第5章多元函数

1、第五章 多元函数 在本章中我们将介绍函数的一般概念，并介绍一些特殊的函数，然后介绍导数、偏导数和微分，最后讲授这些概念的具体应用比较静态分析和泰勒逼近第1节 函数的一般概念 函数函数 是一种将一个集合 中元素与另一个集合 中元素对应起来的规则，其使得 中的每个元素有且仅有一个 中元素与之对应。 中任一元素 被称作自变量自变量。如果对应着 中的 ，我们写作 而 被称作 的映射映射或者因变量因变量。集合 被称作函数的定义域定义域而 则被称作函数的目标空间目标空间。这些映射的集合被称作函数的值域值域。 表示符号表示符号 或者fsttssxty( )yf xyxst:fst( )yf x函数可用图形表

2、示为必须适用于s中每个元素，下面这种规则则不是函数：t集合中仅有一个元素与s中元素对应，下面规则也不是函数定义域，目标空间与值域 多元（实）函数多元（实）函数：定义域为 或者 的一个子集，目标空间为实数集 ， 常见的二元函数的经济例子 柯布道格拉斯函数 为常数 不变替代弹性（ ）生产函数 其定义域为 （或者 ）的非负象限非负象限，即集合nrnrr1( )( ,)nyf xf xx2r2e12yax x, ,a ces1/12()yaxbx,0a b 11220,0 xxxx第2节 偏导数 定义 导数 一元函数 偏导数 多元函数 表示符号 ， ， ， 。00()( )limlimxxdyyf x

3、xf xdxxx 110( ,)( ,)limiiininxiif xxxxf xxxyxx iyxifxixfif 链式法则的推广 偏导数的含义 （i）偏导数 给出了当 发生细微变动而所有其他变量保持不变时 变化率的近似值。 （ii）如果 为正，其意味着 增加会导致 的增加； 减少会导致 的减少。如果其为负，这两个变量变化方向相反。( ( , )dcc yy g tddcdcdyytdydyt( ( , ), ( , )ll r g t y g tllrlygrgygiyxixyiyxixy1xy （iii）用于经济学中的边际分析 生产函数 ，投入品1的边际产品为 效用函数 ，商品2的边际效

4、用为12qax x1121qaxxx1212( ,)loglogu x xxx221uxx 二阶偏导数二阶偏导数 偏导数的偏导数即为二阶偏导数二阶偏导数： ，依此类推 杨格定理 如果函数 的偏导数都连续，则 2112111( )ff xfxxx2122121( )ff xfx xxx 2211212( )ff xfx xxx 1( )( ,)nff xf xx22( )( )ijjif xf xx xxx 例 柯布道格拉斯函数 一阶偏导数： 二阶偏导数：3/41/44qkl1/41/43kqklqk3/43/4lqklql25/41/4234kkqqklqkkk 21/43/434klqqkl

5、ql klk 21/43/434lkqqklqk lkl 23/47/4234llqqklqlll 梯度向量与海赛矩阵 定义 梯度向量：函数一阶偏导数的 向量，记作 ，其中 海赛矩阵：函数二阶偏导数组成的矩阵，记作1n( )f x1( )( )( )nf xf xfx( )( )iif xf xx( )h x1112121( )( )( )( )( )( )( )nnnnnfxfxfxfxh xfxfx 注意：根据杨格定理，海赛矩阵为对称矩阵 例 则梯度向量为 海赛矩阵为23121212( ,)33f x xxxx x1222163( )33xxf xxx263( )3 6h xx第3节 函数

6、中的特殊类 连续函数 函数在点 连续：数列 ， 收敛于 ，这些点的像将就收敛于 的映射。 连续函数：函数在其定义域内的每一点都连续。 函数 为 次多项式次多项式,如果 函数 为有理函数，如果 其中 和 都是多项式0 x nx1,2,n 0 x0 x00()()nnxxf xf x( )yf xn1011( )nnnnf xa xa xaxax ( )yf x( )( )( )f xf xg x( )f x( )g x 一元连续函数 函数在某处不连续 绝对值函数 连续函数之和仍是连续函数，连续函数之积也是连续函数 复合函数： 复合函数 定义为 ， 连续函数的复合函数也是连续函数。 可导必定连续，

7、连续未必可导。 齐次函数齐次函数 定义定义 函数 为 次齐次函数次齐次函数，如果对于所有的 ，有 :mnfrr:npg rrgf( )gf xmxr1( )( ,)nff xf xxr011(,)(,)rnnfxxf xx 定理 如果 为 次齐次函数，其一阶偏导数则为 次齐次函数。 欧拉定理 如果 为 次齐次函数且可导，则 例( )ff xr1r ( )ff xr1212( )( )( )( )nnf xf xf xxxxrf xxxx22121212(,)f x xx xx x2212121232321212312(,)()()()( ,)fxxxxxxx xx xf x x 其为三次其次函

