第4章 多元函数微分学

1、推广推广第四章第四章 多元函数微分学多元函数微分学 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意：注意：善于类比善于类比, , 区别异同区别异同一元函数、极限与连续一元函数、极限与连续 一元函数的导数一元函数的导数 一元函数的极值一元函数的极值 4.1.1 空间解析几何简介空间解析几何简介 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 4.1 4.1 多元函数、极限与连续多元函数、极限与连续 八个卦限八个卦限zyx0八个卦限八个卦限zyx0. 八个卦限八个卦限zyx0mxynz(x,y,z)m (x,y,z)点的坐标点的坐标0zyx0mxynz(x,y,z)(x,y,z)坐标和点坐

2、标和点 m1)1)位于坐标轴上点的坐标的特点：位于坐标轴上点的坐标的特点：a.若若m(x,y,z)为为z轴上的点，轴上的点，b.若若m(x,y,z)为为x轴上的点，轴上的点，c.若若m(x,y,z)为为y轴上的点轴上的点，则则z=0则则y=0则则x=02)2)位于坐标平面上点的坐标的特点：位于坐标平面上点的坐标的特点：a.若若m(x,y,z)为为xoy轴上的点，轴上的点，b.若若m(x,y,z)为为xoz轴上的点，轴上的点，c.若若m(x,y,z)为为yoz轴上的点轴上的点，一些特殊点的表示一些特殊点的表示则则x=0,y=0则则y=0,z=0则则x=0,z=00zyx0nm点到坐标面的距离点到

3、坐标面的距离m点到原点的距离点到原点的距离m点到坐标轴的距离点到坐标轴的距离pq到到z轴轴:221yxd 到到x轴轴:到到y轴轴:222yzd 223zxd m(x,y,z)d1d2d3.0zyx.p2.p1二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离设设p1(x1,y1,z1)和和p2(x2,y2,z2)为空间任意两点，则其距离为为空间任意两点，则其距离为 例例1 1 求证：以求证：以p1(- -1,4,8)、p2(- -2,7,3)和和p3(2,3,13)三点三点为顶点的三角形是等腰三角形。为顶点的三角形是等腰三角形。证明：证明：因为因为所以，此三角形是等腰三角形。所以，此三角形是等腰三角形。

4、121 3pppp21221221221)()()(zzyyxxpp35)83()47() 12(22221pp35)813()43() 12(22231pp由于由于例例2 2 一动点一动点p(x,y,z)到原点到原点o(0,0,0)的距离为定值的距离为定值1 1，求，求动点的轨迹方程。动点的轨迹方程。解：解：因为因为 , 1= |po所以根据两点间的距离公式，得所以根据两点间的距离公式，得 1)0()0()0(222222 zyxzyx化简，得所求轨迹方程为化简，得所求轨迹方程为 1=+222zyx则方程则方程(4-2)(4-2)就叫做曲面就叫做曲面s的方程，而曲面的方程，而曲面s就叫就叫做

5、方程做方程(4-2)(4-2)的图形。的图形。三、空间曲面与曲线三、空间曲面与曲线若曲面若曲面s与三元方程与三元方程 f(x,y,z)=0 (4-2)(4-2)有下述关系：有下述关系：(1)曲面曲面s上任一点的坐标都满足方程上任一点的坐标都满足方程(4-2)(4-2)；(2)不在曲面不在曲面s上的点的坐标都不满足方程上的点的坐标都不满足方程(4-2)(4-2)。1.1.平面方程平面方程一般式方程：一般式方程：点法式方程：点法式方程：其中其中a,b,c是平面法向量是平面法向量ax+by+cz+d=0，截距式方程：截距式方程：2220abc000()()()0a xxb yyc zz1xyzabc

6、平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：0=+czbyax(1)通过原点通过原点, ,平面方程的一般形式为平面方程的一般形式为即即d=0(2)平行于坐标轴平行于坐标轴 平行于平行于x轴轴：平行于平行于y轴：轴：平行于平行于z轴：轴：0=+dczby, ,平面方程的一般形式为平面方程的一般形式为a=00=+dczax, ,平面方程的一般形式为平面方程的一般形式为b=00=+dbyax, ,平面方程的一般形式为平面方程的一般形式为c=0(4)垂直于坐标轴垂直于坐标轴 垂直于垂直于x轴轴：垂直于垂直于y轴：轴：垂直于垂直于z轴：轴：0=+ dax, ,平面方程的一般形式为平面方程的一

7、般形式为b=0且且c=00=+ dby, ,平面方程的一般形式为平面方程的一般形式为a=0且且c=00=+ dcz, ,平面方程的一般形式为平面方程的一般形式为a=0且且b=0(3)通过坐标轴通过坐标轴 通过通过x轴轴：通过通过y轴：轴：通过通过z轴：轴：0=+czby, ,平面方程的一般形式为平面方程的一般形式为a=0且且d=00=+czax, ,平面方程的一般形式为平面方程的一般形式为b=0且且d=00=+ byax, ,平面方程的一般形式为平面方程的一般形式为c=0且且d=0例例3 3 求过求过x轴和点轴和点p(2,- -2,3)的平面方程。的平面方程。 解：解：因为平面过因为平面过x轴

