结构动力学研究报告

1、东南大学(20122013)年第一学期桥梁动力分析与抗震设计结构动力学研究报告成 绩：姓 名：张永超学 号：122561专 业：桥梁与隧道工程授课教师：万 水日 期：2013年1月目录目录1 概述111 模态分析研究背景112 模态分析的基本概念113 模态分析理论的基本假设214 模态分析的方法215 模态分析的主要过程22 多自由度系统实模态分析321 引言322 无阻尼多自由度系统的实模态323 无阻尼振动系统频响函数724 粘性比例阻尼系统自由振动925 粘性比例阻尼系统频响函数1126 结构比例阻尼系统123 多自由度系统的复模态分析1431 一般阻尼振动系统的状态方程1442 自由

2、振动下的复模态1543 复特征矢量正交性1644 一般粘性阻尼系统复频率1745 复模态坐标系中的自由响应1846 一般粘性阻尼系统频响函数和脉冲响应函数2047 一般结构阻尼振动系统的频响函数2148 多自由度系统的传递矩阵及留数矩阵234 模态分析实例261 概述 11 模态分析研究背景工程结构跨度变得越来越大 ，结构的动力特性也就显得越来越重要 因此结构设计师和工程技术人员也对它更加重视。一方面，通过对结构动力特性优化设计，使结构处于良好的工作状态，保证了结构的安全可靠性，延长了结构的使用周期和减少了对环境的干扰；另一方面，通过结构的动力特性可了解复杂结构的结构性能和技术性能，从而作出科

3、学的技术评定。模态分析是结构动力特性分析的一种手段，通过分析工程结构的模态特性可建立结构在动态激励条件下的响应，预测结构在实际工作状态下的工作行为及其对环境的影响。从20世纪40年代至今，模态分析技术的研究取得了一定进展。模态分析最初用于航天器动态特性研究，主要是在机械阻抗的概念上提出。由于当时模态测试技术依赖于昂贵笨重的窄带模拟谱分析仪，严重限制了模态分析技术的发展，以致此后的40年基本处于沉寂状态。20世纪70年代早期，快速傅里叶（FFT）谱分析仪的商业化、离散数据采集器及便携高效且相对低成本的电子计算机的出现，为模态测试手段提供了便利条件，模态分析的发展和应用从此产生飞跃形成了今天这样一

4、套较为完整的独特理论和方法。 12 模态分析的基本概念 简单地说，模态分析是一种分析方法，是根据结构的固有特性（包括频率、阻尼和模态振型）这些动力学属性去描述结构的过程。严格从数学意义上定义是指将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，对方程解耦使之成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。因此，模态变换是将方程从物理空间通过模态变换方程变换到模态空间的过程；是将一组复杂的、耦合的物理方程变换成一组单自由度系统的、解的方程的过程。模态分析的最终目标是在识别出系统的模态参数、为结构系统的振动特性分析、振动故障

5、诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。因此，从根上讲，模态分析主要研究结构的固有特征，理解固有频率和模态振型有助于设计噪声和振动应用方面的系统。模态分析主要用于：评价现有结构的动态特性；振动故障诊断和预报；深入洞察振动发生的根本原因；有助于识别出设计中的薄弱环节；结构动力学修改（SMD）；监测结构渐变；结构健康监测（SHM）；检验产品质量；验证有限元模型等。目前，模态分析作为一种分析手段，广泛用于航空航天、船舶、汽车、土木、桥梁、机械等行业。 13 模态分析理论的基本假设模态分析理论的基本假设是：1、线性假设：结构的动态特性是线性的，就是说任何输入组合引起的输出等于各自输出的组合，其动

