyfxfvuv

8、u 1yx ,vuvufzyffzxf 所以所以zx ,1vuvufyzffxyf 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求 xz ，yx ，zy . 解：解： 令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz （3）解出）解出 d y 得得dydxfzxffzyfvuvu 两边微分得两边微分得dvfdufdzvu )(dzdydxfu )(xydzxzdyyzdxfv dzfzxfyfxfvuvu 1xy ,vuvufzxffzyf 所以所以zy ,1vuvufxzffxyf 例例5 已知已知0cossin020022 zyxyxxttdttdtttde确定确定 z = z ( x

9、, y ) ，yzxz ,求求解：令解：令 zyxyxxttdttdtttdezyxf0200cossin),(22 xf2)(4xxxe )(sinxyxyxyx 2)()(cosxzyxzyx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy yf0)(sinyyxyxyx 2)()(cosyzyxzyx yyxsin 2)(coszyxzx zf00 2)()(coszzyxzyx 2)(coszyxyx zyxyxxttdttdtttdezyxf0200cossin),(222)(2xxxe )(sinxyxyxyx 2)()(cosxzyxzyx 42xex xyxsin 2)(co

10、szyxzy xf xzzxff 42xexxyxsin 2)(coszyxzy 2)(coszyxyx yzzyff 2)(coszyxyxyyxsin2)(coszyxzx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy yyxsin 2)(coszyxzx 2)(coszyxyx xfyfzf 0),(0),(vuyxgvuyxf二、方程组的情形二、方程组的情形(教学计算不要求教学计算不要求,不讲不讲)由方程组由方程组在一定条件下确定两个二元隐函数在一定条件下确定两个二元隐函数, ),(yxuu , ),(yxvv 问题：问题：如何求偏导数如何求偏导数?,yvxvyuxu 0),(0)

11、,(vuyxgvuyxf, ),(yxuu , ),(yxvv 00),(),(,),(),(,yxvyxuyxgyxvyxuyxf将方程两边对将方程两边对 x 求偏导求偏导fxuyxyvxfxufu ,0 xvfvxgxugu ,0 xvgv 0 vuvuggffj 假假设设系系数数行行列列式式解得：解得：vuvuvxvxggffggffxu ,),(),(vxgfj 1vuvuxuxuggffggffxv ,),(),(xugfj 1xfxufu ,0 xvfvxgxugu ,0 xvgv 0 vuvuggffj 假假设设系系数数行行列列式式同理可求得：同理可求得：vuvuvyvyggff

12、ggffyu ,),(),(vygfj 1vuvuyuyuggffggffyv ,),(),(yugfj 1在点在点),(0000vuyxp不等于零，不等于零， 又又 0),(0000 vuyxf, ,),(0000vuyxg 0 ， 且且偏偏导导数数所所组组成成的的函函数数行行列列式式（或或称称雅雅可可比比式式） vgugvfufvugfj ),(),( 则方程组则方程组 0),(0),(vuyxgvuyxf它们满足它们满足),(000yxuu ),(000yxvv 并有并有,),(),(vxgfjxu 1,),(),(xugfjxv 1,),(),(vygfjyu 1,),(),(yugf

13、jyv 1说明：说明：定理的叙述及计算公式都比较麻烦，实际定理的叙述及计算公式都比较麻烦，实际计算中一般不套公式，而用推倒公式的方法。计算中一般不套公式，而用推倒公式的方法。解：解： 运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求偏导并移项求偏导并移项x,uxvyxux xyyxj ,22yx , vxvxxuy 在在0 j的条件下，的条件下， ,22yxyvxuxu ,22yxxvyuxv 例例 6: 设设0 yvxu，1 xvyu， 求求 xu ，yu ，xv 和和 yv . 解：解： 运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，,22yxyvxuxu ,22

14、yxxvyuxv 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求偏导，用同样方法得求偏导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv vueyvuexuucossin例例7：设：设 xd解：将方程两边取微分得解：将方程两边取微分得求求.,yvxvyuxu )sin()(vudedu udeu )cossin(vdvuvdu ydudeu)sincos(vdvuvdu 整理得整理得xdvdvuduveu cos)sin(ydvdvuduveu sin)cos( ,)cos(sincossin1 vveydvxdvduu)cos(sin)(sin)(cos1 vveuydevxdevd

15、vuuu 解得解得 vueyvuexuucossin例例7：设：设解：将方程两边去微分得解：将方程两边去微分得求求.,yvxvyuxu ,)cos(sincossin1 vveydvxdvduu)cos(sin)(sin)(cos1 vveuydevxdevdvuuu ,)cos(sinsin1 vvevxuu,)cos(sincos1 vvevyuu,)cos(sin)(cos1 vveuevxvuu)cos(sin)(sin1 vveuevyvuu（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1( yxf0),()2( zyxf 0),(0),()3(vuy

16、xgvuyxf三、小结三、小结习题习题9 5: 2, 3, 4, 6, 7 第九章作业第九章作业第五节：第五节：隐函数求导法隐函数求导法（1）设）设,),(yxxfz yzxz ,求求（2）已知已知0cossin020022 zyxyxxttdttdtttde确定确定 z = z ( x , y ) ，yzxz ,求求课堂练习课堂练习（1）设）设,),(yxxfz yzxz ,求求解：令解：令,yxu ),(uxfz 则则zxxuyxz xuufxf ufyxf 1yz yuuf ufyx 2（2）已知已知0cossin020022 zyxyxxttdttdtttde确定确定 z = z (

17、x , y ) ，yzxz ,求求解：令解：令 zyxyxxttdttdtttdezyxf0200cossin),(22 xf2)(4xxxe )(sinxyxyxyx 2)()(cosxzyxzyx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy zyxyxxttdttdtttdezyxf0200cossin),(22 xf2)(2xxxe )(sinxyxyxyx 2)()(cosxzyxzyx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy yf0)(sinyyxyxyx 2)()(cosyzyxzyx yyxsin 2)(coszyxzx zf00 2)()(coszzyxzyx

18、2)(coszyxyx xzzxff 42xexxyxsin 2)(coszyxzy 2)(coszyxyx yzzyff 2)(coszyxyxyyxsin2)(coszyxzx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy yyxsin 2)(coszyxzx 2)(coszyxyx xfyfzf课外补充练习课外补充练习一、求下列各极限一、求下列各极限;)(lnlim)1(22)0, 1(),(yxexyyx ;11lim)2()0, 0(),( yxyxyx22)()(cos1lim)3(2222)0, 0(),(yxyxeyxyx 二、证明极限二、证明极限.lim)0, 0(),(不不存存在在yxyxyx 课外补充练习题解答课外补充练习题解答;)(lnlim)1(22)0, 1(),(yxexyyx 解：解：;)(ln),(22yxexyxfy 因因为为在在 ( 1 , 0 ) 处连续，所以处连续，所以22)0, 1(),()(lnlimyxexyyx )0,1(f 01)1(ln20 e2ln ;11lim)2()0, 0(),( yxyxyx解：解：11lim)0, 0(),( yxyxyx)11()11()11(lim)0, 0(),( yxyxyxyxyx1)1()11(lim)0, 0(),( yxyxyxyx)1