8、，所以设平面的方程为轴，所以设平面的方程为 0=+czby将点将点p(2,- -2,3)代入上式，得代入上式，得 0=3+2cb解得解得 cb23=cb23=将将代入方程代入方程by+cz=0中，得中，得0=+23czcy因为因为c0， 故所求平面方程为故所求平面方程为 0=+23zy0=2+3zy即即例例4 4 设平面过点设平面过点p(a,0,0),q(0,b,0),r(0,0,c) ( (其中其中abc0) )，求该，求该平面的方程。平面的方程。解：解：设平面的方程为设平面的方程为 0 dczbyax将三点坐标代入得将三点坐标代入得 cdcbdbadadccdbbdaa ,000将将 cd

9、cbdbada , ,代入所设方程代入所设方程, ,得得 0 dzcdybdxaddzyxd=)c+b+a(即即由题设由题设abc0可知可知， 平面不经过原点，平面不经过原点， 所以所以 d0于是所求平面的方程为于是所求平面的方程为 1=+c cb ba azyx2.2.二次曲面方程二次曲面方程把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。为了把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。为了了解三元方程了解三元方程f(x,y,z)=0所表示的曲面的形状，通常采用所表示的曲面的形状，通常采用平行截口法平行截口法。即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线。即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截，考察其交线（即

10、平行截口法）的形状，然后加以相截，考察其交线（即平行截口法）的形状，然后加以综合，从而了解综合，从而了解曲面的全貌曲面的全貌。试用平行截口法考察下面的二次曲面。试用平行截口法考察下面的二次曲面。xzy0平行截口法平行截口法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面1. 椭圆抛物面椭圆抛物面zqypx22222 xzy0平行截口法平行截口法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面1. 1. 椭圆抛物面椭圆抛物面.zqypx22222 用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面xzy0zq

11、ypx 2222平行截口法平行截口法 （马鞍面）（马鞍面）2.2.双曲抛物面双曲抛物面 平行截口法平行截口法2. 2. 双曲抛物面双曲抛物面 （马鞍面）（马鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222平行截口法平行截口法2.2.双曲抛物面双曲抛物面 （马鞍面）（马鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 222212222 byaxabzxyo3.3.椭圆柱面椭圆柱面zxy = 0y12222 bzaxo4.4.双曲柱面双曲柱面pxy22 zxyo5.5.抛物柱面抛

12、物柱面曲线曲线 c 00),(xzyfcy zo绕绕 z轴轴6.6.旋转面的方程旋转面的方程曲线曲线 c 00),(xzyfxcy zo绕绕 z轴轴6.6.旋转面的方程旋转面的方程曲线曲线 c00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 scsmn), 0(11zy zz 1zpmpy |11y1zy zo绕绕 z轴轴22yx f (y1, z1)=0m(x,y,z)6.6.旋转面的方程旋转面的方程x s曲线曲线 c 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 sxcsmn), 0(11zyzz 1zpmpy |11y1z0),( 22 zyxfs：.绕绕 z轴轴.22y

13、x f (y1, z1)=0m(x,y,z)6.6.旋转面的方程旋转面的方程y zo sx zbyax 双曲线双曲线0y7.7.绕绕 x 轴一周轴一周x zbyax 双曲线双曲线0zy绕绕 x 轴一周轴一周7.7.x0zy 得得双双叶叶旋旋转转双双曲曲面面122222 bzyax. zbyax 双曲线双曲线7.7.绕绕 x 轴一周轴一周axyo8.8.上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax axyoz上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 8.8.a.xyoz 得得单单叶叶旋旋转转双双曲曲面面122222 byazx8.8.上题双曲线

14、上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 0 0 2222 =z=byax9.9.旋转锥面旋转锥面两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yo 0 0 2222 =z=byax两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yoz9.9.旋转锥面旋转锥面x yoz 0 0 2222 =z=byax两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面022222 bzyax9.9.旋转锥面旋转锥面yoz 02 xazy10.10.抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周yoxz 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周10.10.旋转抛物面旋转抛物面

15、yayxz22 .oxz生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？.10.10. 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周得旋转抛物面得旋转抛物面13. 例例四、空间曲线一般方程四、空间曲线一般方程空间曲线可看作两个曲面的交线。空间曲线可看作两个曲面的交线。设设f(x,y,z)=0和和g(x,y,z)=0是两个曲面的方程，它们是两个曲面的方程，它们的交线为的交线为c。因为曲线。因为曲线c上的任何点的坐标应同时满足上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组这两个曲面的方程，所以应满足方程组这个方程叫做空间曲线这个方程叫做空间曲线c的一般方程。的一般方程。0),(0),