6、力学特性可以用一组线性二阶微分方程来描述。每次进行模态测试时，应当首先检查结构的线性动态特性。2、时不变性假设：结构的动态特性不随时间变化，因而微分方程的系数是与时间无关的常数。由于不得不在结构上安装振动传感器的附加质量，可能出现典型的时不变性问题。3、可观测性假设：这意味着用以确定我们所关心的系统动态特性所需要的全部数据都是可以测量的。为了避免出现可观测性问题，合理地选择响应自由度是非常重要的。4、互易性假设：结构应该遵从Maxwell互易性原理，即在q点输入所引起的p点响应，等于在p点的相同输入所引起的q点响应。此假设使得质量矩阵、刚体矩阵、阻尼矩阵和频响函数都成了对称矩阵。 14 模态分

7、析的方法研究结构的动力学特性有两种方法，一种是试验法、与试验法相对应的模型称为模态模型，另一种是数值计算法、与数值计算方法相对应的模型称为直接模型。如果模态分析过程是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模态分析。如果是通过试验采集系统输入与输出信号经过参数识别而获得模态参数，则称为试验模态分析。数值计算法（使用有限元软件计算），即根据结构的几何形状、边界条件和材料属性，将结构的质量分布、刚度分布和阻尼分布分别用质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵表示出来，通过质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵确定结构的模态参数。试验法是通过数据采集设备测量结构上一些测点位置的输入输出，然后将时域数据转换到频域，得到频响函数

8、，再由模态参数估计算法估算结构的模态参数。试验方法仅仅测量结构的输入和输出，不测量结构的质量和刚度。两种方法之间是相互联系的，通过数值计算可以指导试验，而通过试验又可以修正数值计算结果，以及作相关性检查等。工程结构可视一系统，系统的动态特性是指系统随频率、刚度、阻尼变化的特性。它既可用频域的频响函数描述，也可用时域的脉冲响应函数描述。建立频响函数与模态参数之间的关系，以便识别模态参数，是模态分析理论的一项重要内容。 15 模态分析的主要过程1、动态数据的采集及频响函数或脉冲响应函数的分析；（1）激励方法。试验模态分析是人为地对结构物施加一定动态激励，采集各点的振动响应信号及激振力信号，根据力及

9、响应信号，用各种参数识别方法获取模态参数。激励方法不同，相应识别方法也不同。目前主要由单输入单输出(SISO)、单输入多输出(SIMO)多输入多输出(MIMO)三种方法。以输入力的信号特征还可分为正弦慢扫描、正弦快扫描、稳态随机(包括白噪声、宽带噪声或伪随机)、瞬态激励(包括随机脉冲激励)等。（2）数据采集。SISO方法要求同时高速采集输入与输出两个点的信号，用不断移动激励点位置或响应点位置的办法取得振形数据。SIMO及MIMO的方法则要求大量通道数据的高速并行采集，因此要求大量的振动测量传感器或激振器，试验成本较高。（3）时域或频域信号处理。例如谱分析、传递函数估计、脉冲响应测量以及滤波、相

10、关分析等。2、建立结构数学模型；根据已知条件，建立一种描述结构状态及特性的模型，作为计算及识别参数依据。目前一般假定系统为线性的。由于采用的识别方法不同，也分为频域建模和时域建模。根据阻尼特性及频率耦合程度分为实模态或复模态模型等。3、参数识别；按识别域的不同可分为频域法、时域法和混合域法，后者是指在时域识别复特征值，再回到频域中识别振型，激励方式不同(SlSO、SIMO、MIMO)，相应的参数识别方法也不尽相同。并非越复杂的方法识别的结果越可靠。对于目前能够进行的大多数不是十分复杂的结构，只要取得了可靠的频响数据，即使用较简单的识别方法也可能获得良好的模态参数；反之，即使用最复杂的数学模型、

11、最高级的拟合方法，如果频响测量数据不可靠，则识别的结果一定不会理想。 4、振型动画；参数识别的结果得到了结构的模态参数模型，即一组固有频率、模态阻尼以及相应各阶模态的振形。由于结构复杂，由许多自由度组成的振形也相当复杂，必须采用动画的方法，将放大了的振形叠加到原始的几何形状上。以上四个步骤是模态试验及分析的主要过程。而支持这个过程的除了激振拾振装置、双通道FFT分析仪、台式或便携式计算机等硬件外，还要有一个完善的模态分析软件包。通用的模态分析软件包必须适合各种结构物的几何物征，设置多种坐标系，划分多个子结构，具有多种拟合方法，并能将结构的模态振动在屏幕上三维实时动画显示。2 多自由度系统实模态

