第4章定积分及其应用

1、大学数学基础教程制作单位：成都医学院第4章 定积分及其应用主要内容: 一、定积分的概念与性质 二、微积分学基本定理 三、定积分的计算 四、定积分在几何中的应用 五、定积分在其他方面的应用 六、广义积分一、定积分的概念与性质xyos=s1s2面积面积 s=？xyoxyos1s2=？baab引例1 求曲边梯形的面积 s曲边梯形：由三条由三条直线段直线段（其中二条平行且与第三条垂直（底边底边）和一和一条曲线段条曲线段（称之为曲边，且与二平行线段有且仅有一个交点）所围成的图所围成的图形，称之为形，称之为曲边梯曲边梯形形。如左图 abba（一）两个引例baabs引例1 求曲边梯形的面积 x xfy yo

2、宽长矩形面积=baabx xfy sxyo xfy 引例1 求曲边梯形的面积 1x2x1ixix1nxxy xfy 分割（化整为零）分割（化整为零）引例1 求曲边梯形的面积 xy xfy xy xfybaab1x2x1ixix1nxbaabx xfy sxyo xfy 1x2x1ixix1nxi 取近似取近似( (不变代变不变代变) )引例1 求曲边梯形的面积 xy xfybaab1x2x1ixix1nxxy xfy xy xfybaab1x2x1ixix1nxbaabx xfy sxyo xfy 1x2x1ixix1nxii 求和求和( (积零为整积零为整) )baabx xfy sxyo

3、xfy 1x2x1ixix1nxiibaabx xfy sxyo xfy 引例1 求曲边梯形的面积 xy xfybaab1x2x1ixix1nxxy xfy xy xfybaab1x2x1ixix1nxxy xfybaab1x2x1ixix1nx 取极限取极限( (无限逼近无限逼近) )baabx xfy sxyo xfy 1x2x1ixix1nxii1x2x1ixix1nx分割分割取近似取近似求和求和取极限取极限引例1 求曲边梯形的面积 baabx xfy sxyo xfy baabx xfy sxyo xfy 1x2x1ixix1nxibaabx xfy sxyo xfy baabx xf

4、y sxyo xfy baabx xfy sxyo xfy 1x2x1ixix1nxii1x2x1ixix1nx分割分割取近似取近似求和求和取极限取极限引例1 求曲边梯形的面积 baabx xfy sxyo xfy baabx xfy sxyo xfy 1x2x1ixix1nxibaabx xfy sxyo xfy baabx xfy sxyo xfy iniixfs)(lim10引例2 变速直线运动的路程基本思想：基本思想：1t2tt引例2 变速直线运动的路程1t2tt1t2t 1itit1nti引例2 变速直线运动的路程1t2tt1t2t 1itit1nti引例2 变速直线运动的路程1t2

5、tt1t2t 1itit1ntiiniitvl)(lim10综上二例:分割(化整为零)取近似(不变代变)求和(积零为整)取极限(无限逼近)iniixfs)(lim10面积:iniitvl)(lim10路程:1、定义（二）定积分的定义iniibaxfdxxf)(lim)(10 其中：iniixf)(1：积分和 , a b：积分区间 ab：积分下限，：积分上限x：积分变量dxxf)(：被积表达式：积分号注意：1）极限存在时，定积分为一个确定的数，仅与被积函数与积分区间有关，与字母的选取无关.即：f x dxf u du( )( )1212 , a b xf2）闭区间是被积函数的定义区间.iniix

6、fs)(lim10面积面积: :iniitvl)(lim10路程路程: :引例1：引例2： badxxf badxxf 21ttdttv 21ttdttv babadxxgdxxfsxyos xfy xgy ab定理4.1： 定理4.2： 2、可积条件xyoabcab f x dxaab( )3、几何意义例1利用定积分的几何意义,求1021dxx的值. 1021dxx解：定积分在几何上表示以原点为圆心、半径为1的四分之一圆的面积(如下图的阴影部分)，1021dxx4所以21 xyyxo1-1规定：性质1bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(性质2性质3f x dxf x dx

7、f x dxabcbac( )( )( ) ()acb 4、定积分的性质性质5推论1推论2f x dxf x dxabab( )( )性质4如：m baf x dxm baab()( )(), 11614 x213211214dxx性质6（估值定理）baabfdxxf)()(证明：badxxfabf)(1)(性质7（定积分中值定理）任何一个曲边梯形的面积，总有一个与它是相同底的矩形与之面积相等（如下图） 几何上积分中值定理表示：二、（一）xadttf)(积分上限函数具有以下性质：该定理说明： )()()()()(1122)()(21xxfxxfdttfxxx更进一步地：证明：利用定积分性质、变