16、(zyxgzyxf其交线都是其交线都是xoy平面上的圆周平面上的圆周222ryx由此可看出表示由此可看出表示空间曲线空间曲线的方程组不是唯一的。的方程组不是唯一的。例例5 5 考虑方程组考虑方程组与与的交线。的交线。02222zrzyx2222222ryxrzyx二、二、多元函数的概念多元函数的概念一、一、 区域区域三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性4.1.2 4.1.2 多元函数概念多元函数概念 以一点以一点p0(x0,y0)为圆心，长度为半径为圆心，长度为半径的圆形区域的圆形区域( (不包括圆周，记做不包括圆周，记做u(x0,y0),）或为）或为u

17、(p0,)一、区域一、区域 ( (圆邻域圆邻域) )( (球邻域球邻域) ) ),(),(0zyxpu)()()(202020zzyyxx例如例如, ,在平面上在平面上, ,在空间中在空间中, , ),(),(0yxpu)()(2020yyxx1 1、邻域、邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域, ,平面上的方邻域为平面上的方邻域为 ),() ,u(0yxp。0p因为方邻域与圆因为方邻域与圆邻域可以互相包含。邻域可以互相包含。,0 xx0 yy2. 区域区域(1)内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集 e 及一点及一点 p : 若存在点若存在点p的某邻域

18、的某邻域u(p) e, 若存在点若存在点p的某邻域的某邻域u(p)e=, 若对点若对点p的任一邻域的任一邻域u(p)既含既含e中的内点也含中的内点也含e的外点的外点, ,e则称则称 p 为为 e 的的内点内点；则称则称p为为e的的外点外点;则称则称p为为e的的边界点边界点。显然显然, e 的内点必属于的内点必属于 e , e 的外点必不属于的外点必不属于 e , e 的的边界点可能属于边界点可能属于 e, 也可能不属于也可能不属于 e。(2)聚点聚点若对任意给定的若对任意给定的 , , 点点p 的去心邻域的去心邻域) ,(pue内总有内总有e中的点中的点, , 则则称称p是是e的的聚点聚点。聚

19、点可以属于聚点可以属于e , 也可以不属于也可以不属于e ( (因为聚点可以为因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为所有聚点所成的点集成为 e 的的导集导集 . .e的边界点的边界点 ) )d(3)开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集e的点都是的点都是内点内点，则称，则称e为为开集开集； 若点集若点集e e , , 则称则称e为为闭集闭集； 若集若集d中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于d的折线相连的折线相连, , 开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域。则称则称d是是连通的连通的; ; 连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域，简称，简称区域区

20、域；。 。 e的边界点的全体称为的边界点的全体称为e的的边界边界，记作，记作 e ;例如，例如，在平面上在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域开区域闭区域闭区域xyo21xyoxyoxyo21 整个平面整个平面 点集点集 1),(xyx是开集，是开集， 是最大的开域是最大的开域, , 也是最大的闭域；也是最大的闭域；但非区域。但非区域。11oxy 对区域对区域d，若存在正数若存在正数k , 使一切点使一切点p d与某定点与某定点 a的距离的距离 apk, 则称则称d为为有界域有界域, 否则称为否则称为无界域。无界域。3. n维空间维空间n

21、元有序数组元有序数组(x1,x2,xn)的全体称为的全体称为n维空间维空间, ,记作记作rn，即即n维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素(x1,x2,xn)，称为空间中的，称为空间中的一个点，数一个点，数xk称为该点的第称为该点的第k个坐标。个坐标。rrrrnnkxxxxkn,2, 1,r),(21当所有坐标当所有坐标xk=0时，时， 称该元素为称该元素为rn中的零元，记作中的零元，记作0。 2222211)()()(),(nnyxyxyxyxrn中点a的的 邻域邻域为为),(,r),(axxxaun,),(yxyx或规定为规定为 22221nxxxxrn中的点中的点x=(x1,x2,xn

22、)与点与点y=(y1,y2,yn)的距离记作的距离记作rn中的点中的点x=(x1,x2,xn)与零元与零元0的距离为的距离为当当n=1,2,3时，时，|x|通常记作通常记作|x|。rn中的变元中的变元x与定元与定元a满足满足|x- -a|0，记作，记作 xa。引例：引例： 圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式,2hrv,(为常数）rvtrp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(ttvtvcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappshr二、多元函数概念二、多元函数概念 定义定义1 1.