12、分析 21 引言坐标变换和模态叠加原理是多自由度系统响应分析的模态模型法的基础。模态分析的关键在于找到模态振型矩阵，将其作为一种新的坐标系统的向量基以构成模态坐标系统，并求得响应量在这一坐标系统中的坐标，称之为模态坐标。模态坐标除了与激振力有关外，它是若干参数(称为模态参数)的函数。因而，求取模态参数也是模态分析的内容。求得模态坐标及模态参数后，根据模态叠加原理，便可得到响应的计算模型一模态模型；运用模态模型，便可计算实际激励作用下结构的响应，包括位移、速度、加速度，乃至应力、应变。绝大多数振动结构可离散成为有限n个自由度的多自由度系统。对n一个有个自由度的振动系统，需用n个独立的物理坐标描述

13、其物理参数模型。在线性范围内，物理坐标系中的自由振动响应为每个振动的线性叠加，每个主振动都是一种特定形态的自由振动（简谐振动或衰减振动），振动频率即系统的主频率（固有频率或阻尼固有频率），振动形态即系统的主振型（模态），对应每个阻尼系统的主振动有相应的模态阻尼。 22 无阻尼多自由度系统的实模态一般的，n个自由度系统有n个主频率和个n主振型以及n个模态阻尼。多自由度系统具有多个主振型是区别于单自由度系统的最本质之处。此外，还需讨论多自由度系统的频响函数和脉冲响应函数，即系统的非参数模型。下面假设系统受简谐激励，用坐标变换法研究模态参数模型和非参数模型。坐标变换法的基础是求解系统特征值问题。在系

14、统强迫振动微分方程中令激励为零，得齐次方程，求解归结为数学上的一个特征值问题。这一特征值问题与一个特定的振动系统相联系，反映了系统的固有特性。特征值（不一定就是模态频率）与模态频率和模态阻尼相联系，特征矢量（不一定就是模态矢量）与模态矢量相联系。所有独立的特征矢量构成一矢量空间的完备正交基，这一矢量空间称为模态空间，特征矢量具有特定的加权正交性，以其按列组合构成的特征矢量矩阵为变换矩阵，可将物理空间和模态空间相联系。在模态坐标系中将系统的振动方程解耦，进而求得物理坐标中的响应，频响函数和脉冲响应函数也随之而得。对无阻尼和比例阻尼系统，表示系统主振型的模态矢量是实数矢量，故称实模态系统，相应的模

15、态分析过程称为实模态分析。下面首先介绍实模态分析的基本理论。具有n个自由度的无阻尼系统振动微分方程为：M、K为系统的质量矩阵和刚度矩阵，它们均为阶实对称矩阵；x,为位移列阵和加速度列阵，阶；f(t)为激振力列阵，阶。质量矩阵M为正定矩阵，刚度矩阵K为半正定矩阵。对任何非零的x,，系统的动能T和势能U：若K是正定矩阵，则U>0，系统没有刚体位移，称为正定振动系统；若是半正定矩阵，则U0，系统将出现刚体位移，称为半正定振动系统。一个振动系统是正定或半正定，与结构的边界条件有关。自由振动时，令f(t)=0，则。（1）特征值问题设特解系统自由响应幅值阵列。 将代入式，得到，当为零时，这是一个广义

16、特征值问题，为特征值，为特征矢量。上式也是以中元素为变量的n阶代数齐次方程组，为其系数矩阵，该方程有非零解的充要条件是其系数矩阵行列式为零，即。式成为特征方程，它是关于的n次代数方程。设无重根，解此方程得的n个互异正根,通常按升序排列成，式中，为振动系统第i阶主频率(模态频率)，对应无阻尼振动系统，主频率即为固有频率。将每一个代入式，得到关于中元素的具有n-1个独立方程的代数方程组。由，共解得n个线性无关非零矢量的比例解，通常选择一定方法进行归一化，称为主振型(模态振型、模态矢量或模态)。无阻尼振动系统主振型为固有振型，此时为实矢量。特征值与特征矢量称为系统的特征。对n个特征矢量按列排成一个阶

