82一阶微分方程

1、齐次微分方程齐次微分方程 一阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节一阶线性微分方程一阶线性微分方程 可分离变量方程可分离变量方程 第八章 伯努利伯努利 ( bernoulli )方程方程转化 解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(8.2.1 可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程)()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xnxxmyynymd)( )(22分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 yygd)(xxfd)(cxfyg)()(则有恒等式 )

2、(yg)(xf当g(y) 与f(x) 可微且 g(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.同样,当f(x)= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lncxycxylnln3即13cxey31xcee3xecy 1cec令( c 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )机动

3、目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求下述微分方程的通解:xyy 解解:ydyxdx 故有22111222yxc 即22xyc是微分方程的通解.微分方程的通解可以用隐函数表示注:机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.2.2 齐次方程齐次方程形如d( )dyyfxx的方程叫做齐次方程齐次方程 .令,xyu ,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxyd( )duuxf uxdd( )uxf uux两边积分, 得ddlnln( )uxxcf uux积分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解微分方程2.yyyxx=+解解:,

4、xyu 令代入原方程得d22uuxuuuxudxu 0时，分离变量d2udxxu两边积分得lnuxc故原方程的通解为2lnyxxc( 当 u = 0 时, y = 0 也是方程的解)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lncxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即cuux )1(ycxyx)(说明说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(c 为任意常数)求解过程中丢失了. 机动 目录 上页

5、下页 返回 结束 8.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxqyxpxy若 q(x) 0, 0)(ddyxpxy若 q(x) 0, 称为一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程 .1. 解齐次方程分离变量xxpyyd)(d两边积分得cxxpylnd)(ln故通解为xxpecyd)(称为一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解xxpecyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxpced)(2. 解非齐次方程)()(ddxqyxpxy用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxpexuxy则xxpeu

6、d)()(xpxxpeud)()(xq故原方程的通解xexqexxpxxpd)(d)(d)(cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)(y即即作变换xxpeuxpd)()(xxpexqxud)()(ddcxexquxxpd)(d)(两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lncxy即2) 1( xcy用常数变易法常数变易法求特解. 令,) 1()(2xxuy则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得cxu23) 1(32故原方程通解为cxx

7、y232) 1(32) 1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 解方程 2d22.dxyxyxex解解: 2 ,p xx 22xq xxe由公式得22 d2 d2dx xx xxyexeexc222( 2)xxxexee dxc22()xexc机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求方程的通解 .解解: 上式改写为3d0,yydxxy2ddxxyyy1( )p yy2( )q yy由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得xedyy2y edyyd yc故方程可变形为3d0ydxxyy1y3ydyc314cyy41 14ycy这是以x为因变量, y为 自变量的一阶线性方程机动 目

8、录 上页 下页 返回 结束 8.2.4 贝努利贝努利 ( bernoulli )方程方程 贝贝努利方程的标准形式:d( )( )(0,1)dyp x yq x yxy以1d( )( )dyyp x yq xx令1,zydd(1)ddzyyxxd(1) ( )(1)( )dzp x zq xx求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得贝贝努利方程的通解.解法解法:(线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求方程2d(ln )dyyx yxx的通解.解解: 令,1 yz则方程变形为dlndzzxxx 其通解为ez 将1 yz21(ln )12yx cx1dxx ( ln ) x exxd1cx d21(ln )2x cx代入, 得原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求方程d4dyyxyxx的通解.解解: 令11122,zyy则方程变形为d2d2zzxxx其通解为ez 将12zy241ln2yxxc2dxx2xe2dxxcx d2212ln22xdxcxxcx代入, 得原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 雅各布第一 贝努利 ) 书中给出的贝贝努利数在很多地方有用, 贝努利贝努利(1654 1705)瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率