数学分析曲面积分181

1、第十八章第十八章 曲面积分曲面积分2008052418.1 18.1 第一型曲面积分第一型曲面积分显显式式方方程程 . 1一、曲面的表示一、曲面的表示.),( ),(dyxyxzz ; :易易计算曲面上的点比较容计算曲面上的点比较容优点优点. : 不能表达封闭的曲面不能表达封闭的曲面缺点缺点隐隐式式方方程程 . 2.),( , 0),(vzyxzyxf .,上连续上连续在在通常会假设通常会假设vffffzyx),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 的法向量为的法向量为曲面在点曲面在点),(000zyx特殊地：特殊地：),(yxzz ),(),( yxzzzyxf

2、令令的法向量为的法向量为曲面在点曲面在点),(,(0000yxzyx) 1 , ,(yxzz ) 1 , ,( yxzz上法向量上法向量.2 轴正向夹角不超过轴正向夹角不超过与与z下法向量下法向量参参数数方方程程 . 3则称则称平面上的一个区域平面上的一个区域是是设设 , uv ,为曲面的向量方程为曲面的向量方程 ,),( ),( : vuvurr.),( 3rvur 其中其中),( zyxr 如记如记)1(又可表示成又可表示成则则 )1( .),( ),(),(),( vuvuzzvuyyvuxx)2(.称为曲面的参数方程称为曲面的参数方程 ,)( : rr的映射的映射的参数方程看成是如下的

3、参数方程看成是如下可以把曲面可以把曲面 , 0vv 令令得出得出并将之代入参数方程并将之代入参数方程 (2),),(),(),(000vuzzvuyyvuxx ,上的一段曲线上的一段曲线对应着对应着 . 曲线曲线上的上的称为称为u , 0uu 令令),(),(),(000vuzzvuyyvuxx 曲线曲线上的上的得得v ,类似的类似的. , 曲线均可覆盖住曲面曲线均可覆盖住曲面曲线曲线 vu偏导向量偏导向量),(),(),(),(0000vuuzvuuyvuuxvuur 的切向量，的切向量，曲线曲线的的是曲面是曲面0 vvu ),(),(),(),(0000vuvzvuvyvuvxvuvr .

4、 0的切向量的切向量曲线曲线的的是曲面是曲面uuv ,类似的类似的特别的，特别的，),( ),(0000vuvrvuur 上上分别是曲面分别是曲面 . ),(000的切向量的切向量曲线曲线曲线和曲线和处的处的对应的点对应的点vupvu中的一段曲线，中的一段曲线，是是设设 )(),( tvvtuu 并设并设 , )(),( 000000tvvtuu , 作用下作用下这段曲线在这段曲线在 r,上的一条曲线上的一条曲线对应着对应着 .0p且曲线过点且曲线过点它的向它的向量方程是量方程是),(),( tvturr 则则),( )( tvvrtuurdtdr , 0代入代入将将tt ),( ),( )(

5、 ),(0000000tvvuvrtuvuurdtdrtt ,0的任一条曲线的任一条曲线上过点上过点p :表明表明,0的切向量的切向量它在它在p),( ),(0000vuvrvuur 都是都是.的线性组合的线性组合在同一在同一的任一条曲线的切线都的任一条曲线的切线都上过点上过点0p .平面上平面上.0的切平面的切平面在点在点p ),( ),(0000vuvrvuur 而向量而向量.0的法向量的法向量在点在点是是p ),(00 ),(),( ,),(),( ,),(),( vuvuyxvuxzvuzy :也可写成也可写成 ),(),( ,),(),( ,),(),( vuyxvuxzvuzy对应

6、的点处的法向量为对应的点处的法向量为在一般的在一般的),(vu 计算计算2222)(vuvuvurrrrrr . , , :22222222vvvvvuvuvuvuuuuuzyxrgzzyyxxrrfzyxre 记记. ,的第一基本量的第一基本量称为曲面称为曲面 gfe2feg 的单位法向量的单位法向量从而得到从而得到 ),(),( ,),(),( ,),(),( 12vuyxvuxzvuzyfegn,vuvurrrr ,),(00 vu设设0),(00 vuvurr若若,为为则称则称 ),( 00vur,上的正则点上的正则点曲面曲面 .否则称为奇点否则称为奇点.,称之为正则曲面称之为正则曲面

7、上的点全部为正则点时上的点全部为正则点时曲面曲面 ,面和法向量面和法向量正则曲面处处存在切平正则曲面处处存在切平.数的选择无关数的选择无关而且法向量的方向和参而且法向量的方向和参, 有参数向量方程有参数向量方程正则曲面正则曲面设设 ,),( ),( vuvurr: 的面积为的面积为则曲面则曲面 dudvvuyxvuxzvuzy2/1222),(),(),(),( ),(),( dudvfeg2 dudvrrvu)(特殊地：特殊地：),(yxzz .),( ,dyx ),(,yxzzyyxx .),( ,dyx , 1),(),( ,),(),( ,),(),( yxyxzyxxzzyxzyyx