17、矩阵称为系统特征矢量矩阵，此时特征矢量即为模态矢量，故又称为模态矩阵。（2）特征矢量正交性任一特征对均满足式。将，代入上式并左乘，得到（a)再将，代入转置后右乘，（b）其中:;（a）-（b）得（c）系统无重根: ; 当i=j时，定义模态质量（主质量）（d）M正定。将式子（c）代入式子（a），得（e）当i=j时，定义模态刚度（主刚度）（f）K正定或半正定，所以。式子（d）、（f）代入式子（a），有，式（c）、（d）、（e）、（f）可表示为上式表明，第j阶模态惯性力在第i阶模态运动中做的功为零；第j阶模态弹性力在第i阶模态运动中做的功为零。即各阶模态运动之间不发生能量交换，但每阶模态运动的能量（动

18、能+势能）是守恒的，这一性质称为特征矢量关于M，K加权正交。模态质量和模态刚度均与的大小有关。而个元素比例固定、大小不定。归一化方法不同，大小不同，得到的、值也不同。所以，仅讨论、的数值大小无直接意义，其比值关系是确定的，即。（3）实模态坐标系中的自由响应根据特征矢量正交性，n个线性无关的特征向量构成一个n维矢量空间的完备正交基，称这一n维空间为模态空间或模态坐标系。对于实模态系统，以n个模态矢量构造的模态空间为实线性空间。设物理坐标系中矢量x的模态坐标为，则以上式为变换矩阵的线性变换，反映了物理坐标系与模态坐标系间的关系，也称为模态展开定理。将式代入，左乘，利用模态矢量的正交性，得式中dia

19、g对角矩阵。上式表明，在模态坐标系中，无阻尼自由振动方程变成一组解耦的振动微分方程。正则形式为根据初始条件，有下式成立模态坐标系中的自由响应其中,是与初始条件有关的常量。（4）物理坐标系中的自由响应将式代入式 ，得物理坐标系中的自由响应其中。 如果系统以某阶固有频率振动，则振动规律即为无阻尼系统的主振动。根据式可知，是与初始条件相关的常量，则。可见，系统以某阶固有频率作自由振动时，振动形态与主振型完全相同。这就是主振型的物理意义。考察主振动下各个物理坐标的振动情况，由式，知中，每个元素，在第i个主振型中，为与初始条件有关的常量，与物理坐标无关。所以，在每个主振动中各物理坐标的初始相位角相同。各

20、物理坐标振动的相位角不是同相（相差0度）就是反相（相差180度），即同时达到平衡位置和最大位置。这说明，无阻尼振动系统的主振型具有模态（振型）保持性，或“驻波形式”。这是实模态系统的模态特征。 23 无阻尼振动系统频响函数设无阻尼振动系统受简谐激励，F为激励幅值列阵，阶。系统稳态位移响应，X为稳态位移响应幅值列阵，阶。将它们代入式，得，解得，其中，称为无阻尼振动系统的频响函数矩阵，阶，是实对称矩阵。将坐标变换式代入，左乘，并结合模态矢量正交性，得模态坐标系下的强迫振动方程。设稳态位移响应，将它代入强迫振动方程，并考虑式，得，则。将式、代入式，并利用，有，即称为无阻尼振动系统频响函数矩阵的模态展

