第一节：多元函数的概念

1、第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 一、平面点集一、平面点集 n n 维空间维空间 二、多元函数概念二、多元函数概念 三、多元函数的极限三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性 五、小结五、小结 练习题练习题（1）邻域）邻域0p ),(0 pu |0ppp.)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函数的概念一、多元函数的概念 |0|),(00 ppppu.)()(0| ),(2020 yyxxyx p（2）区域）区域ep 41),(221 yxyxe例如，例如，即为开集即为开集 内点：内点：，epu )(设设 e 是平面上的一个点集，是平面上的一个点

2、集，p 是平面上的一个点是平面上的一个点如果存在点如果存在点 p 的某一邻域的某一邻域则称则称为为的内点的内点的内点属于的内点属于如果点集如果点集的点都是内点，的点都是内点，则称则称为开集为开集的的点点，于于的的任任一一个个邻邻域域内内既既有有属属如如果果点点epep 记为记为的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为eee ,内内是开集如果对于是开集如果对于设设dd 边界点：边界点：外点：外点：如果存在如果存在 u( p ) , 使得使得,)( epu则称点则称点p 为为 e 的外点的外点p ，本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于epe的边界点的边界点为为），则

3、称），则称也可以不属于也可以不属于epe连连结结起起来来，任任何何两两点点，都都可可用用折折线线，且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于 d是连通的是连通的则称开集则称开集 d连通集：连通集：连通的开集称为开区域，简称区域连通的开集称为开区域，简称区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域. .41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，),(rouere ，使得，使得如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集41| ),(22 yxy

4、x9| ),()3,(22 yxyxou无无界界点点集集为为有有界界点点集集，否否则则称称为为则则称称 e（3）聚点）聚点i： 内点一定是聚点；内点一定是聚点；如果对于任意的如果对于任意的 0 , 点点 p 的去心邻域的去心邻域),( pu内总有内总有 e 中的点，则称点中的点，则称点 p 是点集是点集 e 的聚点的聚点ii： 在在 内，总有内，总有 e 的无穷多个点；的无穷多个点；),( puiii： 点集点集e的聚点可以属于的聚点可以属于e，也可以不属于，也可以不属于e10| ),(22 yxyxe例如例如,(0,0) 是聚点但不属于是聚点但不属于exy e中任何一点都是中任何一点都是 e

5、 的边界点，的边界点，1| ),(22 yxyxe又如又如,xyo1p e 中的任何一点都是中的任何一点都是 e 的聚点。的聚点。思考题：边界点是否一定是聚点？反之，聚点是否思考题：边界点是否一定是聚点？反之，聚点是否一定是边界点？一定是边界点？e（4）n 维空间维空间, 2 , 1,| ),(21nirxxxxxrinn 当当 n = 3 时，时，( x , y , z ) 表示空间中的一个点或向量表示空间中的一个点或向量,| ),(3rzyxzyxr 表示空间中的全体点或全体向量。表示空间中的全体点或全体向量。因此，我们也称因此，我们也称),(21nxxxx 为为nr中的一个点中的一个点或

6、一个或一个 n 维向量。维向量。因此，我们也称因此，我们也称),(21nxxxx 为为nr中的一个点中的一个点或一个或一个 n 维向量。维向量。.个分量个分量第第维向量维向量个坐标或个坐标或的第的第称为点称为点ixnixxi),(21nxxxx 设设定义线性运算如下：定义线性运算如下：),(21nxxxx ),(2211nnyxyxyxyx 这样定义了线性运算的向量集合这样定义了线性运算的向量集合nr称为称为 n 维空间维空间,),(21nnryyyy r ),(21nxxxx ),(21nyyyy ),(yx 定义定义称称 ( x, y ) 为为空间两点空间两点 x 和和 y 之间的距离之间

7、的距离设设中两点间的距离公式中两点间的距离公式nr )0 ,(x | x记作记作 )0,(),(yxyx 中变元中变元 x 的极限的极限nr,),(),(2121nnnraaaaxxxx 设设如果如果, 0| ax则称变元则称变元 x 趋于固定元趋于固定元 a , 记作记作, ax.)()()(2222211nnyxyxyx 22221nxxx |yx ),(,|),( axrxxaun类似地，内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义类似地，内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义中变元中变元 x 的极限的极限nr,),(),(2121nnnraaaaxxxx 设设如果如果, 0| ax则称变元则

8、称变元 x 趋于固定元趋于固定元 a , 记作记作, ax结论：结论：,11axax,22ax .nnax 中邻域、区域等概念中邻域、区域等概念nr, 0,),(21 nnraaaa点点设设则称则称 中的点集中的点集nr为为 中点中点 a 的的 邻域。邻域。nr二、多元函数的概念二、多元函数的概念 f 称为对应规则或函数，称为对应规则或函数，f ( x , y ) 称为称为 f 在点在点 ( x , y )处的函数值。处的函数值。函数值的全体所构成的集合称为函数函数值的全体所构成的集合称为函数 f 的值域，记作的值域，记作 dyxyxfzzdf ),(),(|)(函数与选用的记号无关，如函数与

