第4章积分及其应用

1、重点：积分的计算重点：积分的计算 定积分的应用定积分的应用难点：积分的计算难点：积分的计算 定积分的应用定积分的应用4.1 定积分定积分 4.1.1 微积分的典型问题之二微积分的典型问题之二把它们的面积加起来把它们的面积加起来, ,得得曲边梯形的面积曲边梯形的面积 4.1.2 定积分概念定积分概念 积分号积分号 定积分的几何意义定积分的几何意义 与与 x 轴所围成的各个曲边梯形面积的轴所围成的各个曲边梯形面积的代数和代数和. .且合理规定且合理规定定积分的几何意义的应用定积分的几何意义的应用 4.1.3 可积的充分条件可积的充分条件 若若 f (x)在区间在区间a, b上连续或分段连续上连续或

2、分段连续, ,则则 f (x)在在a, b上可积上可积.用定积分表示和式极限用定积分表示和式极限 可以证明可以证明, ,若函数若函数 f (x)在在0, 1上可积上可积, ,则则例例 用定积分表示和式极限用定积分表示和式极限4.2 定积分与原函数的关系定积分与原函数的关系 4.2.1 直观背景直观背景 4.2.2 原函数与不定积分原函数与不定积分 积分号积分号 被积函数被积函数积分变量积分变量积分常数积分常数f (x)dx称为称为被积表达式被积表达式不定积分的基本性质不定积分的基本性质 常用积分表常用积分表 4.2.3 微积分基本定理微积分基本定理 练习练习 计算下列计算下列定积分定积分变上限

3、积分函数的微商变上限积分函数的微商 4.3 定积分的性质定积分的性质 区间可加性的应用区间可加性的应用 估值定理的应用估值定理的应用 定积分为常数定积分为常数 于是于是c = 2 + 2c, ,c = 2f (x) = x 24.4 积分法积分法 4.4.1 直接积分法直接积分法直接积分法举例直接积分法举例 4.4.2 换元积分法换元积分法 换元积分法与复合函数的微分法相对应换元积分法与复合函数的微分法相对应. .第一类换元积分法第一类换元积分法( (凑微分法凑微分法) )特别地有特别地有线性线性凑微分法凑微分法举例举例 明显明显凑微分法凑微分法举例举例 = ln| f (x)| + c三角函

4、数的积分举例三角函数的积分举例 = ln|cosx| + ln|sinx| + c = ln|tanx| + c练习练习 计算计算 sin3xcos2xdx sin2xcos3xdx有理函数的积分有理函数的积分 两个多项式的商所表示的函数称为两个多项式的商所表示的函数称为有理函数有理函数. . 有理函数的积分法总原则是先化为真分式有理函数的积分法总原则是先化为真分式, ,然后然后尽量化为部分分式尽量化为部分分式. .此处只讨论下列两种类型此处只讨论下列两种类型. . 用待定系数法化为部分分式用待定系数法化为部分分式 消除消除a有理函数的积分举例有理函数的积分举例八仙过海八仙过海 例例 = ln

5、|secx + tanx| + c第二类换元积分法第二类换元积分法 常用的换元法如下常用的换元法如下. .被积函数含有被积函数含有 换元方法换元方法 三角换元法举例三角换元法举例三角换元法举例三角换元法举例= ln|sect + tant| + c三角换元法举例三角换元法举例= ln|sect + tant| + c第二类其它换元法举例第二类其它换元法举例 第二类其它换元法举例第二类其它换元法举例 万能公式万能公式 = ln(1 + t2) + c = ln1 + tan2(x/2) + c定积分的换元积分法定积分的换元积分法 第一类换元积分法第一类换元积分法( (凑微分法凑微分法) )第二类