21、式可以直接写出频响函数矩阵的模态展式，即频响函数模态展式中显含各种模态参数，它是频域法参数识别的基础。系统在单位脉冲力作用下的自由响应称为单位脉冲响应函数。单位脉冲力对于单自由度系统，脉冲响应函数为脉冲响应函数与频响函数是一对Fourier变换对，即脉冲响应函数与频响函数都能反映振动系统动态特性。频响函数在频域内描述系统固有特性，脉冲函数在时域内描述系统的固有特性。脉冲响应函数与频响函数均构成系统的非参数模型，是系统识别的基础。系统的自由响应与脉冲响应函数只相差一个常数因子。频响函数矩阵模态展式其傅氏逆变换为脉冲响应函数矩阵，为阶实对称矩阵，即其中，第j行第l列元素表示仅在第l个物理坐标作用单

22、位脉冲力对第j个物理坐标产生的脉冲响应，即 24 粘性比例阻尼系统自由振动具有粘性阻尼的自由度系统振动微分方程为式中C为粘性阻尼矩阵，阶，正定或半正定对称矩阵；为速度列阵，n阶。粘性阻尼矩阵一般不能利用模态矢量的正交性对角化，故不能应用坐标变换直接将上式解耦。在特殊情况下可利用正交性对角化，如Rayleigh提出的粘性比例阻尼模型、分别为与系统外、内阻尼有关的常数。此式可对角化。对某些小阻尼振动系统，这一模型是有效的。令，设特解，代入上式有特征值问题。特征方程这是的2n次实系数代数方程。设无重根，解得2n个共轭对形式的互异特征值且式中衰减系数；第i阶阻尼固有频率。的模等于无阻尼固有频率，可见，

23、反映了系统的固有特性，且具有频率量纲，称为复频率。将2n个特征值、代入式，解得2n个共轭特征矢量、。可以证明，它们为实矢量，且与无阻尼振动系统的特征矢量相等，则=,故独立的特征矢量只有n个。将这n个特征矢量按列排列，的特征矢量矩阵即模态矩阵，阶。特征矢量或模态矩阵不仅具有关于M、K的正交性，还具有关于粘性比例阻尼矩阵C加权正交，即式中模态粘性比例阻尼系数，；模态粘性比例阻尼矩阵。将坐标变换式代入式并考虑特征矢量的正交性，得一组解耦方程，正则形式为其中根据初始条件式得上式解耦方程的解其中为与初始条件有关的常量。将式代入式得物理坐标系中的自由响应式中。如果系统以某阶阻尼固有频率振动，则振动规律此即

24、粘性比例阻尼系统的主振动，振动形态为；所以，主振型反映了系统主振动的形态式中的每个元素在第i 阶主振动下各个物理坐标的自由响应为 25 粘性比例阻尼系统频响函数设受简谐激励，系统稳态位移响应，将它们代入式，若写成，则频响函数矩阵为复对称矩阵，阶。将坐标变换式代入式，左乘，并结合模态矢量正交性，得解耦方程组将稳态位移响应式代入上式，并考虑，得将式、式代入式并利用，有得频响函数的模态展式,将该矩阵表示为进行傅氏逆变换，得脉冲响应函数矩阵 26 结构比例阻尼系统只有结构阻尼的n个自由度系统振动微分方程式中G结构阻尼矩阵，为正定或半正定实对称矩阵，阶。称为（K+jG）复刚度矩阵。若，则称为结构比例阻尼

25、。设F=0，则上式为，设特解仍为，将其代入上式，得上式是以为特征值、为特征矢量的广义特征值问题。特征方程为可得n个互异复特征值。可按无阻尼振动系统特征值求法求出。将式代入上式得到参考无阻尼系统特征值问题的求解，有即其中。定义为无量纲模态阻尼比，可见，特征值反映了系统固有频率与模态阻尼的特性。将每个逐一代入式，得n个实特征矢量，与无阻尼振动系统特征矢量相同。将按列排列成模态矩阵，可证或具有正交性，且其中，为模态结构比例阻尼系数；diag为结构比例阻尼矩阵。设式，稳态位移响应，将此式代入上式，得将此式写成,则频响函数矩阵为，为复对称矩阵，阶。将坐标变换式代入，左乘，结合模态矢量正交性，得解耦方程组

