二次函数压轴题——角的存在性

1、一解答题（共5小题） 例1（2013河南）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由（3）若存在点P，使PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标 例2（2012惠山区校级模拟）如图，抛物线y=ax2+bx3a经过A（1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m1）在第四象限的抛物线上，求点D关

2、于直线BC对称的点D'的坐标（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使PCB=CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由 例3（2014湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=x2+bx+c（c0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CAx轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD（1）若点A的坐标是（4，4）求b，c的值；试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由 练习1（20

3、13十堰）已知抛物线y=x22x+c与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（1，0）（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求E的度数；（3）如图2，已知点P（4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当PMA=E时，求点Q的坐标 2（2012合川区模拟）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求直线BC及二次函数的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A点P在抛物线的对称轴上，且APD=ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求OCA与OCD两角和的度

4、数2015年05月13日1873957725的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共5小题）1（2013河南）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由（3）若存在点P，使PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）本问采

5、用数形结合的数学思想求解将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个联立解析式解方程组，即可求出m的值；（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标解答：解：（1）在直线解析式y=x+2中，令x=0，得y=2，C（0，2）点C（0，2）、D（3，）在抛物线y=x2+bx+c上，解得b=，c=2，抛物线的解析式为：y=x2+x+2（2）PFOC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，PF=OC

6、=2，将直线y=x+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个将直线y=x+2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y=x+4，联立，解得x1=1，x2=2，m1=1，m2=2；将直线y=x+2沿y轴向下平移2个单位，得到直线y=x，联立，解得x3=，x4=（在y轴左侧，不合题意，舍去），m3=当m为值为1，2或时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形（3）存在理由：设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+2），F（m，m+2）如答图2所示，过点C作CMPE于点M，则CM=m，EM=2，FM=yFEM=m，tanC

7、FM=2在RtCFM中，由勾股定理得：CF=m过点P作PNCD于点N，则PN=FNtanPFN=FNtanCFM=2FNPCF=45°，PN=CN，而PN=2FN，FN=CF=m，PN=2FN=m，在RtPFN中，由勾股定理得：PF=mPF=yPyF=（m2+m+2）（m+2）=m2+3m，m2+3m=m，整理得：m2m=0，解得m=0（舍去）或m=，P（，）；同理求得，另一点为P（，）符合条件的点P的坐标为（，）或（，）点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、平行四边形、相似三角形（或三角函数）、勾股定理等重要知识点第（2）

8、问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解2（2012惠山区校级模拟）如图，抛物线y=ax2+bx3a经过A（1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使PCB=CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）将A（1，0）、C（0，3）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx3a中，列方程组求a、b的值即可；（2）将点D

9、（m，m1）代入（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标；（3）当PCB=CBD时，可知CPBD，根据三角形的全等关系确定P点坐标解答：解：（1）将A（1，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx3a中，得，解得，y=x22x3；（2）将点D（m，m1）代入y=x22x3中，得m22m3=m1，解得m=2或1，点D（m，m1）在第四象限，D（2，3），直线BC解析式为y=x3，BCD=BCO=45°，CD=CD=2，OD=32=1，点D关于直线BC对称的点D'（0，1）；（3）存在过D点作DEx轴，垂足为E，交直线BC于F

10、点（如图），PCB=CBD，CPBD，又CDx轴，四边形PCDB为平行四边形，OCPEDB，OP=BE=1，设CP与BD相交于M点（m，3m9），易求BD解析式为：y=3x9，由BM=CM，得到关于m的方程，解方程后，得m=；于是，M点坐标为：M（，）；于是CM解析式为：y=x3，令CM方程中，y=0，则x=9，所以，P点坐标为：P（9，0），P（1，0），或（9，0）点评：本题考查了二次函数的综合运用关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标3（2014湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=x2+bx+c（c0）的顶点为D，与y

11、轴的交点为C，过点C作CAx轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD（1）若点A的坐标是（4，4）求b，c的值；试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出b、c的值；求证AD=BO和ADBO即可判定四边形为平行四边形；（2）根据矩形的各角为90°可以求得ABOOBC即=，再根据勾股定理可得OC=BC，AC=OC，可求得横坐标为