23、 . 设非空点集设非空点集,rnd dppfu, )(或点集点集d 称为函数的称为函数的定义域定义域； 数集数集dp,pfuu)(，称为函数的，称为函数的值域值域。特别地，当特别地，当n=2时，有二元函数时，有二元函数2r),(),(dyxyxfz当当n=3时，有三元函数时，有三元函数3),(),(=r rdzyxzyxfu映射映射r:df称为定义称为定义在在 d 上的上的n元函数，元函数，记作记作),(21nxxxfu定义定义2 2 设有三个变量设有三个变量x,y,z，若变量，若变量x,y在允许的区在允许的区域内任意取定一对值时，变量域内任意取定一对值时，变量z按着一定的规律总按着一定的规律

24、总有唯一确定的值与之对应，则变量有唯一确定的值与之对应，则变量z称为称为x,y的二元的二元函数，记作函数，记作z=f(x,y)其中其中x,y称为自变量，称为自变量，z 称为因变量。称为因变量。xzy例如例如，二元函数，二元函数221yxz定义域为定义域为1),(22 yxyx圆域圆域说明说明: : 二元函数二元函数z = f (x, y), (x, y) d图形为中心在原点的上半球面。图形为中心在原点的上半球面。, )sin(=yxz的图形一般为的图形一般为空间曲面空间曲面 。12r),(yx三元函数三元函数 )arcsin(222zyxu定义域为定义域为1),(222zyxzyx图形为图形为

25、r4空间中的超曲面。空间中的超曲面。单位闭球单位闭球xyzo又如又如)arcsin()2(22yxz 1)1(221 yxz例例6 6 求下列函数定义域求下列函数定义域,| ),( yxyxd解：解：(1)函数函数z的定义域是整个的定义域是整个xoy平面，是无界开区平面，是无界开区域，即域，即10| ),(22 yxyxd(2)函数函数z的定义域是整的定义域是整xoy个个平面上，中心在原点，半径平面上，中心在原点，半径为为1的圆周及其圆内部各点的全体，它是有界闭区域，即的圆周及其圆内部各点的全体，它是有界闭区域，即 xyz1ln1)1( 222242511)2(yxyxz 例例7 7 求下列函

26、数的定义域求下列函数的定义域10, 0| ),(xyxyxd且解：解：(1)函数函数z的定义域是无界区域，即的定义域是无界区域，即 0425, 1| ),(2222 yxyxyxd(2)函数函数z的定义域是的定义域是 即椭圆即椭圆 x2+4y2=25 内与圆内与圆 x2+y2=1 外的公共外的公共部分，部分，它是不包括圆周和椭圆上的点的开区域。它是不包括圆周和椭圆上的点的开区域。4.1.3 二元函数的极限与连续性二元函数的极限与连续性 ayxfyyxx),(lim00ayxf),(lim020200)()(yyxxpp定义定义2 2 设二元函数设二元函数f(x,y)在点在点p0(x0,y0)的

27、某一邻域内有的某一邻域内有定义定义( (在在p0处可以无定义处可以无定义) )，若，若p(x,y)沿沿任何路径无限任何路径无限趋趋于定点于定点p0(x0,y0)时，函数时，函数f(x,y)无限趋于一个常数无限趋于一个常数a，则，则称称a是函数当是函数当p(x,y)p0(x0,y0)时的极限，记作时的极限，记作或或其中其中是指是指p与与p0间的距离间的距离。对于该定义，应注意以下两点：对于该定义，应注意以下两点： 1 1、即使当点、即使当点p(x,y)沿着许多沿着许多特殊的方式特殊的方式趋近于趋近于p0时，时，对应的函数值都趋近于同一个常数，也不能判定对应的函数值都趋近于同一个常数，也不能判定)

28、,(lim0yxf的存在。的存在。2 2、当、当p沿着两条不同的曲线趋近于沿着两条不同的曲线趋近于p0时，函数时，函数f(x,y)趋近趋近于不同的值，可以断定极限于不同的值，可以断定极限 不存在。不存在。),(lim0yxf解：解：设设 p(x , y) 沿直线沿直线 y = k x 趋于点趋于点 (0, 0) ,222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx则有则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同! !故故f(x,y)在在 (0,0) 点极限不存在。点极限不存在。22),(yxyxyxf在点在点(0,0)的极限。的极限。例例8 8 讨论函数讨论函数xyxyyx11lim00

29、例例9 9 求求xyxyyx11lim00 xyxyxyyx) 11(11lim00解：解：xyxyxyyx) 11(lim0011lim00 xyyx21例例1010 求极限求极限yxyyx)sin(lim02解：解：=)sin(lim02yxyyxxyxyxyx)sin(lim02xyxyxyxyx)sin(limlim02022=(2),(lim),(),(00yxfyxyx),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx(3)则称函数则称函数z=f(x,y)在点在点p0(x0,y0)连续，否则称函数连续，否则称函数z=f(x,y)在点在点p0(x0,y0)处间断。处间断。定义