9、选用的记号无关，如),(),(yxzzyxz 则称则称 f 是是 d 上的二元函数上的二元函数, 记为记为 当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数 n 元函数通常记为元函数通常记为nnnrdxxxxxxfu ),(),(2121或简记为或简记为nnrdxxxxxfu ),(),(21nnrdxxxppfu ),(),(21.)(又又称称为为点点函函数数其其中中pfu .)(,即即为为一一元元函函数数时时当当点点pfurp .)(,2即即为为二二元元函函数数时时当当点点pfurp 一元函数与多元函数的概念比较一元

10、函数与多元函数的概念比较 一一 元函数元函数 y = f (x): ,:rdf:)(pfu 点点函函数数,时时当当点点rp ,2时时当当点点rp ,rd ,dx 二元函数二元函数 y = f (x, y): ,:rdf,2rd ,),(dyx n 元函数元函数,:rdf,nrd ,),(21dxxxn :),(21nxxxfu .)(即即为为一一元元函函数数pfu .)(即即为为二二元元函函数数pfu ,时时当当点点nrp .)(元元函函数数即即为为 npfu 例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义

11、域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxd 2yx 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz （如下页图）（如下页图）当当 p ( x, y ) 取遍取遍 d 上一切点时上一切点时, 得到空间点集得到空间点集二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin 2222azyx 例如例如,.),(222ayxyxd 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:二、多元函数的极限二、多元函数的极限一元函数极限回顾：一元函数极限回顾：如果在如果在 的过程中，的过程中，0 xx f (x) 无限接近一个确定常数无限接近一个确定常数 a ，就称，就称

12、 a 是是 f (x) 当当 时的极限，记为时的极限，记为0 xx axfxx )(lim0:语言语言 , 0, 0 ,|00时时当当 xx,|)(| axf有有axfxx )(lim0则记则记二元函数的极限：二元函数的极限：如果在如果在 的过程中的过程中),(),(00yxpyxp f (x, y ) 无限接近一个确定常数无限接近一个确定常数 a ，就称，就称 a 是是 f (x, y ) 当当 时的极限，记为时的极限，记为),(),(00yxpyxpayxfyxyx ),(lim),(),(00或或,),(lim0ayxfpp （或（或)0(),( ayxf这里这里|0pp ） . |),

13、(|ayxf都有都有,dp 说明：说明：（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（1）定义中）定义中 的方式比的方式比 的方式复杂的多的方式复杂的多0pp 0 xx o 0 x0p xyo例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 取取当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立 例例3 3 求极限求极限 .)s

14、in(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 证证例例4 4 证明证明 不存在不存在 26300limyxyxyx （2）取）取, 0, kxky26300limyxyxyx 22630limxkxkxxxkyx 此时，仍不能确定极限是否存在此时，仍不能确定极限是否存在（1） p ( x , y ) 沿沿 x 轴趋于轴趋于 ( 0 , 0 )，

15、此时此时 y = 0 , x 026300limyxyxyx 00lim6300 xxyx00lim600 xyx0lim26300 yxyxxy同理同理)0 , 0(),(),( ,0 xkxyxx时时当当2620limkxkxxkyx 0 xyo例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx （3）取）取, 0,3 kkxy26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx 21kk 极限值随极限值随 k 的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在)0 , 0(),(),( ,03 xkxyxx时时此时当此时当 xyo0 不存在不存在.观

16、察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,2

17、63图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 确定极限确定极限不存在不存在的常用方法：的常用方法：求二元函数的极限求二元函数的极限常用常用的方

18、法：的方法：（1）用定义验证其存在或不存在；）用定义验证其存在或不存在；（2）利用变量代换转化为一元函数的极限，）利用变量代换转化为一元函数的极限，再用一元函数中已有的方法；再用一元函数中已有的方法；（3）消去分子分母中极限为）消去分子分母中极限为 0 的因子；的因子；（4）利用极限运算性质（与一元函数相似）；）利用极限运算性质（与一元函数相似）；（5）利用函数的连续性；）利用函数的连续性；解：解：2322222200)(sinlimyxyxyxyx 例例5：求极限：求极限,:22yx 令令,)0 , 0(),(时时当当yx, 0 2322222200)(sinlimyxyxyxyx 30si

19、nlim 203cos1lim 6sinlim0 61 解：解：xyxyxsinlim20例例6：求极限：求极限,:yxz 令令,)2 , 0(),(时时当当yx, 0zxyxyxsinlim20yyxyxyx sinlim20yzzxyz020limsinlim yzzyz20limsinlim 221 解：解：42lim00 yxyxyx例例7：求极限：求极限42lim00 yxyxyx)42)(42()42(lim00 yxyxyxyxyxyxyxyxyx )42(lim00)42(lim00 yxyx)42(lim0 4)402( :语言语言 , 0, 0 ,|00时时当当 pp,|)

