第五节隐函数的求导公式63764

1、第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、一个方程的情形一、一个方程的情形二、方程组的情形二、方程组的情形显函数显函数隐函数隐函数)(xfy 0),( yxf0),( zyxf( , )zf x y 222ayx 22xay 22yax 或或显化显化问题问题：1.1.满足什么条件，方程能够确定函数？满足什么条件，方程能够确定函数？2.2.对于不能或难以显化的隐函数如何求偏导？对于不能或难以显化的隐函数如何求偏导？0),(. 1 yxf一、一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理1),(yxf),(00yxp在点在点的某一邻域内具有的某一邻域内具有设函数设函数连续的偏导数，连续的偏导数

2、， 00(,)0,f xy 00(,)0,yfxy 且且能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 0),( yxf),(00yxp则方程则方程在点在点的某一邻域内恒的某一邻域内恒)(xfy )(00 xfy yxffdxdy ，它满足条件，它满足条件，并有，并有 隐函数的求导公式隐函数的求导公式定理证明略定理证明略. .推导求导公式：推导求导公式：( ,( )0f x f x 两边对两边对 x 求导求导d0dffyxyxddxyfyxf ( )( , )0,yf xf x y设设为为方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数0yf 在在00(,)xy的某邻

3、域内的某邻域内则则xyxf解解 令令1),(22 yxyxf则则,2xfx 2yfy , 0)1 , 0( f, 02)1 , 0( yf连续连续 , ,(0)1.f 且且yxffdxdy ,yx 00,xdydx 222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd1),(22 yxyxf一阶导数：一阶导数：( , )f x y因因的的二二阶阶偏偏导导连连续续，故故例例2 设设方程方程sin10 xyexy确定一个隐函数确定一个隐函数( ),yf x d.dyx解解 令令( , )sin1,xf x yyexy,xxfey由隐函数求导公式，得由隐函数求导公式，得 则则co

4、syfyx求求ddxyfyxf .cosxeyyx .cosxeyyyx sin10,( )xyexyyy xcos y y 两边对两边对x求导，求导，xe y 0 xy 另解另解解出解出0),(. 2 zyxf隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 的某一邻域内有连续的偏导数，的某一邻域内有连续的偏导数， ),(zyxf000(,)p x y z设函数设函数在点在点一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有( , , )0f x y z ),(000zyxp则方程则方程在点在点的某的某连续偏导数的函数连续偏导数的函数 ),(yxfz 000(,),zf xy ，

5、它满足条件它满足条件xzfzxf zyffyz 并有并有 000(,)0,zf xy z 000(,)0,f xy z 且且( ,( ,) )0f x y f x y 两边对两边对x求偏导求偏导xfxzfzxf yzfzyf 同样可得同样可得( , )( , , )0,zf x yf x y z设设是是方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数则则zf zx 0 000(,)0,zxy zf 在在的的某某邻邻域域内内yfxyfx推导求偏导公式：推导求偏导公式：隐函数的求导公式隐函数的求导公式例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz .解解令令则则,4),(222zzyxzyxf ,2xf

6、x , 42 zfz,2zxffxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz (,)0,f yx yzzz x y 由由确确定定函函数数f具有连续偏导数，求偏导数具有连续偏导数，求偏导数. .例例412,xzffzxfyf ( , , )(,),f x y zf yx yz令则令则1( , , )( 1)xfx y zf 12( , , )yfx y zffz2( , , )zf x y zfy 122yzffzfzyfyf 解解解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz d

7、yexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe 0),(0),(vuyxgvuyxf二、方程组的情形二、方程组的情形( , )( , )uu x yvv x y ( , , , ),f x y u v),(vuyxg),(0000vuyxp0000(,)0,f xy u v 0000(,)0,g xy u v vgugvfufvugfj ),(),(隐函数存在定理隐函数存在定理3 设设在点在点的某一邻域内有对各个变量的的某一邻域内有对各个变量的偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式） 连续偏导数连续偏导数

8、, ,且且),(0000vuyxp在点在点不为零，不为零，,),(),(1vuvuvxvxggffggffvxgfjxu ),(0000vuyxp( , ),uu x y ),(yxvv 000(,),uu xy 000(,)vv xy 则方程组则方程组 在点在点唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数它们满足条件它们满足条件并有并有 0),(0),(vuyxgvuyxf的某一邻域内恒能的某一邻域内恒能vuvuxuxuggffggffxugfjxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyggffggffvygfjyu .),(),(1vuvu

9、yuyuggffggffyugfjyv 解解1 直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项求导并移项, ,得得, vxvxxuyuxvyxuxxyyxj 220,xyxyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对求导，用同样方法得将所给方程的两边对求导，用同样方法得,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 在在0 j的条件下，的条件下，, vxvxxuyuxvyxux解方程组，得解方程组，得（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1( yxf0),()2( zyxf 0),(0),()3(vuyxgvuyxf小结小结),(xfy yxffdxdy 则则),(yxfz zyzxffyzffxz ,则则),(),(yxvvyxuu ()().zzxyxy则则方方程程组组两两边边对对或或求求导导，解解出出或或思考题思考题)(zyzx ? yzyxzx已知已知，其中，其中为可微函数，求为可微函数，求思考题