8、数。 偏导数 其一阶偏导数 为二次齐次函数 同时211222fx xx221122fxx x2112122222122221222112(,)2()()()2(2)( ,)fxxxxxx xxx xxf x x112( ,)f x x221 1221122211222221212121222121212(2)(2)223()3 ( ,)x fx fxx xxxxx xx xx xx xx xx xx xf x x 凸函数和凹函数凸函数和凹函数 凸集凸集 线段： 为 中两点，连接 的线段为集合 凸集：对于所有 ， 凸函数 凸函数： ， 严格凸函数： ， 凹函数： ， 严格凹函数： ，,u vnr

9、,u v( , )/(1) ,01l u vx xuv01,(1)u vxuvx( )(1) ( )(1) )f uf vfuv01( )(1) ( )(1) )f uf vfuv01( )(1) ( )(1) )f uf vfuv0101( )(1) ( )(1) )f uf vfuv01 非凸集 凸集 二元严格凸函数与二元凸函数 严格凹函数与凹函数 定理： 函数 是凸集 上的严格凸（凹）函数，如果其海赛矩阵 对于所有属于 的 为正（负）定。 当且仅当 对于所有属于 的 为半正（负）定时，函数 为凸集 上的凸（凹）函数。 例例 证明 为凹函数 ， ， ， ， 。 海赛矩阵一阶主子式-2、0小

10、于等于零，二阶主子式 故该函数为凹函数( )f xnxr( )h xxx( )h xxx( )f xnxr212121( ,)f x xxxx111 2fx 21f 120f112f 220f2 0( )0 0h x00h 第4节 比较静态和非线性模型比较静态和非线性模型 引言引言 在线性经济模型中，均衡值 或者 比较静态分析结果 如果在模型方程是非线性的，比较静态分析应该如何进行呢？*1xa b11111*nnnnnjabaabaxa*1xab 隐函数定理 隐函数：由非线性方程 所定义的函数 隐函数定理隐函数定理1 假设非线性函数 具有连续的偏导数 ，考虑任意满足方程 的点 。如果偏导数 在

11、此点不为零，那么至少在此点邻域存在一个隐函数。不仅如此，偏导数 也存在且连续。 例 在哪些点上方程 存在 关于 的隐函数12( ,)0nf y x xx12( ,)nyf x xxf12,ynf f ff1( ,)0nf y xx0001,nyxxyfifx323121230y xxyx xy12,x x 此时 明显 存在且连续， 在任意使得而 的点 上隐函数都存在。 对原方程两点同时关于 求导，有 那么323121212( ,)3f y x xy xxyx x12,yf f f221123yfy xx x0f 0yf 12( ,)y x x1x3221121211230yyx yxyyxx

12、xxx22311212132yx yx xyxyxx 31222111223yxyxyxx yx x 经济应用 封闭经济的简单凯恩斯宏观经济模型 均衡条件 或者 根据隐函数定理，在 上存在均衡解ycig( )cc y( )ii y01c01i( )( )0yc yi yg( )( )0yc yi yg10yfci 从而 隐函数定理的推广隐函数定理的推广 两非线性方程 什么情况下才能解成 是 函数的形式？10dydydycidgdgdg 1(1)dydgci1121(,)0nfy yxx2121(,)0nfy yxx12,y y1,nxx 定义定义 雅克比行列式： 隐函数定理隐函数定理2 假设

13、和 关于 有着连续的偏导数。那么在满足该方程组而雅克比行列式不为零的任意点上隐函数 和 都存在。另外，这些隐函数具有连续的偏导数。11122212ffyyjffyy1f2f121,ny yxx11( ,)ny xx21( ,)nyxx 例例 模型 产品市场 货币市场 均衡条件islmycig( ) 01cc yc( )( )1ii ri r( )tslkyll r( )( )yc yi rg( )kyl rm 均衡条件可写作 问题：什么条件下存在隐函数 和 雅克比行列式为 则在 成立的任何点上都存在 问题：比较静态分析求 1( , ,)( )( )0f y r g myc yi rg2( ,

14、,)( )0fy r g mkyl rm( ,)yy m g( ,)rr m g1(1)cijkllcki(1)0lcki/yg 在均衡条件成立的情况下对其求偏导 用矩阵表示为 利用克拉默法则，有 100yyrcigggyrklgg 110ycigklrg 101(1)ilycigkllc lki第5节 微分和泰勒逼近微分和泰勒逼近 一元函数的泰勒定理 一元函数 ，定义域内一点 其中 为余项 次泰勒近似值 代表 的细微改变而 ， 越来越小( )yf x0 x230000000( )00()()()( )()()()()1!2!3!()()!nnnfxfxfxf xf xxxxxxxfxxxrn

15、nrn( )2300000()()()()( )()()()1!2!3!nnfxfxfxfxf xf xdxdxdxdxn0dxxxx2dx3dx 例 其三次泰勒近似值为( )1/(1)f xx1( )(1)f xx1(1)2f2( )(1)fxx 211(1)24f 3( )2(1)fxx321(1)24f 4( )6(1)fxx 463(1)28f 231111( )(1)(1)(1)24816f xxxx231111(1.1)(0.1)(0.1)(0.1)2481610.0250.001250.00006250.47618752f 泰勒逼近方法用函数的梯度向量和海赛矩阵来表示 或者 的微分 定义： 微分是一近似值0001( )()()()2f xf xdxf xdx h xdx0001( )()()()2f xf xdxf xdx h xdx( )yf x1