30、定义3 3 设函数设函数z=f(x,y)满足条件满足条件(1)在点在点p0(x0,y0)及其邻域内有定义；及其邻域内有定义；存在；存在；解解：(1)由前面的由前面的例例5 5讨论可知，函数讨论可知，函数z1当当p(x,y)沿直沿直线线y=kx趋于点趋于点(0,0)时极限不存在，故时极限不存在，故z1的间断点是的间断点是xoy平面上的孤立点平面上的孤立点(0,0)。 (2)因为函数因为函数z2的定义域是的定义域是1+22yx122 yx故函数故函数z的间断点是的间断点是221yxxyz11222yxz例例1111 求下列函数的间断点求下列函数的间断点(2)(1)4.2 4.2 偏导数与全微分偏导

31、数与全微分 定义定义1 1 设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某一邻域内有定的某一邻域内有定义，当义，当y固定在固定在y0而而x在在x0处有增量处有增量x 时，相应的函数时，相应的函数有增量有增量f(x0+x,y0)- -f(x0,y0)，称其为函数在点称其为函数在点(x0,y0)处处对对x的的偏增量偏增量。4.2.1 4.2.1 偏导数的概念及计算偏导数的概念及计算定义定义2 2 设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某邻域内的某邻域内xyxfyxxfx),(),(lim00000的偏导数，记为的偏导数，记为;),(00yxxf存在，存在，则称此则称此极限极限

32、为函数为函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)对对x极限极限)(0 xf)()(00 xfxxfx0limx;),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxyxyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意：注意：;),(00yxxz0),(dd0yyyxfy同样可定义对同样可定义对 y 的偏导数的偏导数 lim0y),(00yxfy若函数若函数z = f (x , y)在域在域d内每一点内每一点(x, y)处对处对x或或y),(,yxfzxfxzxx则该偏导数称为偏导函数则该偏导数称为偏导函数, , 也简称为也简称为偏导数偏导数 ,)

33、,(0 xf),(0 xfy记为记为yy00y偏导数存在，偏导数存在，),(,yxfzyfyzyy),(zyxfx例如，例如，三元函数三元函数u = f (x, y,z)在点在点(x,y,z)处对处对x的的偏导数的概念可以偏导数的概念可以推广到二元以上推广到二元以上的函数。的函数。 lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏导数定义为偏导数定义为( (请自己写出请自己写出) )例例1 1 求求z=x2+3xy+y2在点在点(1,1)处的偏导数。处的偏导数。解法解法1:1:xz) 1 , 1 (xz解法解法2:2:) 1, 1(xz) 1, 1(yz,3

34、2yx yzyx23 , 51312) 1 , 1 (yz51213132xx1)32(xx51xz231yy 1)23(yy51yz例例2 2 0002),(2222yxyxyxxyyxf当当设解解: :xxxx00)(02lim20 xfxfx) 0 , 0 () 0 ,0 (lim0),( 00 xf=0求求),(),(0000yxffyyyy0)(002lim20yfyfy) 0 , 0 ()0 , 0 (lim0),( 00yf=0yzxz ,例例3 3 设设 z=xy ，求求 。 解：解：把看作把看作y常数，则常数，则z=xy是关于是关于x的幂函数，的幂函数，由幂函数的求导公式，得

35、由幂函数的求导公式，得 1 yyxxz把看作把看作x常数，则常数，则z=xy是关于是关于y的指数函数，的指数函数，由指数函数的求导公式，得由指数函数的求导公式，得 xxyzyln 例例4 4 求求222zyxr解解: :xr2222zyxx2rx,ryyrrzzr的偏导数。的偏导数。二元函数偏导数的几何意义：二元函数偏导数的几何意义：00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfz00),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线是曲线0),(xxyxfz在点在点 m0 处的切线处的切线m0tx对对 x 轴的斜率。轴的斜率。在点在点m0 处的切线处的切线m0tx对对y轴的斜率。轴

36、的斜率。是曲线是曲线yxz0 xytoxt0y0m注意：注意：函数在某点各偏导数都存在函数在某点各偏导数都存在, ,但在该点不一定连续但在该点不一定连续. .显然显然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0000 xxfxfx),(dd),(0000yyfyfy),(dd),(00在上节已证在上节已证f (x , y)在点在点(0 , 0)并不连续！并不连续！4.2.2 4.2.2 全微分全微分设函数设函数 z=f(x,y) 在点在点 (x,y) 的某一邻域内有的某一邻域内有定义，给定义，给x以增量以增量x，同时给，同时给 y 以增量以增量y时，时，则则z=f(x+

37、x,y+y)- -f(x,y)，称为函数称为函数f(x,y)在点在点(x,y)处对处对x的的全增量。全增量。4.2.2.1 4.2.2.1 定义定义 一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义 若函数若函数z = f (x, y)在定义域在定义域d的内点的内点(x , y), )(oybxaz其中其中a , b不依赖于不依赖于 x , y，仅与，仅与x, y有关，有关，则称函数则称函数在点在点(x, y)的的全微分全微分，记作，记作bdydxafz+=d=d若函数在域若函数在域d内各点都可微，内各点都可微，则称此函数在则称此函数在d内内可微。可微。22)()(yxf (x, y)在点在点(x,