8、.1)(22 dyxdxdyzz oxyz一、第一型曲面积分的概念与性质一、第一型曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形物质具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想, 采用kkkk),(可得nk 10limm),(kkk求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,量 m.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 二、第一型曲面积分二、第一型曲面积分定义定义 . 1),( iii 和和), 2 , 1(ni ,的取法无关的取法无关 则称此则称此上的上的在在极限为极限为 ),( zyxf.第一型曲面积分第一型曲面积分 dszyx

9、f),(iiiniitsf ),(lim10| ,),( dszyxf记为记为,),(lim 10|存在存在若极限若极限iiiniitsf t且与分割且与分割则第一型曲面积分存在. 对积分域的可加性对积分域的可加性.,21ss则有szyxfd),(1d),(szyxf2d),(szyxfszyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质线性性质.则为常数设,21kksszyxgkzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 s上连续, 第一型曲面积分与第一型曲线积分性质类似. 积分的存在性积分的存在性. 若 s 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面oxyz定理定理: 设有光滑曲面yx

10、dyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有szyxfd),(yxdyxf),(szyxfd),(yxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证明: 由定义知szyxfd),(kkkksf),(nk 10limyxd),(kkkyxk)(),(yxzksyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxd

11、yxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfszyxfd),(而(光滑)说明说明:zydzyzyxx),(),(zxdzxzxyy),(),(或可有类似的公式.1) 如果曲面方程为2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下ds 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分. 计算计算 . 2它的参数方程为它的参数方程为是正则曲面是正则曲面设设 , ,),( ),( vuvurr, ),(上连续上连续在在函数函数 zyxf则有则有 dudvrrrfdszyxfvu|),(特殊地：特殊地：),(yxzz .),( ,dyx ., ,上连

12、续上连续在在平面闭区域平面闭区域dzzyx是有面积的是有面积的d则则;1),(,(22dxdyzzyxzyxfdyx dszyxf),(;1),(,(22dxdzyyzzxyxfdzx .1),),(22dydzxxzyzyxfdzy 类似的类似的),(zxyy ),(zyxx :基本步骤基本步骤计算第一型曲面积分的计算第一型曲面积分的计算面元计算面元 )2(计算二重积分计算二重积分 )3(),( , )1(yxzzr 或者显表示或者显表示的参数表示的参数表示求出求出 ; d或或定出它们的定义域定出它们的定义域 dudvrrdsvu| 或者或者;122dxdyzzdsyx dudvrrrfvu

13、|或或.1),(,(22dxdyzzyxzyxfdyx 解解1.例例dxdyzzdsyx221 ,2dxdy dszyx)(故故 ddxdyyyx)5(2.2125 2.例例解解,8 ,1 利用对称性利用对称性dxdyzzdsyx221 dxdy3 dxdyyxayxd 3)(8222原积分原积分.324a yxd例例3. 计算曲面积分,dzs其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解: :yxdyxyxaz),( ,:2222222:hayxdyx221yxzz 222yxaazsd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxdyxayxa222dd22022d

14、hararr2aoxzyha思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下两部分,) (dzs) (dzs0hln4aa则hhoxzy例例4. 计算,dszyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. ozyx111解解: 设上的部分, 则4321,4dszyx,1:4yxz1010:),(xxydyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321szyxd 原式 = 分别表示 在平面 xozy例例5. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(szyxfi解解: 锥面22yxz的222yxaz.,2122122

15、azayx1设,),(22122ayxyxdyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为1yxd则 1d)(22syxi1d)(22syxiyxdyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxd思考思考: 若例3 中被积函数改为),(zyxf,22yx ，022yxz当22yxz当计算结果如何 ? zzd例例6. 计算,d222zyxsi其中 是介于平面之间的圆柱面.222ryx分析分析: 若将曲面分为前后(或左右)zrsd2d则hzrzri022d2rharcta

16、n2hzz,0ohxyz解解: 取曲面面积元素两片, 则计算较繁. oyxzl例例7. 求椭圆柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的侧面积 s . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxl取ssdszldtt cosdcos45302sd5ln4159zszsddttttdcos9sin5sin3220syld内容小结内容小结1. 定义:szyxfd),(iiiisf),(ni 10lim2. 计算: 设,),( , ),(:yxdyxyxzz则szyxfd),(yxdyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 设),0(:2222