第9章压杆稳定()

1、第9章 压杆稳定9-1 压杆稳定性的概念理想中心压杆：理想中心压杆：稳定稳定事物保持常态。事物保持常态。事物无法保持常态。事物无法保持常态。失稳失稳1. 直杆（无初曲率）直杆（无初曲率）,2. 压力无偏心。压力无偏心。西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室eafll maxafmpa200 kn4maxaf对图对图a所示受压杆件：所示受压杆件：由强度计算有：由强度计算有：lfa) 对于细长压杆，按此强度条件对于细长压杆，按此强度条件进行计算并不能保证压杆正常工进行计算并不能保证压杆正常工作。例如对图作。例如对图b所示钢尺，按上述所示钢尺，按上述强度

2、条件有：强度条件有：300mm1mm20mmfb) 而实际上，当而实际上，当f=40n时，钢尺已经明显变时，钢尺已经明显变弯，并丧失承载能力。因而对这样的一些细长弯，并丧失承载能力。因而对这样的一些细长杆件不能由强度条件来确定其工作条件，而应杆件不能由强度条件来确定其工作条件，而应对其进行稳定性分析。对其进行稳定性分析。 研究压杆的承载能力可以采用如下两种力研究压杆的承载能力可以采用如下两种力学模型：学模型：（1）由实际杆件抽象而得的理想中心压杆；）由实际杆件抽象而得的理想中心压杆；（2）按实际杆件的实际工作情况进行分析。）按实际杆件的实际工作情况进行分析。 首先回忆刚体稳定性的概念。如下图所

3、示的三首先回忆刚体稳定性的概念。如下图所示的三种情形，小球均处于平衡状态，但平衡特征不同。种情形，小球均处于平衡状态，但平衡特征不同。施加微小干扰，则分别有：施加微小干扰，则分别有：a) 小球摆动后又回到原来位置，小球的平衡是稳定小球摆动后又回到原来位置，小球的平衡是稳定的；的；b) 小球偏离原平衡位置，但在任一位置处平衡小球偏离原平衡位置，但在任一位置处平衡中中性性(随遇随遇)平衡；平衡；c) 小球偏离平衡位置，继续运动，小球平衡是不稳小球偏离平衡位置，继续运动，小球平衡是不稳定的。定的。a)b)c) 随遇平衡是稳定平衡向不稳定平衡的过渡状态随遇平衡是稳定平衡向不稳定平衡的过渡状态或临界状态

4、，理想压杆与上述类似。或临界状态，理想压杆与上述类似。f轴压轴压f（较小）（较小）压弯压弯f（较小）（较小）恢复恢复直线平衡直线平衡曲线平衡曲线平衡直线平衡直线平衡qf（特殊值）（特殊值）压弯压弯失稳失稳曲线平衡曲线平衡曲线平衡曲线平衡f（特殊值）（特殊值）保持常态、稳定保持常态、稳定失去常态、失稳失去常态、失稳qq q压杆失稳的现象：压杆失稳的现象：1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线直线平衡状态；平衡状态；2. 轴向压力增大到某一特殊值时，轴向压力增大到某一特殊值时，直线直线不再是杆件唯不再是杆件唯一的平衡状态；一的平衡状态；稳定：稳定： 理想中心压杆

5、能够保持稳定的（唯一的）理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）（stable） 直线平衡状态；直线平衡状态；失稳：失稳： 理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直（unstable） 线平衡状态；线平衡状态；压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值临界力临界力（critical force）9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式思路：思路： 假设压杆在某个压力假设压杆在某个压力fcr作用下在曲线状态作用下在曲线状态平衡，平衡，1）求得的挠曲函数）求得的挠曲函数0，2）求得不为零的挠曲函数，）求得不为零的挠曲函数，然后设法去求挠曲函数。然后设法

6、去求挠曲函数。 若：若：平衡状态；平衡状态；说明只有直线说明只有直线确能够在曲线状态下平衡，确能够在曲线状态下平衡，说明压杆的说明压杆的稳现象。稳现象。即出现失即出现失xwxyf(a)bacrll2d x(b)bywfcrm(x)=fcrwm(x)=fcrw0 2wkw eiw)(xmwfcrkxbkxawcossin当当x=0时时， w=0。kxbacos00得：得：b=0，kxawsin2crkeif令令（+）1、两端铰支的临界力：、两端铰支的临界力：xwxyf(a)bacrll2d x(b)bywfcrm(x)=fcrwkxawsin又当又当x=l时时，w=0。得得 a sinkl =