6、换元积分法第二类换元积分法定积分的换元法举例定积分的换元法举例 例例 计算计算解解 令令x = t2, ,则则 dx = 2tdt, ,= 2arctant|32= 2arctan3 2arctan2= 2arctan3 2arctan2常量与变量问题常量与变量问题 于是于是两边对两边对 x 求微商求微商, ,得得令令 x = 1, ,得得对称区间对称区间 a, a 上的定积分上的定积分 对称区间上的定积分举例对称区间上的定积分举例其他针对积分区间的换元法其他针对积分区间的换元法 4.4.3 分部积分法分部积分法 分部积分法与积的微分法相对应分部积分法与积的微分法相对应. .d(uv) = v

7、du + udvudv = d(uv) vdu“反对幂指三反对幂指三”法：法：“幂指三幂指三”分部积分法分部积分法 = x2sinx + 2xcosx 2sinx + c 练习练习 计算计算“反对幂反对幂”分部积分法分部积分法 = (x + 1)ln(x + 1) x + c= (x + 1)ln(x + 1) x + c循环法循环法 例例 计算计算 sec3xdx解解sec3xdx = secx sec2xdx = secxdtanx= secxtanx tanxdsecx= secxtanx tan2xsecxdx= secxtanx (sec2x 1)secxdx= secxtanx s

8、ec3xdx + secxdx= secxtanx sec3xdx + ln|secx + tanx| + csec3xdx =secxtanx + ln|secx + tanx| + c递推公式法递推公式法 例例 计算计算 in =sinnxdx解解 in = sinn 1xdcosx= cosxsinn 1xcosxdsinn 1x+= (n 1)sinn 2xcos2xdx= (n 1)sinn 2x (1 sin2x)dx= (n 1) in 2 (n 1)in4.5 定积分的应用定积分的应用 4.5.1 反常积分反常积分 为为b这就是所求这就是所求“无穷曲边梯形无穷曲边梯形”的面积的

9、面积. .把这极限理把这极限理反常积分反常积分 一般通过直接计算一般通过直接计算, ,判定反常积分的判定反常积分的敛散性敛散性. .反常积分的计算方法反常积分的计算方法 伽玛函数伽玛函数概率密度函数概率密度函数4.5.2 面积、体积、弧长的计算面积、体积、弧长的计算 定积分的定积分的微元法微元法则则从而从而平面图形的面积平面图形的面积 平面图形区域的分类平面图形区域的分类直角坐标下的面积公式直角坐标下的面积公式微元法微元法微元法微元法 x 型区域型区域举例举例例例 计算计算椭圆椭圆 = 1的面积的面积. y 型区域型区域举例举例解解 抛物线抛物线 与直线与直线的交点为的交点为(2, 2), (

10、8, 4).s = (y + 4 y2/2)dy = 18 极坐标下的面积公式极坐标下的面积公式 ox微元法微元法双纽线双纽线 在在1周内取周内取 k = 0, 1 得得, 旋转体的体积旋转体的体积 微元法微元法圆锥体的体积圆锥体的体积例例 求高为求高为h, 底半径为底半径为 r 的正圆锥体的体积的正圆锥体的体积.解解 建立坐标系如图所示建立坐标系如图所示,xyohp(h, r)直线直线op的方程为的方程为 y = x rh 所所求求体积可看成直线体积可看成直线op与与 x = h, y = 0所围图形所围图形绕绕 x 轴轴旋转而成旋转而成.平面曲线的弧长平面曲线的弧长xyoaby = f (x)xabc 直角坐标下的弧长公式直角坐标下的弧长公式 参数方程下的弧长公式参数方程下的弧长公式 极坐标下的弧长公式极坐标下的弧长公式 4.5.3 定积分在经济管理与社会科学中的应用定积分在经济管理与社会科学中的应用 需求曲线需求曲线供给曲线供给曲线均衡点均衡点均衡数量均衡数量 均衡价格均衡价格 最低限价最低限价最高限价最高限价第第4章章 重要概念与公式重要概念与公式和式极限和式极限: 若若 f (x)在在0,1上可积上可积, ,则则变上限的积分函数的微商变上限的积分函数的微商微积分基本定理微积分基本定理常用积分表常用积分表换元积分法换元积分