隐函数对数函数求导法则

1、第二章第二章 导数与微分导数与微分 第三节第三节 隐函数的导数和由参数方程确隐函数的导数和由参数方程确定的函数导数定的函数导数上一页上一页下一页下一页 返回返回学习要求学习要求掌握隐函数的求导方法，和由参数确定的函数的求掌握隐函数的求导方法，和由参数确定的函数的求导方法，能熟练的求出隐函数和参数函数确定的函导方法，能熟练的求出隐函数和参数函数确定的函数的导数。掌握高阶导数的计算方法，理解高阶导数的导数。掌握高阶导数的计算方法，理解高阶导数在力学上的意义数在力学上的意义上一页上一页下一页下一页 返回返回 重点难点重点难点 隐函数求导法，参数方程求导法，取对数求导法隐函数求导法，参数方程求导法，取

2、对数求导法上一页上一页下一页下一页 返回返回一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义: :.)(称为隐函数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxf)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求用复合函数求导法则直接对方程两边求x导导.上一页上一页下一页下一页 返回返回例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程

3、两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 上一页上一页下一页下一页 返回返回.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线ccxyyxc 例例2 2解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为显然通过原点显然

4、通过原点.上一页上一页下一页下一页 返回返回例例3 3441,(0,1).xxyyy设求 在点处的值解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy上一页上一页下一页下一页 返回返回二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取以先在方程两边取以e为底的对数为底的对数, 然后利用隐函然后利用隐函数的求导方法求出导数数的求导方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函xvxu上一页

5、上一页下一页下一页 返回返回例例4 4解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 上一页上一页下一页下一页 返回返回一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 上一页上一页下一页下一页 返回返回解：两边同取对数得

6、：解：两边同取对数得： lnlnyxa两边同时对两边同时对 x求导求导lnyaylnyyalnxaa上一页上一页下一页下一页 返回返回解：两边同取对数，得：解：两边同取对数，得： 1lnln1ln2ln3ln42yxxxx两边同时对两边同时对x 求导得求导得1111121234yyxxxx上一页上一页下一页下一页 返回返回111121234yyxxxx12111112341234xxxxxxxx上一页上一页下一页下一页 返回返回三、由参数方程确定的函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数 dytdydy dtdtdxdxdt dxtdt上一页上一页下一页下一页 返回返回例例8 8解解dtdxd

7、tdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax上一页上一页下一页下一页 返回返回.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即上一页上一页下一页下一页 返回返回小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 方程两边对方程两边对x求导求导;对数求导法对数求导法: : 等式两边取以等式两边取以e为底对数为底对数,按隐函数按隐函数的求导法等式两边同对的求导法等式两边同对x求导求导;参数方程求导参数方程求导: 实质

8、上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;上一页上一页下一页下一页 返回返回练练 习习 题题ttdyydxxsincossintttt102yx 02xy102yx 02xy上一页上一页下一页下一页 返回返回解：方程两边同时对解：方程两边同时对x求导，得求导，得2yxcos2x21y02xy2x2y2222 2cos20yxyx yxy y22222cos2yxyxyxy 22222cos22xyxyyx yy322222cos22xyyxyx y上一页上一页下一页下一页 返回返回解：两边同取以解：两边同取以e为底的对数为底的对数13lnln1ln 21ln122yxxxx两边同对两边同对x求导求导11231222122yxxx y1