7、0要使上式成立，要使上式成立，1）a=0w=0；代表了压杆的直线平衡状态。代表了压杆的直线平衡状态。2） sin kl = 0此时此时a可以不为零。可以不为零。0sinkxaw失稳失稳!0sinklnkl nleifcr失稳的条件是：失稳的条件是：222crleinfmincr crff 22lei理想中心压杆的欧拉临界力理想中心压杆的欧拉临界力22crleif在确定的约束条件下，欧拉临界力在确定的约束条件下，欧拉临界力fcr：有关，有关，1 1）仅与材料（）仅与材料（e）、长度）、长度( (l) )和截面尺寸和截面尺寸( (a) )2 2）是压杆的自身的一种力学性质指标，反映）是压杆的自身的

8、一种力学性质指标，反映承载能力的强弱，承载能力的强弱，3）与外部轴向压力的大小无关。与外部轴向压力的大小无关。材料的材料的e越大，越大，截面越粗，截面越粗，短，短，杆件越杆件越临界力临界力fcr越高；越高；临界力临界力fcr越高，越高，越好，越好，稳定性稳定性承载能力越强；承载能力越强；2、其它杆端约束的临界力、其它杆端约束的临界力 wfxmd wfwei ddffwwei eifk 2d22kwkw 二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程（1） 求一端固定、另端自由的细长杆的临界力。求一端固定、另端自由的细长杆的临界力。以下推导和公式中的以下推导和公式中的i均表示压杆截面的均表示压杆截

9、面的imin。lxwdfxymefdwxfm(x)f解：对解：对x截面，有截面，有即：即：从而从而令令可得：可得：dkxbkxawcossin由位移边界条件有：由位移边界条件有：该方程的通解为：该方程的通解为：lx dw0coskld 0 x0w0w0a 0db则：则：kxwcos1dklcos1dd再由再由 要使挠曲线方程成立，必须有：要使挠曲线方程成立，必须有：0coskl由此可得：由此可得：2nkl (n=1, 3, 5) llfcrfcr当当n=1时，有时，有2kl eiflkcr2224 224leifcr欧拉公式欧拉公式xlw2cos1d 把挠曲线形状延长一倍如右图所示，它与长把挠

10、曲线形状延长一倍如右图所示，它与长为为2l的两端铰支压杆的挠曲线形状相同。的两端铰支压杆的挠曲线形状相同。即：即：lk2由由可得挠曲线方程为：可得挠曲线方程为：(2) 求两端固定的细长压杆的临界力。求两端固定的细长压杆的临界力。 emfwxm emfwxmwei fmkwkwe22 eifk 2fmkxbkxawecossin解：由图解：由图b可见：可见： ymefflxwxa)fmewfm(x)b)因此，有因此，有令令则则其通解为：其通解为：kxbkxawsincos 1coskxfmwe kxkfmwesin01coskl0sinkl而而由位移边界条件有：由位移边界条件有：处,0 x0w0

11、w0a fmbe 即：即：处,lx 0w0w 满足上边两条件的解为：满足上边两条件的解为：nkl22 , 1 , 0n222leifcr欧拉公式欧拉公式12cosxlfmwe0cos2 kxkfmwe 0coskx ,2lk当当n=1时，有时，有则则：从而可得微弯平衡时挠曲线方程为：从而可得微弯平衡时挠曲线方程为：下面讨论挠曲线上的拐点，即通过下面讨论挠曲线上的拐点，即通过可得：可得：2322xl由此可得，挠曲线上的拐点坐标为：由此可得，挠曲线上的拐点坐标为：41lx 432lx 拐点处拐点处m=0，可看作铰接，所，可看作铰接，所以两拐点间挠曲线形状与以两拐点间挠曲线形状与l/2长的两长的两端

12、铰支压杆的挠曲线形状相同，见端铰支压杆的挠曲线形状相同，见左图。左图。在（在（0, 2 ）内）内上式的解为：上式的解为：yfll/4l/4w0 xw0wp=100，故可用欧拉公式计算，故可用欧拉公式计算bc杆的临界力。杆的临界力。22cr)( leif 1020632181132(1.02/cos30103 )21m2m30abcq=69 knqfbc5 . 4nfcr=69得：得：q=15.3 kn/m9-4 欧拉公式的应用范围 临界应力总图22cr)( leifafcrcralei22)(iale22)(22)(ile欧拉临界应力欧拉临界应力称为柔度，称为柔度，il22cre无量纲。无量纲