38、y)可微可微，ax+by称为函数称为函数 f(x,y)处全增量处全增量 z=f(x+x,y+y)- -f(x,y) 可表示成可表示成考虑考虑z=ax+by+o()，它对一切，它对一切x,y都是成立都是成立的。显然对的。显然对y=0也成立，于是也成立，于是)(+=oxaz即即xoaxz)(+=)()(limlim00 xaxoaxzxx其中因此因此axz 同理同理byz定理定理1 1( (可微的必要条件可微的必要条件) ) 若函数若函数 z=f(x,y) 在点在点(x,y)可微，则它在点可微，则它在点(x.y)处的两个偏导数处的两个偏导数 必存在，必存在，且且yzxz ,yzbxza,dyyzd

39、xxzdz 二元函数的全微分可写成二元函数的全微分可写成推广三元函数推广三元函数u=f(x,y,z)的全微分公式为的全微分公式为dzzudyyudxxudu(2)偏导数连续偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oybxa下面两个定理给出了可微与偏导数的关系：下面两个定理给出了可微与偏导数的关系：(1)函数可微函数可微函数函数z = f (x, y)在点在点(x, y)可微可微),(lim00yyxxfyx由微分定义：由微分定义：得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续函数在该点连续偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 即即例例5 5. .计算函数计算函数 z=x2y+

40、y2 的全微分。的全微分。解：解：因为因为xz yz,2xyyx22定理定理2 2 ( (充分条件充分条件) )yzxz,若函数若函数z=f(x,y)的偏导数的偏导数dyyxxydxdz)2+(+2=2在点在点p(x,y)连续，则函数在该点连续，则函数在该点可微分可微分。所以所以例例6 6. .计算函数计算函数的全微分。的全微分。 zyeyxu2sin解：解：因为因为udxd1yyd) cos(221zeyzydzyezyzzyzyxyeuzeyuu=,+2cos21=, 1=例例7 7 求函数求函数 z=exy 在点在点 (2,1) 处的全微分。处的全微分。 解：解：因为因为xyxyxexe

41、= =y yz z ,xyyexz2 21 1= =y y2 2= =x x2 21 1= =y y2 2= =x x2e2e= =| |y yz z, ,e e= =| |x xz z将点将点(2,1)代入上式，得代入上式，得所以所以 dyedxedz222 全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用 yyxfxyxfdzyx),(+),(=yyxfxyxfdzzyx),(+),(=yyxfxyxfzyx),(+),( yyxfxyxfyyxxfyx),(+),()+,+(例例8 8 计算计算(0.99)2.02的近似值。的近似值。解：解：设设f(x,y)=xy , ,取取 02. 0

42、, 2,01. 0, 1 yyxx则则 f(1,2)=198. 002. 00)01. 0(21)99. 0(02. 2 2|)2 , 1(211 yxyxyxf0|ln)2 , 1(211 yxyyxxf从而，得从而，得4.2.3 高阶偏导数高阶偏导数设设 z = f (x , y)在域在域d内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数),(, ),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy则称它们是则称它们是z = f (x, y) 的的二阶偏导数二阶偏导数。按求导顺序不同，有下列四个二阶偏导

43、数：按求导顺序不同，有下列四个二阶偏导数：22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数. .例如，例如，z= f (x, y)关于关于x的三阶偏导数为的三阶偏导数为3322)(xzxzxz = f (x, y)关于关于x的的n 1阶偏导数，再关于阶偏导数，再关于 y 的一阶的一阶) (yyxznn1偏导数为偏导数为11nnxz例例9.9.求函数求函数yezxsin解：解：xz22xzyzxyz2yxz2 22 yz注意：注意：此处此处xyzyxz22但这一结论并不总成立。但这一结论并不总成立。yexsinye

44、xcosyexsinyexcosyexcosyexsin的二阶偏导数。的二阶偏导数。xyyxff定理定理2 2 若若fxy(x,y)和和fyx(x,y)都在区域都在区域d内连续，则内连续，则(证明略) 例例1010 证明函数证明函数22lnyxz02222yzxz证明：证明：xz22xz满足方程满足方程22yxx22222)(2)(yxxxyxyz22yxy22222)(yxxy22yz22222)(2)(yxyyyx22222)(yxyx所以所以02222yzxz例例1111 设设z=cos(2xy)，求，求 ， 23yxz 23xyz 解：解：因为因为 )2sin(2xyyxz )2cos