20、(| apf有有axfpp )(lim0则记则记四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性一元函数连续性回顾：一元函数连续性回顾：dxxfy 0),(设设),()(lim00 xfxfxx 若若.)(0处连续处连续在在则称则称xxf二元函数的连续性二元函数的连续性.,),(),(000且且为为聚聚点点设设dyxpyxfz ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 若若.),(),(000处连续处连续点点在在则称则称yxpyxf.),(),(000处间断处间断点点在在否则称否则称yxpyxf.),(),(000的间断点的间断点为为点点或称或称yxfyxp 如果函数如果函数 f ( x, y

21、) 在在 d 的每一点都连续，的每一点都连续， 二元函数连续的三个要素二元函数连续的三个要素,),(),()1(00处有定义处有定义在点在点yxyxf则称函数则称函数 f ( x, y ) 在在 d 上连续，上连续，或者称或者称 f ( x, y ) 是是 d 上的连续函数。上的连续函数。),(),(lim0000yxfyxfyyxx ,),(lim)2(00存在存在极限极限yxfyyxx. ),(),(lim)3(0000yxfyxfyyxx 二元函数间断的情形比一元函数要复杂的多二元函数间断的情形比一元函数要复杂的多11sin),(:22 yxyxf例如例如因为当因为当,122时时 yx

22、f ( x , y ) 无定义，无定义，所以在整个圆周所以在整个圆周,122上上 yx f ( x , y ) 间断。间断。例例8 8 证明函数证明函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处连续处连续解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 ),(yxp xyo 22yx , 0 ,2 取取 220yx当当 2)0 , 0(),( fyxf),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函数在故函数在(0,0)处连续处连续., 例例9 9 讨论函数讨论函数 0, 00,)

23、,(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取,kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续)0 , 0(),(),( ,0 xkxyxx时时当当定义定义3 3 如果函数如果函数 f ( p ) 在在 d 的每一点都连续，则称的每一点都连续，则称函数函数 f ( p ) 在在 d 上连续，或者称上连续，或者称 f ( p ) 是是 d 上的上的连续函数。连续函数。 n 元函数的连续性元函数的连续性（2）多元初等函数）多元初等

24、函数：由常数及：由常数及不同自变量表达的一不同自变量表达的一元基本初等函数元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用构成的可用一个式子表示一个式子表示的多元函数叫的多元函数叫多元初等函数多元初等函数（3）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域关于多元函数连续性的几点说明关于多元函数连续性的几点说明（1）一切一元基本初等函数，作为一个二元或二）一切一元基本初等函数，作为一个二元或二元以上的多元函数时，在其定义域内都是连续的。元以上的

25、多元函数时，在其定义域内都是连续的。,sin),(:xyxf 例如例如,),(nyyxf .),(zazyxf 不同自变量表达的一元基本初等函数不同自变量表达的一元基本初等函数zayx,sin,sin（4）利用多元函数的连续性可以计算在其连续点）利用多元函数的连续性可以计算在其连续点处的极限。处的极限。时，时，一般地，求一般地，求)(lim0pfpp例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.211101 ，是初等函数是初等函数如果如果)(pf的定义域的内点，的定义域的内点，是是且且)(0pfp处连续，处连续，在点在点

26、则则0)(ppf).()(lim00pfpfpp 于是于是闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域 d d 上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在 d d 上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即（一）有界性及最大值和最小值定理（一）有界性及最大值和最小值定理（2）至少存在两点）至少存在两点mpf | )(|（1）存在正数）存在正数 m ，使得对于任意的点，使得对于任意的点 p d ，均有，均有使得使得,21dpp , | )(max)(1dppfpf , | )(min)(2dppfpf ,)(1为最大值为最大值即即

27、pf.)(2为最小值为最小值即即pf（二）介值定理（二）介值定理 在有界闭区域在有界闭区域 d 上连续的多元函数上连续的多元函数 f ( p ) ，必取得介于最小值必取得介于最小值 m 和最大值和最大值 m 之间的任何值。之间的任何值。即对任意的即对任意的 c , m c m , 至少存在一点至少存在一点 p d ,使得：使得：cpf )(多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近（注意趋近方式的方式的任意性）任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义习题91: 4(3, 5), 5(2, 4, 6)

28、, 6(1), 8 第八章作业第八章作业第一节：第一节：多元函数的基本概念多元函数的基本概念202sinlim() xyxyxyx221lim(1)xx yxyxy0024limxyxyxy2222001lim()sinxyxyxy答案：答案：121(1),(2),0(3)6(4)4e 若点若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 a，能否，能否断定断定ayxfyxyx ),(lim),(),(00？ 思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(y

29、x取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx因为若取因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41一、一、 填空题填空题: : 1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,则则),(tytxf= =_. . 2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,则则 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. . 3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,则则 )(xf_. . 4 4、 若若22),(yxxyyxf , ,则则 ),(yxf_. .函数函数)1ln(4222yxyxz 的