26、将稳态位移响应式代入上式得则对比粘性比例阻尼系统的频响函数将式、式代入式，并利用有得频响函数的模态展式3 多自由度系统的复模态分析 31 一般阻尼振动系统的状态方程一般粘性阻尼和一般结构阻尼振动系统的模态矢量是复矢量，故称该系统为复模态系统，其基本理论称为复模态分析。一般粘性阻尼系统的振动微分方程： （3-1）为一般粘性阻尼矩阵，设为正定对称矩阵，但不满足对角化条件式： （3-2）引入辅助方程： （3-3）与振动微分方程合写所得到的方程，即为系统的状态方程： （3-4）其中,为对称正定矩阵；,为对称矩阵，正定或半正定；，为状态空间矢量，。 32 自由振动下的复模态由于前提条件为自由振动，所以令

27、，则 （3-5）下面解此方程。设特解为：式中表示的幅值列阵。代入（3-5）得广义特征值问题 (3-6)特征值方程为： （3-7）式（3-7）为的2n次实系数代数方程。由于式（3-1）与（3-4）所表示的系统为同一系统，故应有相同的特征值，所以式（3-7）应有2n个共轭对形式的互异复特征值，即： 式中一般粘性阻尼系统的衰减系数； 一般粘性阻尼系统第阶阻尼固有频率。将2n个特征值代入式（3-6），得2n个共轭复特征矢量，记为： 式中系统的模态矢量，是n维复矢量； 状态方程的特征矢量。只能称为特征矢量，不能称为模态矢量；而既可称为特征矢量，又可称为模态矢量。复模态矢量不具备关于M、K、C加权正交性，

28、所以，不以它们构造特征矢量矩阵做坐标变换矩阵，而是以来构造。按列排列得：其中复模态矩阵，阶， 特征矢量矩阵，阶， 谱矩阵或复频率矩阵，阶， 33 复特征矢量正交性设特征值无重根，将两组特征对代入式（3-5），整理得： （3-8）且， ，由于为正定矩阵，所以，式（3-8）说明特征矢量关于加权正交，不过此时无明确物理意义。写成矩阵形式为： (3-9a) （3-9b）式中对角阵中，前n个对角元素为，后n个对角元素为；对角阵中，前n个对角元素为，后n个对角元素为。将（3-8）展开得: （3-10）由此可见，复模态矢量不具备实模态矢量关于的正交性。将(3-9a)分块展开，得： （3-11a） （3-11

29、b） （3-11c）将(3-9b)分块展开，得： (3-12a) (3-12b) (3-12c)其中以上各式均是用模态矩阵表示正交性。 34 一般粘性阻尼系统复频率定义复模态质量分别如下： 再根据式（3-11c）、（3-12c）对角线元素可得： （3-13a） (3-13b)式中定义复模态阻尼衰减系数为，则 （3-14）由（3-13b）及，定义复模态固有频率为，则 （3-15）由（3-14），（3-15）可得： （3-16）定义复模态阻尼固有频率（特征频率）及复模态阻尼比分别为阻尼比：则复频率 （3-17）这就是一般粘性阻尼系统复频率的物理意义。上面定义的复模态参数均为实数，它们与实模态系统中

30、的并不相等。当为粘性比例阻尼时，复模态参数退化为实模态参数。 35 复模态坐标系中的自由响应根据一般粘性阻尼系统复特征矢量的正交性，这2n个线性无关的复矢量构成了一个2n维复矢量空间的完备正交基。该复矢量空间与状态空间的变换式为 （3-18）式中在这一复矢量空间中的坐标矢量，2n维；n维列阵。将（3-18）代入（3-5）左乘，并利用复特征矢量正交性式（3-9）得解耦方程组： （3-19）式（3-19）是一个2n阶方程组，前n个方程与后n个方程是共轭关系。解之得： （3-20） 式中初始条件将解代入式（3-18），取前n个元素，得物理坐标中的位移自由响应为： （3-21）设 利用（3-17），则

