人教版高中数学必修四1任意角的三角函数(

1、一、学习目标：1、三角函数的扩展；2、三角函数线；3、诱导公式一及其同角三角函数的基本关系式。二、重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；同角三角函数的基本关系；难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数。1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbba复习回顾复习回顾oabmpcoabmpyx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课新课 导入导入22:baropbmpaom其中yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？raopomcos

2、rbopmpsinabommptanbap,mo如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？pmopmpsinopomcosommptanomppmopopmpoommopm诱思诱思 探究探究moyxp(a,b)opmpsinopomcosommptan，则若1 ropbaab1.锐角三角函数（在单位圆中）锐角三角函数（在单位圆中）以原点以原点o为为圆心，以单位圆心，以单位长度为半径的圆，称为长度为半径的圆，称为单位圆单位圆. yop),(bax1m2.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意

3、角，它的终边与单位圆交于点),(yxp 那么那么:（1） 叫做叫做 的正弦，记作的正弦，记作 ，即，即 ；ysinysin （2） 叫做叫做 的余弦，记作的余弦，记作 ，即，即 ； cosxxcos（3） 叫做 的正切正切，记作 ，即 。 xytanxytan 所以，正弦，余弦，正切都是以所以，正弦，余弦，正切都是以角为角为自变量自变量，以，以单位圆单位圆上点的上点的坐标或坐标坐标或坐标的比值的比值为函数值的函数，我们将他们为函数值的函数，我们将他们称为称为三角函数三角函数.0 , 1aoyxyxp ,)0(x使比值有意义的角的集合使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域即为三角函数的定义域

4、.)0 , 1 (axyop),(yx的终边的终边说说 明明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值横坐标的比值. .的横坐标，的横坐标， 正切就是正切就是 交点的纵坐标与交点的纵坐标与. .（2） 正弦、余弦总有意义正弦、余弦总有意义.当当 的终边在的终边在 y横坐标等于横坐标等于0， xytan无意义，此时无意义，此时 )(2zkk轴上时，点轴上时，点p 的的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系一一对应关系，三角函数可以看成是三角函数可以看成是自变量为实数的函数自变量为实数的函数.任意角的三角函

5、数的定义过程：任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数直角三角形中定义锐角三角函数 abrarbtan,cos,sin直角坐标系中定义锐角三角函数直角坐标系中定义锐角三角函数 abrarbtan,cos,sin单位圆中定义锐角三角函数单位圆中定义锐角三角函数 ababtan,cos,sin单位圆中定义任意角的三角函数单位圆中定义任意角的三角函数 ,sinyxcosxytan,例例1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535aob解：解：在直角坐标系中，作在直角坐标系中，作 aob，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 13( ,).2

6、2所以所以 53sin,32 51cos,325tan3.3 思考：思考：若把角若把角 改为改为 呢呢? 3567,2167sin,2367cos3367tan实例实例 剖析剖析xyoab35例例2.已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 .)4, 3(0p220( 3)( 4)5.op 解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，),(yxp分别过点分别过点 、 作作 轴的垂线轴的垂线 、0pmpp00pmx400pm于是，于是， ;54|1sin000oppmopmpyyymp30omxomomp00p

7、om;531cos00opomopomxxsin4tan.cos3yx4, 30p0moyxmyxp , 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离 .),( yxp022yxrp那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的在角的终边上的位置无关终边上的位置无关.p定义推广：定义推广：135122222yxr1312cosrx125tanxy

8、5sin,13yr于是于是，巩固巩固 提高提高练习练习: 1.已知角已知角 的终边过点的终边过点 ， 求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.5 ,12p解：解：由已知可得：由已知可得：2p15 ,8aaaa.已知角 的终边上一点r且0 ，sin,cos ,tan求角 的的值.-15 ,8 ,xa ya解：由于22158170raaaa所以 1017 ,ara若则于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 20-17 ,ara若则于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 32sin,cos ,tan.yx.已知角 的终边

