第5讲多元复合函数微分法

1、第五节第五节 多元复合函数微分法多元复合函数微分法一. 全 导 数三. 全微分形式不变性二. 链式法则多元函数经复合运算后, 一般仍是多元函数, 但也可能成为一元函数.首先讨论复合后成为一元函数的情况.这就是全导数问题.一一. .全导数全导数. dd ,cos ,sin , 22tztbytaxyxz求求设设tbatbtayxz2sin41)cos()sin(222222222cos2sin241 dd 22ttbatz故故tba4sin2122 例例解解. dd ,cos ,sin , 22tztbytaxyxz求求设设 例例解解tyyztxxztzdddddd)sin(2cos 222tb

2、yxtayxtba4sin2122zxytzxyttyyztxxztzdddddd, )(, )(, ),(221121xvxvvvfuxvvuxvvuxudddddd221121ddiiixvvu对应在处可导，在点设tyxfzttyytxx ),( )( ),( 由此可推至一般的情况处可导，且在处可微，则的点ttytxfzyx)(),(),(miiixvvuxu1 dddd ux1vmv2viv( (全导数公式全导数公式) ) ), 1 ( )( , ),( 1可复合为可复合为设函数设函数mixvvvfuiim . )(,),(1xxfum的点的点在相应于在相应于函数函数处可微处可微在点在点

3、若若 ),( , )( 1xvvfxxmi处处在点在点则复合函数则复合函数处可微处可微 )(,),( , ),(11xxxfuvvmm , 且可导miiixvvuxu1 . dddd 定理定理设xxzsin, 求. ddxz令,yxz ,sin xy 则xyyzxzxzddddzxy1yyxxxxycosln xxxxxxlncossinsin 例例解解设以下函数满足定理的条件, ; )( , )( , )( , ),(tzztyytxxzyxfu写出下列函数的全导数公式:. )( , )( , ),(xzzxyyzyxfu 例例; )( , )( , )( , ),(tzztyytxxzyx

4、futzzutyyutxxutu d d d d d d d duxyzt. )( , )( , ),(xzzxyyzyxfuxzzuxyyuxuxu d d d d d duyzx二二. .链式法则链式法则 假设所有出现的函数求导运算均成立假设所有出现的函数求导运算均成立, , 试想一下如何求下面函数的导数：试想一下如何求下面函数的导数：, ),(wvufz . ),( , ),( , ),(yxwwyxvvyxuu ),( ),( ),( yxwyxvyxufz . , yzxz求zuvwxy 将 y 看成常数xzxuuzxvvzxwwzyzyuuzyvvzywwz 将 x 看成常数 分别

5、将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数. 定理设),(1niixxv), 2, 1(mi在点对应点),(1mvv 可微, 则复合函数),(,),(111nmnxxxxfu在点),(1nxx 处可偏导, 且jxu), 2, 1(njmijiixvvu1),(1nxx 处均可导, 且),(1mvvfu在 m 个 n 元函数 一个 m 元函数 一个 n 元函数定理设),(1niixxv), 2, 1(mi在点对应点),(1mvv 可微, 则复合函数),(,),(111nmnxxxxfu在点),(1nxx 处可偏导, 且jxu), 2, 1(nj

6、mijiixvvu1),(1nxx 处均可导, 且),(1mvvfu在 m 个 n 元函数 一个 m 元函数 一个 n 元函数该定理可视为全导数定理的推广:看成常数,运用全导数公式,将求导记号作相应改变即可证明该定理.将诸) ( jkxk设, ),(yxufz ),(yxuu 满足定理的条件, 则有), ),(yxyxufz zuxyxzxuuzxfxuufxzyzyuuzyfyuufyz 例例zuvxy设,sinvezu,22yxu , yxv求,xz.yzxzxuuzxvvz22sinxyveu1cos veu) )cos()sin(2(222yxyxxyeyx 例例解解zuvxy设,si

7、nvezu,22yxu , yxv求,xz.yzyzyuuzyvvzyxveu22sin) 1(cosveu) )cos()sin(2(222yxyxyxeyx 例例解解设, ),(22xyeyxfz求。xzzxy12xyxfxz)(221212fyefxxyxefxy)(2 例例解解设, )cos,(22xyyxfz,cosrx ,sinry 其中,1cf 求。rz令,22yxu,cosxyv 则, ),(vufz zuvyxrrzryyuuzrxxuuzryyvvzrxxvvzuzyx)sincos(2vzxyxysin)sincos( 例例解解一元函数的微分有一个重要性质： 一阶微分形式

8、不变性一阶微分形式不变性对函数)(ufy 不论 u 是自变量还是中间变量, 在可微的条件下, 均有 d)(d uufy三三. .全微分形式不变性全微分形式不变性对二元函数),(yxfz 来说,在可微的条件下, f 的全微分总可写为：zdxxzdyyzd 不论 x 和 y 是自变量还是中间变量,设, ),(1nxxfu不论ix是自变量还是中间变量, 在可微的条件下, 均有iniixxuudd1一般说来: 设,sinvezu,xyu ,yxv应用全微分形式不变性求，xz。yzvvzuuzzddd)dd(sinyxxyveuxyxyxyexyd)cos()sin(yyxyxxexyd)cos()sin()d(dcosyxveu与yyzxxzzddd比较, 得)cos()sin(yxyxyexzxy 例例解解设,sinvezu,xyu ,yxv应用全微