45、(4)2sin(22xyxyxyyxz 而而z=cos(2xy)是初等函数，所以它的各阶扁导数也是初等是初等函数，所以它的各阶扁导数也是初等数，它们在数，它们在xoy面上是连续的，所以面上是连续的，所以 和和 与求与求导次序无关，则有导次序无关，则有 x xy yz z2 2y yx xz z2 2)2sin(8+)2cos(4)2cos(4=2xyyxxyxxyx2 23 3x xy yz z)2sin(8+)2cos(4)2cos(4=2xyxyxyyxyy2 23 3y yx xz z)2sin(8+)2cos(8=2xyyxxyx)2sin(8+)2cos(8=2xyyxxyy例例12

46、12证明函数证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯满足拉普拉斯0222222zuyuxu证明：证明：xu22xu利用对称性，有利用对称性，有,3152322ryryu222222zuyuxu方程方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0内容小结内容小结1.1.偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义；记号；几何意义定义；记号；几何意义 函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关2.2.偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处

47、偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法逐次求导法(与求导顺序无关时与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序应选择方便的求导顺序)一元复合函数一元复合函数)(),(xuufy求导法则求导法则xuuyxydddddd多元复合函数求导的链式法则多元复合函数求导的链式法则4.3 4.3 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 xvvz一、多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导法则定理定理3 3 若函数若函数连续偏导数，连续偏导数，z=f(x,y)在点在点 (u,v) 处有连续偏导数，处有连续偏导数，则复合

48、函数则复合函数xzyzyuuzyvvzxuuzzvuyxyx),(),(=yxyxfz对对x及及y的偏导的偏导数存在且有数存在且有在点在点(x,y)处有处有),(),(yxvyxu推广：推广：设下面所涉及的函数都可微。设下面所涉及的函数都可微。1)1)中间变量是中间变量是一元函数一元函数的情形。的情形。例如，例如，)(, )(, ),(tvtuvufzdtdzdtduuzdtvdvzzvutt2)2)中间变量中间变量多于两个的多于两个的情形。情形。例如，例如，, ),(wvufz tzddzwvuttttuuzddtvvzddtwwzdd)(, )(, )(twtvtu又如又如, ,),(,

49、),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时当它们都具有可微条件时, , 有有xz121ffyz22 ffz xyx注意：注意： 这里这里xzxfxz表示固定表示固定 y 对对 x 求导，求导，xf表示固定表示固定 v 对对 x 求导求导口诀：口诀： 分段用乘分段用乘, , 分叉用加分叉用加, , 单路全导单路全导, , 叉路偏导叉路偏导xfxvvfyvvf与不同，不同，v解：解：xzxv 2ln xyxxyx22)ln(2yzxuuzxvvzyvuyuuzyvvzzvuyxyxyv 2ln yyxxyy22)ln(2xvu例例1 1 设设z=ulnv，u=x2+y2，v=xy，求求.,yzxz

50、例例2 2 设设 .ddtzztyxtttzdd)1(4)23(sec222txyxt txxzddtyyzddtz求全导数求全导数,1),23tan(2txyxtz, ty 解解: :)21()23(sec22tyxt )23(sec322yxt)23(sec)2143(223yxttt例例3.3.设设,)1 (yxyzyzxz,求解解: :xz 12)1 (yxyyxuuz,1xyuyv vuz xvvz)1ln(1)1 (xyxyxyxyyyuuzyvvzyz zvuyyx例例4 4 设设 ，求，求 ),(xyyxxyfz yzxz ,解：解： xyyxfxxyxyyxyfxyyxxyf

51、xzxz,)(,1,221xyxyyxfyxyyxfxyxyyxyf xyyxfxyxyyxxfxyyxyf,221 xyyxfxxyxyyxxfxyyxxyfyzyz,)1(,)(,221xxyyxfyxxyyxfxyxyyxxf xyyxyfxyyxfyxxyyxxf,212二、隐含数的微分法二、隐含数的微分法1 1、一个方程的情形、一个方程的情形1)1)设方程设方程f(x,y)=0确定函数确定函数y=y(x)，求求 dxdyxf 0 定理定理4.54.5yxffdxdy 方程两边对方程两边对x 求导，得求导，得dxdyfy ),(yxfu xy例例5 5设设x2+y2=1，求，求dxdy

52、及及22dxyd解解：法：法1 1122yxyxf),(dxdyyxff yx22 22dxyd dxdydxd2yyxy 31y yxdxd2yyxxy 322yxy 法法2 2 两边关于两边关于x求导求导022 yyxyxy yx 2 2）设方程设方程f(x,y,z)=0确定二元隐函数确定二元隐函数z=z(x,y)求求yzxz , ),(zyxfu xf zxffxz yzfz zyffyz xyz方程两边对方程两边对x 求偏导，得求偏导，得xzfz 0方程两边对方程两边对 y 求偏导，得求偏导，得yf 0定理定理4.64.6例例6 6 设设x2+y2+z2- -4z=0，求求22xz,y