8、上限函数性质以及复合函数求导法则证明.解：212sinlim)(sinlim0200 xxxtdtxxx000 x当极限表达式是型不定式，用罗彼塔法则，得：200sinlimxtdtxx例2证：fxf xxt f t dtf t dtxx( )( ) () ( )( )002f t dtxt f t dtxx( ), () ( )0000 f xtf t dtf t dtxx( )( )( )00( ,)0 在内单调增加例3 ,xaxaxadtttfdttfxdttxf )(xxfdtttfxa注意：)()()()(000 xxfdttfdttfxdttxfxxx例4bxdttfx2)()()

9、.(x设，求 xu2xubuudttfx)()(2)(uubdttf2)(uf)2(2xf解：设，由复合函数的求导法则和定理4.3知例5322)(xxtdtex).(x设，求 ,2xu ,3xv xvvatxuautvdteudtex22)(xvvatxuuatvdteudte22xuxvueve22)()(2346xexexx46232xxxeex解：令由复合函数的求导法则，定积分的性质和定理4.3有常记为：方法：)()()()(afbfxfdxxfbaba（二）牛顿莱布尼兹公式解：10331x原式31031例7解：31arctan x原式124321|lnx原式2ln1ln2ln例8解：例

10、6解：20)( dttvs20510dtt2022510ttm101020例9三、定积分的计算方法由牛顿莱布尼兹公式可知，计算定积分的问题转化为求不定积分的问题.上一章学习了不定积分的换元、分部积分法，相应地，定积分也有换元、分部积分法. 则有：f x dxftt dtab( )( )( ) 1、换元积分法注意：例10解：dtta2022cos122022sin212tta42a例11 求.141dxxx )0( ttxtdtdxtx2,2解：设，则，于是1x; 1t4x2t当时，时，2124121dttttdxxx21112dtt21) 1ln(2t23ln2 解：105dtt6161106

11、t206cos61x61换元换限，不换元则不换限例12例13计算.12ln0dxeexx dxeexx12ln02ln0) 1(1xxede2ln023) 1(32xe32解： 例14计算 .sinsin053dxxx2, 0 xxcos|cos|,2|cos|xxcos解：由于在上，在上，所以 dxxxdxxx2232023)cos(sincossin2232023)(sinsin)(sinsinxxdxdx2252025sin52sin52xx525254原式注意：如果忽略 xcos,2在上为负，而按照 xxxxcossinsinsin2353来计算，将导致错误结果. 证明：adxxf0)

12、( adxxf0 adxxf02例15续adxxf0)( adxxf0 000aadxxfdxxf此结论广泛应用于以后的计算中。 ()uvu vuv babauvdxuv)(babadxvuvdxubababavdxuuvdxvubabavdxuuvdxvu:或2、定积分的分部积分法 求.cos0 xdxx例16000sinsincosxdxxxxdxx0sin xdx0cos x2, xu xdxdvcos,dxdu xvsin解：令，则于是，例17解：21022121121621xdx2102112x12312解：102tee 212ee例18四、定积分在几何中的应用对于定积分的应用，关键

13、在于微元法。那么什么是微元法呢？简单地说，就是怎样把一个所求量表示成定积分的分析方法。回顾本章第一节中讨论的引例 ：1、微元法取极限取极限baabx xfy sxyo xfy baabx xfy sxyo xfy 1x2x1ixix1nxii1x2x1ixix1nx分割分割取近似取近似求和求和baabx xfy sxyo xfy baabx xfy sxyo xfy 1x2x1ixix1nxibadxxfs)(步骤：,dxxxiiixxx,xdaa为了便于应用，取消这里的下标 i ,同时 事实上，aa( )af x dxda 且dxxfa)(dxxfa)(limbadxxf)(bada即：可见

14、， 步骤：例19法1xyoxdxx1xy 2xy ,11,00yxyx102dxxx103233132xx31313210daa2、直角坐标系下平面图形的面积法2xyo1xy 2xy 10210dxxdxxa102dxxx31xoy法1，如图yxy224 xy42abdyy4 , 8,2, 2ba184232642yyydyyyda242例20 xyxy224 xyoab28法2，如图82204222dxxxdxx18dxxx 由于所求面积具有对称性，所以选取第一象限进行计算 解：oxy12222byaxabtad tbtaxcossin420cos0224sinabtdt ab例21一般地，