9、在直线上，求角 的的值 1解： 当角 的终边在第一象限时，221,2125在角 的终边上取点，则r=22 5152sin,cos,tan255155 2当角 的终边在第三象限时，221, 2125r 在角 的终边上取点，则22 5152sin,cos,tan255155 1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）（弧度制）探探究究三角函数三角函数定义域定义域sincostanr)(2zkk2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号yxosinyxocosyxotan+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）

10、r+-+-+-+-yxo+-+-yxoyxo全为+yxosincostansinyr cosxr yx tan 三个三角函数在各象限的符号三个三角函数在各象限的符号心得心得: :角定象限角定象限, ,象限定符号象限定符号. .例例3. 求证：当下列不等式组成立时，角求证：当下列不等式组成立时，角 为第三象限角为第三象限角.反之也对反之也对0tan 0sin 证明：证明： 因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；0sin 又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的

11、终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因为因为式都成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.如果两个角的终边相同，那么这两如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？个角的同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为，可以把求任意角的三角函数值，转化为求

12、求 角的三角函数值角的三角函数值 .020360到或 ？ 例题例题cossintantan. 例例4.4.确确定定下下列列三三角角函函数数值值的的符符号号, ,然然后后用用计计算算器器验验证证: : (1)250;(2)(-);(3)(-672 );(4)3 (1)250;(2)(-);(3)(-672 );(4)34 4（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos（3）因为）因为 = 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以)672tan(tan(482 360 )tan48 , tan( 672 )0; 48解：解： （2）因为）因为 是第四象限角，所以

13、是第四象限角，所以4sin0;420tantan()tan. ( (4 4) )3 3o5.911 (1)sin1480 10; (2)cos; (3)tan(-).46例 求下列三角函数值:oooo(1)sin1480 10 = sin(40 10+ 4360 ) = sin40 100.645; 92(2)coscos(2 )cos;4442113(3)tan()tan(2 )tan.6663解：解：6.已知已知 在第二象限在第二象限, 试确定试确定 sin(cos ) cos(sin ) 的符号的符号. 解解: 在第二象限在第二象限, -1cos 0, 0sin 1. - - - -1,

14、 1 ,2 2 - - cos 0, 0sin . 2 2 sin(cos )0. sin(cos ) cos(sin ) oxy2( ,)33ppap pm mp p1 1p p2 232y=21sin xyop1p2xyo t a210 30 变式变式：利用单位圆寻找适合下列条件的利用单位圆寻找适合下列条件的0 到到360 的角的角.3030 150150 解解:3030 9090 或或210210 270270 3tan3 例例3 3. .若若, ,试试比比较较的的大大小小. .0sin,tan, 2. 解：如图，在单位圆中，设 aop=（0，）,则ap=2ppmoamaatoaopt过

15、点 作于，过点 作交的延长线于 ，.mpat则角 的正弦线为，正切线为poapoaaot的面积扇形的面积的面积，111222oa mpoaoa at，即mpat.sintan .poxymat3.sintan .例 求证：当 为锐角时，yoxpm a90mpat证明：如图，作单位圆，当0时作出正弦线和正切线，连paopaoatssopa扇形ssintan111222oa mpoa paoa attmpapat分析:54sin32sin 与与ab o s2 s1p2p1 m1例例.利用三角函数线比较下列各组数的大小：利用三角函数线比较下列各组数的大小：解：解： 如图可知：如图可知： 54tan3

16、2tan 与与54sin32sin m254sin32sin 与与ab ot2t1 s2 s1例例.利用三角函数线比较下列各组数的大小：利用三角函数线比较下列各组数的大小：解：解： 如图可知：如图可知： 54tan32tan 与与54sin32sin 54tan32tan 例例5.5.求函数求函数 的定义域的定义域. .( )2cos1f aa=-oxyp2mp112x=2,2()33kkkzppapp -+p1cos2a1.(0,2 )cossintanxxxx在内使成立的 的取值范围是( )3(,)44a53(,)42b3(,2 )2c37(,)24dcxyompat32.(, )4若，则下列各式错误的是( )( )sincos0a( )sincos0b( )|sin| |cos|c()sincos0ddsin0,cos0,|sin| |cos|分析：xyoy=-xpm 练习练习xyoy=-xxyoy=-xxyompsincos1,(0,)2 mp30sincos1,(,)24