第一次课：微分方程

1、微分方程微分方程微分方程及其应用微分方程及其应用微分方程复习微分方程复习一阶方程一阶方程类型类型及解法及解法类型类型方程形式方程形式解法解法分离变量分离变量型型分离变量法分离变量法齐次方程齐次方程变换：变换：*一阶线性一阶线性常数变易法常数变易法公式法公式法贝努利方贝努利方程程变换变换：*全微分方全微分方程程凑微分法凑微分法微积分法微积分法线积分法线积分法( )()dyfx g ydx()dyyfdxxyux( )( )dyp x yq xdx( )( )(0,1)ndyp x yq x yndx1nzy( ,)( ,)0mx y dxnx y dymnyx例例1求下列分离变量型方程求下列分离

2、变量型方程：22(1);(2)2(3) 13dyxdyxydxydxyx yy 例例2求下列齐次型方程求下列齐次型方程：22(1);(2)()()0dyyyx dyxy dxdxxyx( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxc一阶线性方程计算公式一阶线性方程计算公式例例3求下列一阶线性方程的通解求下列一阶线性方程的通解5232(1)(1)1(2)dyyxdxxdyydxyx( )( )(0,1)ndyp x yq x yndx例例7.试将贝努利方程试将贝努利方程化为一阶线性方程，并求方程化为一阶线性方程，并求方程26yyxyx 的通解的通解例例8.验证下列方程是否为全微分方

3、程，验证下列方程是否为全微分方程，并求其通解：并求其通解：223442322223(1)0(2)(53)(33)0(3)(2 )0yyxyxdxdyyyxxyydxx yxyydye dxxey dy二阶方程二阶方程类型类型及解法及解法1。可降阶的两种类型可降阶的两种类型类型类型1.不显含不显含y型，型，( ,)yfx y类型类型2.不显含不显含x型，型，(,)yfyy解法：解法：(1)( )( , )dpyp xf x pdx解法解法( )( , )dpyp xpf y pdy2.二阶线性齐次方程解的性质与结构：二阶线性齐次方程解的性质与结构：性质：（叠加原理）：二阶线性齐次性质：（叠加原理

4、）：二阶线性齐次方程任意解的线性组合仍是解，即方程任意解的线性组合仍是解，即如果：如果：12, ,my yy是方程是方程( )( )0yp x yq x y1122mmk yk yk y也是其解也是其解的解，则的解，则的任意两个线性无关的解，则的任意两个线性无关的解，则就是其通解就是其通解1122k yk y解的结构：如果解的结构：如果12,yy是方程是方程( )( )0yp x yq x y3.二阶线性非齐次方程解的性质与结构：二阶线性非齐次方程解的性质与结构：性质性质1：二阶线性非齐次方程任意：二阶线性非齐次方程任意两个解的差是其对应齐次方程的解两个解的差是其对应齐次方程的解性质性质2：二

5、阶线性非齐次方程的解与其对：二阶线性非齐次方程的解与其对应齐次方程的解的和仍是非齐次方程的解应齐次方程的解的和仍是非齐次方程的解解的结构定理：设解的结构定理：设y是二阶齐次线性方程是二阶齐次线性方程( )( )0yp x yq x y的通解，而的通解，而y是是二阶非齐次线性方程任一特解，则二阶非齐次线性方程任一特解，则yy便是非齐次方程的通解便是非齐次方程的通解二阶线性非齐次方程解的叠加原理：二阶线性非齐次方程解的叠加原理：设设1y2y是方程是方程1( )( )( )yp x yq x yf x的解的解是方程是方程2( )( )( )yp x yq x yf x的解，则的解，则12yy便是方程

6、便是方程12( )( )( )( )yp x yq x yf xf x的解的解注：显然叠加原理可推广到任意有限个的情况注：显然叠加原理可推广到任意有限个的情况二阶线性常系数齐次方程的解法：二阶线性常系数齐次方程的解法：特征方程法特征方程法解法步骤：（解法步骤：（1）由原方程）由原方程0ypyqy写出相应的特征方程写出相应的特征方程20rprq（2）求出特征根）求出特征根（3）由特征根写出原方程的通解）由特征根写出原方程的通解特征根与方程通解对照表：特征根与方程通解对照表：特征根的情况特征根的情况 方程的通解方程的通解两相异实根：两相异实根：两相同实根两相同实根：一对共轭复根一对共轭复根12rr

7、1212r xr xc ec e1r112()r xccxei12( cossin)xecxcx例求下列线性常系数齐次方程的通解例求下列线性常系数齐次方程的通解22(1)320;(2)20(3)250yyyd sdssdtdtyyy二阶常系数线性非齐次方程特解求法：二阶常系数线性非齐次方程特解求法：类型类型1( )( )xmfxpx e其特解形式为其特解形式为( )kxmyx qx e 是特征方程的单根时是特征方程的单根时k取取1是特征方程的二重根时是特征方程的二重根时k取取2不是特征方程的根时不是特征方程的根时k取取0例求下列方程特解的形式例求下列方程特解的形式2(1)432(2)56(3)2(1)xxyyyxyyyxeyyyxe类型类型2( )( )cosxmfxpx ex或或( )( )sinxmfxpx ex其特解形式为其特解形式为( ) cos( ) sin)kxmmyxaxxbxx e 不是特征方程的根时不是特征方程