15、求图形的面积通常有以下各种情形： xf1 xf2xyoab badxxfxfs21xyoab xf1 xf2xyoab xf1 xf2方法：上下xyocd y1 y2xyo y1 y2cdoxy y1 y2cd dcdyyys21方法：右左xyoabc须拆分成两部分或多部分进行计算xyoabc选取积分变量，以可以进行积分运算、分割部分区域尽量少为原则。 旋转体： 由一平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周而成的立体. 圆锥、圆柱、圆台、球体等到分别由三角形、矩阵、梯形、半圆等旋转而成 如：3、旋转体的体积讨论：,)(2dxxfdvdxxfvbax2)(ab xfy dxxxxyoxyocd y

16、xdyxvdcy2dyydc2)(同理：注意：解：hxhr0322332hrhrhp,rxdxx xyodxxhrdv2例22解：aaxxaab33222234ababxyodxxx例23五、定积分在其他方面的应用要求一组离散数据的平均值并不难，比如一个球队的平均身高、一个班的平均成绩等等.但对于一个连续函数来说，用这样的方法则不行.比如要求一昼夜间的平均气温、变速直线运动的平均速度、交流电在一个周期内的平均电流等等.这类问题也可以利用微元法的思想来解决.1、函数的平均值xxfabniin)(1lim11badxxfab)(1badxxfaby)(1即有公式：解：ttgttv0d01tgtt0

17、22101gt21例24例25计算纯电阻电路中正弦交流电tiimsin在一个周期内的平均功率. 2022dsin21ttripm2022dsin2ttrim202d)2cos1 (4ttrim20222sin4ttrim242rim22rim2mmuiriuip2trim22sin解：因为，所以)(xfa物体在变力作用下，沿直线从b移动到所做的功.讨论：dxxfdw)(常力，得到功的微元：abdxxfw)(于是，所求的功为： )(xf近似地看作小区间上的x可用微元法解，取位移为积分变量，,bax的变化区间是.在该区间上任取一个,dxxx小区间，2、定积分在物理学中的应用1)功例26abxfhx

18、dxxo)(2222hbhafwab处的分力所作的功近似代似看作恒力作功，即用点解：建立如上图所示坐标系，在区间,ba,dxxxx水平f,dxxx上任取一个在这个小区间上的分力作功可以近力在小区间上对物体所作的功.小区间替即功的微元为dxhxxfdw22（待续）为锐角，而）0 x （因cosff水平22hxxf又wdx水平fdxhxxf22所以badwwbadxhxxf22bahxdhxf)(2222122bahxf21222)(2222hahbf)(2222hbhaf（续）将物体从fax bx 所以，力处移动到处所作的功为例271v12vv 1l2labxoabkwln（待续）（续）badw

19、wbadxxkbaxk lnabk lndxxkdw 注意解题关键在于：2)液体静压力由物理知识可知，深度h处的液体的压强为 ghp其中，为重力加速度. 为液体密度，g如果有一个面积为s的平板,水平放置在深为h处的液体中,平板所受到的压力的方向垂直于平板的表面,大小为 ghspsf如果平板垂直放置在液体中，由于深度不同，液体的压强也就不同，平板一侧所受的压力就不能用上述方法来计算.这仍然是一个定积分的应用问题.及 轴所围成（如下图）.)(xfy , ax bx x设薄板的形状由曲线，直线xabx+dxyoxy=f(x) 底边为4米，高为3米的任意三角形薄板，垂直地浸入水中，顶点在上，底边与水平

20、面平行，且底边距水平面4米(如图).求此三角形薄板单侧所受的压力. 例2814xybcmnaxx+dxo解：取水平面为 y 轴，取 x 轴垂直向下且过三角形薄板顶点建立直角坐标系(如上图所示). （待续）（续）abcamn) 1(34xl由相似于得到所以三角形薄板单侧所受的压力 dxxgxf) 1(3441dxxxg) 1(344141232334xxg g18（牛顿） 在一临床试验中，先让病人禁食，以便降低体内的血糖含量，然后注射大量的葡萄糖，经测定血液中胰岛素浓度符合下列函数：例295,2550),10()()5(tettttctk2020lnk其中，时间 t 的单位为分，求1小时内血液中胰岛素的平均浓度. 3、定积分在医学上的应用600)(601)(dttctc60550)()(601dttcdttc605)5(5025)10(601dtedttttk605)5(503225315601tkektt1125312512560155kek63.11解：由连续函数平均