第五节隐函数的导数

1、 由参数方程所确定 的函数的导数 本节内容提要 一、隐函数的导数 二、取对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数第五节 隐函数的导数本节重点： 隐函数的导数 本节难点： 隐函数的导数，对数求导法教学方法： 启发式教学手段： 多媒体课件和面授讲解相结合教学课时： 2课时一、隐函数的导数：1. 显函数：形如y=f(x) 的函数叫显函数 ， 如：2. 隐函数：由方程 表示的函数叫隐函数。 如：3. 隐函数显化：将一个隐函数化成显函数，叫隐函数的显化 ,如 . sinyxlnyx( , )0f x y 221xy sin2xey310 xy 31yx但是，有的隐函数的显化很困难，甚至是不可能的。

2、6.隐函数求导法则： 1）方程f(x,y)=0两边对x求导 2）从方程中解出y 例1 求由 所确定的隐函数的导数ln0 xyyx ee 解；方程两边对x求导，应注意y是x的函数，应用复合函数 求导法则，有：1ln0 xyyxyee yx lnxyyexyex从上式中解出 注：因为有些 隐函数不易显化，故隐函数的导数的结果中往往含有因变量y.例2. 求曲线 在（2，2）处的切线方程。 223(1)yxx2632yyxx解: 方程两边对x求导： 从上式中解出 2326xxyy (2,2)164123y42(2)3yx例3. 求方程 所确定的隐函数的二阶导数 1sin02xyyy解：方程两边对x求导

3、： 11(cos )02yy y 解出 上式两边再次对x求导： 22cosyy2232(2cos )2(sin )4sin(2cos )(2cos )(2cos )yy yyyyyy返回二、 取对数求导法 对于某些特殊的函数，用取对数求导法更简便。 1. 幂指函数 xyxy例1 求（1）两边取自然对数 lnlnyxx （2）两边对x 求导数 11ln1 lnyxxxyx （3）解出 (1ln )(1ln )xyyxxxcossinxyx例2. 求y 解：两边取自然对数： lncos lnsinyxx两边对x求导数： 11sin lnsincoscossinyxxxxyx ( sin lnsin

4、cos )yyxxctgxxcossin( sin lnsincot cos )xxxxxx 例3 证明幂函数 导数公式 yx1()xx 证明：两边取自然对数 ：lnlnyx 两边对x求导数 ：11yyx 111yyxxxx 1()xx 即 证毕2. 多个因子的乘积、商的形式 :(2)(3)(1)(21)xxyxx例1. 解：两边取自然对数 :1lnln(1)ln(2)ln(3)ln(21)2yxxxx 两边对x求导数： 11111212 (2)(3)21yyxxxx解出 :(2)(3) 1112(1)(21)223(21)xxyxxxxx 返回二、由参数方程所确定的函数的导数 1 .参数方程

5、确定了 y是x的函数 222xyacossinxaya例如 确定了以原点为圆心，a为半径的圆周曲线 ( )( )xx tyy t 2. 确定了y是x的函数，但有时消去参变量t而得到 y和x的直接对应关系有一定难度，要想求出 ， 我们可以直接由参数方程求出。( )( )xx tyy tdydx设 关于t可导，且 ( ),( )xx tyy t( )xx t1( )yy xx存在反函数 , 那么 y是x的复合函数( )0 x t1( )txx由复合函数及反函数的求导法则，有： 1( )( )dydy dtdyy tdxdxdt dxdtx tdtcossinxatybtdydx例1.求由参数方程 所确定的函数y=f(x)的数 ( )cos ,( )siny tbt x tat ( )coscot( )sindyy tbtbtdxx tata 解：33cossinxatyat dydx例2. 求 确定的函数y=f(x)的导数 2222( )3 si