31、（3-21）可化成： （3-22）当系统以某阶复模态频率做主振动时，振动规律为： （3-23）每个物理坐标点的振动规律为： 设 则 一般粘性阻尼系统以某阶主振动作自由振动时，每个物理坐标的初相位不仅与该阶主振动有关，还与物理坐标有关，即各物理坐标量初相位不同。每个物理坐标振动时并不同时达到平衡位置和最大位置，即主振动节点（线）是变化的，由式（3-23）得出，的幅值或振动形态与实模态系统不同，它不能保持与模态矢量相同的状态，不具有的关系，既不具备模态保持性，主振型不再是驻波形式，而是行波形式，这就是复模态系统的特点。简支梁实、复模态系统二阶模态半个周期内的变化如图3-1所示。图3-1 a）为实模

32、态系统，b）为虚模态系统 36 一般粘性阻尼系统频响函数和脉冲响应函数频响函数矩阵如下式：将坐标变换式（3-18）代入一般粘性阻尼系统的振动微分方程式（3-4），左乘，并结合特征矢量正交性式（3-9）得到解耦方程组 （3-24）设稳态响应为 （3-25）式中n阶列阵。将（3-25）代入（3-24）并利用，则可得： （3-26）式中 （3-27）下面进行频响函数的模态展开，将式，式（3-25）代入（3-18），并利用式（3-27），有 （3-28）所以于是得频响函数模态展开为 （3-29）又可写为 （3-30）对其做傅氏逆变换，得脉冲响应函数矩阵为： （3-31） 37 一般结构阻尼振动系统的频

33、响函数一般结构阻尼振动系统的振动微分方程为： （3-32）一般结构阻尼矩阵是正定或半正定实对称矩阵，不满足比例阻尼的条件式：，故不能在模态坐标系中对角化。由下面的推导可以看出，复刚度矩阵是可对角化的。所以可直接由坐标变换解耦振动微分方程。和结构比例阻尼系统推导相似，有特征值问题和特征方程式： （3-33） （3-34）将n个互异特征值逐一代入（3-33），得n个复特征矢量，按列排列成复特征矢量矩阵（模态矩阵），即。将两组特征对分别代入式（3-33），得： （3-35） （3-36）式中复特征质量，为复数；分别为复特征刚度、复特征阻尼，均为实数。（3-35）、（3-36）即为结构阻尼系统特征矢量

34、的正交性。将（3-35）、（3-36）写成矩阵形式得： （3-37）将代入式（3-33），左乘，结合（3-37）得： （3-38）若定义复模态参数为 （3-39）式中，分别为结构阻尼系统的复模态质量、复模态刚度、复模态结构阻尼、复模态频率、复模态结构阻尼比，均为实数。将代入式（3-33），（3-39）左乘，则： （3-40）式（3-40）即为结构阻尼系统特征值的物理意义，反映了系统的固有特性。结构阻尼系统频响函数矩阵与结构比例阻尼系统相同，即上述求得的n个复特征矢量构成的复矢量空间完备正交基。这一复矢量空间称为复模态空间或复模态坐标系。式代入式（3-32），左乘并结合式（3-37）得解耦方程组

35、为： （3-41）设稳态响应为，代入式（3-41）得： （3-42） 则 （3-43）将式、式代入式，并利用式（3-43）得： （3-44）由式（3-44）得频响函数模态展开式为： （3-45）利用式（3-39）、（3-40），（3-45）可转化为： （3-46）当为结构比例阻尼系统时，则（3-46）可化为： （3-47） 这就是一般结构阻尼振动系统的频响函数。 38 多自由度系统的传递矩阵及留数矩阵前面讨论了多自由度系统的三种参数模型，给出模态分析有关的基本概念和基本理论，特别是频响函数的模态展式。但在求频响函数表达式时均假设系统受简谐激励。积分变换（傅氏变换和拉氏变换）是求系统频响函数的重要方法。只要系统激励和响应满足积分变换条件，就可应用积分变换求频响函数。其中拉氏变换比傅氏变换成立的条件要低得多，且时，在虚数轴（频率轴）上拉氏变换即为傅氏变换，而实际振动问题