12、±c，纵坐标为c解答：解：（1）ACx轴，A点坐标为（4，4）点C的坐标是（0，4）把A、C两点的坐标代入y=x2+bx+c得，解得；四边形AOBD是平行四边形；理由如下：由得抛物线的解析式为y=x24x+4，顶点D的坐标为（2，8），过D点作DEAB于点E，则DE=OC=4，AE=2，AC=4，BC=AC=2，AE=BCACx轴，AED=BCO=90°，AEDBCO，AD=BODAE=OBC，ADBO，四边形AOBD是平行四边形（2）存在，点A的坐标可以是（2，2）或（2，2）要使四边形AOBD是矩形；则需AOB=BCO=90°，ABO=OBC，ABOOBC，=

13、，又AB=AC+BC=3BC，OB=BC，在RtOBC中，根据勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，C点是抛物线与y轴交点，OC=c，A点坐标为（c，c），顶点横坐标=c，b=c，将A点代入可得c=（c）2+cc+c，横坐标为±c，纵坐标为c即可，令c=2，A点坐标可以为（2，2）或者（2，2）点评：本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，以及函数与坐标轴交点坐标的求解方法4（2013十堰）已知抛物线y=x22x+c与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（1，0）（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求E的度数；（3）如图2

14、，已知点P（4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当PMA=E时，求点Q的坐标考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值，然后配方后即可确定顶点D的坐标；（2）连接CD、CB，过点D作DFy轴于点F，首先求得点C的坐标，然后证得DCBAOC得到CBD=OCA，根据ACB=CBD+E=OCA+OCB，得到E=OCB=45°；（3）设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DGx轴于G点，得到DGBPON后利用相似三角形的性质求得ON的长，从而求得点N的坐标，进而求得直线PQ的解析式，设Q（m，n），根据点Q在

15、y=x22x3上，得到m2=m22m3，求得m、n的值后即可求得点Q的坐标解答：解：（1）把x=1，y=0代入y=x22x+c得：1+2+c=0c=3y=x22x3=y=（x1）24顶点坐标为（1，4）；（2）如图1，连接CD、CB，过点D作DFy轴于点F，由x22x3=0得x=1或x=3B（3，0）当x=0时，y=x22x3=3C（0，3）OB=OC=3BOC=90°，OCB=45°，BC=3又DF=CF=1，CFD=90°，FCD=45°，CD=，BCD=180°OCBFCD=90°BCD=COA又DCBAOC，CBD=OCA又A

16、CB=CBD+E=OCA+OCBE=OCB=45°，（3）如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DGx轴于G点PMA=45°，EMH=45°，MHE=90°，PHB=90°，DBG+OPN=90°又ONP+OPN=90°，DBG=ONPDGB=PON=90°，DGBPON=，即：=ON=2，N（0，2）设直线PQ的解析式为y=kx+b则解得：y=x2设Q（m，n）且n0，n=m2又Q（m，n）在y=x22x3上，n=m22m3m2=m22m3解得：m=2或m=n=3或n=点Q的坐标为（2，3）或（，）点评

17、：本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，题目中渗透了许多的知识点，特别是二次函数与相似三角形的结合，更是一个难点，同时也是中考中的常考题型之一5（2012合川区模拟）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求直线BC及二次函数的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A点P在抛物线的对称轴上，且APD=ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求OCA与OCD两角和的度数考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：代数几何综合题分析：（1）根据待定系数法求直线BC的解析式即可；把点B、C的坐标代入二次函数，利用待定系数法求函数解析式

18、解答；（2）根据抛物线解析式求出顶点D的坐标，再根据二次函数的对称性求出点A的坐标，连接AD，然后求出ADP=ABC=45°，然后证明ADP和ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出PD的长度，从而得解；（3）连接BD，利用勾股定理求出BD、BC的长度，再求出CBD=90°，然后根据BCD与ACO的正切值相等可得BCD=ACO，从而得到OCA与OCD的和等于BCO，是45°解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+m，点B（3，0），点C（0，3），解得，所以，直线BC的解析式为y=x3，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点B（3，0），点C（0，3），解得，二次函数的解析式为y=x24x3；（2）y=x24x3=（x+2）2+1，抛物线的顶点D（2，1），对称轴为x=2，A、B关于对称轴对称，点B（3，0），点A的坐标为（1，0），AB=1（3）=1+3=2，BC=3，连接AD，则AD=，tanADP=1，ADP=45°，又B（3，0），C（0，3），OBC是等腰直角三角形，ABC=45°，ADP=ABC=45°，又APD=ACB，ADPABC，=，即=，解得DP=3，点P到x轴的距离为31=2，点P的坐标为（2，2）；（3）连接BD，B（3，0），D（2，1），tan