53、z,xz 解：解：法法1 1zzyxzyxf4222),(xfx2 ,yf,y 2 42 zfzxz zxff zx 2.zy 222xz xzx2)2()()2(zxzxz32222)z(x)z( yz, zyff zxx 23224)z(y 法法2 2 两边关于两边关于x求导求导0422 xxzz zx两边关于两边关于y求导求导0422 yyzz zy例例7 7设设0 xyzez，求，求yxz2解：解：),(zyxfxyzezxz zxff xyeyzz xyeyzzyxz 2)(xzy )(xyeyzyz2)()()(xyexyzeyzxyeyzyzzzz3222)()(xyeyxxyz

54、eezzzzyz zyff xyexzz 设设 00)v ,u, y,x(g)v ,u, y,x(f求求yv,xv,yu,xu 确定了隐函数确定了隐函数: :),(yxuu ),(,yxvv 方程两边对方程两边对x求偏导求偏导, ,得得即即 xvuxvugxvgxugfxvfxufxf xufu xvfv 0 xg xugu xvgv 0 二二. .方程组的情形方程组的情形解方程组即得解方程组即得例例8 设设 10 xvyuyvxu求求yv,xv,yu,xu 方程两边对方程两边对x 求偏导，得求偏导，得xuxu 即即 vxvxxuyuxvyxux xu,yxyvxu22 xv22yxxvyu

55、解解 xvy 0 xuy xvxv 0 方程两边对方程两边对y 求导求导, ,得得 10 xvyuyvxu 00yvxyuyuyvyvyux即即 uyvxyuyvyvyyux yu,yxyuxv22 yv22yxyvxu 例例9 910222zyxzyx, , 求求.,dzdydzdx设设方程两边对方程两边对z 求导，得求导，得解：解：01 dzdydzdx0222zdzdyydzdxx 1dzdydzdxzdzdyydzdxx即即dzdydzdx;xyyz.xyzx一元函数与二元函数的比较一元函数与二元函数的比较一元函数一元函数 二元函数二元函数 定义域定义域 数轴上的区间数轴上的区间 平面

56、中的区域平面中的区域 图像图像 平面中的曲线平面中的曲线 空间中的曲面空间中的曲面 极限极限 单极限单极限 二重极限二重极限 微分学微分学 导数与微分导数与微分 偏导数与全微分偏导数与全微分 积分学积分学 定积分定积分 二重积分二重积分 一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值4.4 4.4 多元函数的极值多元函数的极值xyz一、多元函数的极值一、多元函数的极值 定义定义 若函数若函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某邻域内有的某邻域内有则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值( (极小值极小值) )。极大值和极小值极大值和

57、极小值例如：例如：在点在点 (0,0) 有极小值有极小值; ;在点在点 (0,0) 有极大值有极大值; ;在点在点 (0,0) 无极值无极值. .统称为统称为极值极值, ,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点。),(),(00yxfyxf或2232yxz22+=yxzyxz xyzxyz说明：说明：使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为驻点的点称为驻点。 定理定理5 5( (必要条件必要条件) )证明证明: :据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. .0),(,0),(0000yxfyxfyx 但驻点不一定是极值点。但驻点不一定是

58、极值点。例如：例如：z=xy有驻点有驻点(0, 0)，但在该点不取极值。但在该点不取极值。 且在该点取得极值，则有且在该点取得极值，则有若函数若函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)存在偏导数，存在偏导数，因函数因函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)取得极值，故取得极值，故函数函数z=f(x,y0)在在x=x0取得极值取得极值函数函数z=f(x0,y)在在y=y0取得极值取得极值时时, , 具有极值具有极值定理定理6 6 ( (充分条件充分条件) )内具有一阶和二阶连续偏导数，且内具有一阶和二阶连续偏导数，且令令则则: :1)当当a0 时取极小值时取极小值.2)2)当当3)3)当当时

59、时, , 没有极值。没有极值。时时, , 不能确定不能确定 , , 需另行讨论需另行讨论. .若函数若函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某邻域的某邻域0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfcyxfbyxfayyyxxx02 bac02 bac02 bac利用利用定理定理6 6的的1)、2)，把具有二阶连续偏导数的函数，把具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)的极值的求法叙述如下：的极值的求法叙述如下：第一步：解方程组第一步：解方程组 0),(, 0),( yxfyxfyx求得一切实数解，即可求得一切驻点。求得一切实数解，即可求得一切驻

60、点。第二步：对于每一个驻点第二步：对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的，求出二阶偏导数的值值a、b和和c。第三步：定出第三步：定出ac- -b2的符号，按的符号，按定理定理2 2的结论判定的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。是否是极值、是极大值还是极小值。例例1.1.求函数求函数 f(x,y)=x3- -y3+3x2+3y2- -9x 的极值。的极值。解：解：第一步：求驻点第一步：求驻点. .得驻点：得驻点： (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步：判别第二步：判别. .在点(1,0) 处为极小值;解方程组解方程组abc),