13、。1. 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围p22cre22ecril2) 2) 柔度越大，柔度越大，1) 1) 柔度柔度中包含了除材料之外压杆的所有信息，是中包含了除材料之外压杆的所有信息，是压杆本身的一个力学性能指标；压杆本身的一个力学性能指标；压杆越细柔，压杆越细柔，临界应力临界应力fcr越低，越低，性越差。性越差。稳定稳定欧拉公式只能在弹性范围内适用，则欧拉公式只能在弹性范围内适用，则2pppeep仅与材料有关。仅与材料有关。可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：p对于对于q235q235钢钢p100100。越是细柔的压杆，越是细柔的压杆，

14、柔度柔度越大，越大，公式计算压杆的临界力。公式计算压杆的临界力。越可以使用欧拉越可以使用欧拉 s折减弹性模量公式折减弹性模量公式cro pp欧拉公式欧拉公式22ecr2）当）当crp时，时，-曲线呈非线性，曲线呈非线性，e降低，降低，cr比欧拉公式的计算结果为低。比欧拉公式的计算结果为低。2. 压杆的临界应力总图压杆的临界应力总图1）当）当crp时，可用欧拉公式计算时，可用欧拉公式计算cr，例例 图示矩形截面压杆，材料为图示矩形截面压杆，材料为a3钢，杆长钢，杆长l=2m，h=60mm，b=40mm，e=206gpa。在。在xy平面内两平面内两端视为铰支；在端视为铰支；在xz平面内为弹性固定，

15、长度系数平面内为弹性固定，长度系数 y=0.8。试求该杆的临界应力；又问试求该杆的临界应力；又问b与与h的比值的比值等于多少才是最合理的？等于多少才是最合理的？hblyzxx解：解：1、求临界应力、求临界应力若在若在xy平面内失稳，平面内失稳， z=1，则有：，则有：mm32.171212/3hbhbhaiizz所以：所以：5 .1151032.17213zzzil若在若在xz平面内失稳，平面内失稳， y=0.8，则有：，则有：mm55.111212/3bbhhbaiiyy所以：所以：30.8 2138.511.55 10yyyli可见：可见：1005 .1155 .138pzy则应在则应在x

16、z平面内失稳，且欧拉公式成立，即有：平面内失稳，且欧拉公式成立，即有： mpa1065 .1381020629222ycre2、求、求b和和h的合理比值的合理比值 使截面在其两形心主惯性平面内的柔度相同使截面在其两形心主惯性平面内的柔度相同时的时的b和和h之比值最合理，此时有：之比值最合理，此时有：zyzzzyyyilil即即由此可得：由此可得：8 . 0hb9-5 实际压杆的稳定因数1. 1. 影响实际压杆稳定性的因素影响实际压杆稳定性的因素初曲率初曲率压力偏心压力偏心残余应力残余应力2. 2. 稳定许用应力稳定许用应力st=称为稳定因数，称为稳定因数， 与柔度与柔度有关。有关。对于对于q2

17、35，可查表获得，可查表获得；对于木材，对于木材，可由式可由式9-11和和9-12求得。求得。例：由例：由q235q235钢加工成的工字型截面杆件，两端为柱形铰，钢加工成的工字型截面杆件，两端为柱形铰，即在即在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰支，长度因素支，长度因素z=1.0；当在；当在xz平面内失稳时，杆端平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定，长度因素约束情况接近于两端固定，长度因素y=0.6。已知。已知连杆在工作时承受的最大压力为连杆在工作时承受的最大压力为f=35kn，材料的强，材料的强度许用应力度许用应力=206mpa, ,并符合钢结构设计规范中并符合钢结构设计规范中a类中心受压杆类中心受压杆的要求。试校核的要求。试校核其稳定性。其稳定性。ol =580l =75012226624xxyyz12oiz=7.40104mm4iy=1.41104mm4a=522mm2解：解：ol =580l =75012226624xxyyz12oiz=7.40104mm4iy=1.41104mm4a=522mm2aiiyy41041. 1522mm05. 5aiizz41040. 7522mm58.111)1)计算惯性半径计算