专题2.3函数的奇偶性与周期性(讲)(解析版)

1、专题2.3函数的奇偶性与周期性讲考纲i结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3. 了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性讲基础知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有f( x) = f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 X,都有f( x)= f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称知识点二函数的周期性f(xf(x)(1) 周期函数：对于函数y= f(x)，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有+ T)

2、= f(x)，那么就称函数y= f(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.【特别提醒】1. (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有 f(0) = 0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)= f(|x|).2. 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3. 函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1) 若 f(x+ a) = -f(x)，则 T = 2a(a>0).1 _若 f(x+ a)=帀)

3、，则 T= 2a(a>0).若 f(x+ a)=-()，则 T= 2a(a>0).T ( X)4. 对称性的三个常用结论(1) 若函数y= f(x + a)是偶函数，则函数y = f(x)的图象关于直线 x= a对称.(2) 若对于R上的任意x都有f(2a x) = f(x)或f( x) = f(2a + x)，贝U y= f(x)的图象关于直线 x= a对称.若函数y= f(x + b)是奇函数，则函数 y = f(x)的图象关于点(b, 0)中心对称.讲考点考点一函数奇偶性的判定【典例1】(2019 四川成都七中模拟)判断下列函数的奇偶性:(1)f(x) = (x+ 1)1 x

4、；1 + X(2)f(x)=x2 + 2x+ 1, x>0, x2 + 2x 1 , XV 0;(3) f(x)=厂；(4) f(x) = loga(x+ . x2+ 1)(a>0 且 1)1 一 x【解析】(1)因为f(x)有意义，则满足 >0I十x所以一1 V x<1所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数.法一：定义法当 x>0 时，f(x) = x2 + 2x+ 1,xv 0, f( x)= ( x)2+ 2( x) 1 = x2 2x 1 = f(x);当 xv 0 时，f(x)= x2 十 2x 1,x>0, f( x)=

5、( x)2 + 2( x)十 1= x2 2x+ 1 = f(x). 所以f(x)为奇函数.法二：图象法f(x)为奇函数.作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数4-x2>0,因为 °所以一20W2且XM0宀0所以定义域关于原点对称.又 f( - x)=4 X2x2所以f( x)= f(x) 故函数f(x)为偶函数.(4)函数的定义域为R，因为 f( x) + f(x)=loga x+ x 2+ 1 + log a(x+ X2+ 1)=lOga( x2+ 1 x) + lOga( x2+ 1 + X)=loga(Jx2+ 1 x)( x2 + 1 + x)

6、=loga(x2 + 1 X2)= Ioga1 = 0.即f( x) = f(x)，所以f(x)为奇函数.【方法技巧】判断函数奇偶性的常用方法(1) 定义法：f( X)确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再化简解析式后验证=±±(x)或其等价形式f( x) 士(x) = 0是否成立.(2) 图象法：f(x)的图像关于原点对称，f(x)为奇函数；f(x)的图像关于y轴对称，f(x)为偶函数。性质法：设f(x), g(x)的定义域分别是 D1, D2,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇苗=偶,=偶，偶刈禺=偶，奇刈禺=奇.【变式1】(2019

7、贵州凯里一中模拟)已知f(x)-xx, g(x) =舟，则下列结论正确的是(2 1 2A. f(x)+ g(x )是偶函数B. f(x) + g(x )是奇函数C. f(x)g(x)是奇函数【答案】AD. f(x)g(x)是偶函数【解析】令h(x) = f(x) + g(x),因为 f(x)=茫彳，g(x) = 2，x x x 2x + x 所以 h(x) = 2x_ 1 + 2= 2 (2x- 1)定义域为(a, 0) U (0,+ a)._ x 2 x x x (1 + 2x)因为 h( x) =/ x 八=:+ / = h(x),2 (2 x 1) 2 (2x 1)所以h(x)= f(x

8、) + g(x)是偶函数,令 F(x) = f(x)g(x)=2 (2x 1)定义域为(a, 0) U (0,+ a).(x) 2x22x所以 F ( x) x x、,2 (2 x 1) 2 (1 2x)因为 F( x) #(x)且 F( x) 4 F(x),所以F(x)= g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数考点二 函数奇偶性的应用【典例2】(2019 陕西西安中学模拟)设f(x) x2= g(x), x R,若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为()A. g(x)= x3B g(x) = cos xC. g(x) = 1 + xD . g(x) = xex【答案】B【解析】因

9、为f(x)= x2 + g(x)，且函数f(x)为偶函数，所以有(一x)2+ g( x) = x2 + g(x)，即g( x) = g(x), 所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B中的函数为偶函数，故选B.【方法技巧】与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值：禾U用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶 性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式.(3) 求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数？ f( x) = f(x), f(x)为偶函数？

10、 f(x) = f( x),列式求解，也可利用特殊值法求解.对于在 x = 0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0) = 0求解.【变式2】(2019 广西南宁三中模拟)设函数log 2f xg x1 x x 0，若f(x)是奇函数，则g(3)1 x 0的值是()A. 1B .3C. 3D .-1【答案】C【解析】函数 flog 2 1 xx0f(x)是奇函数，.x- f( - 3)=- f(3), log2(1 + 3) = - (g(3)g x 1 x0+ 1),贝y g(3) =- 3故选 C.考点三函数的周期性【典例3】(2018全国H卷)已知f(x)是定义域为(汽+)勺奇函数

11、，满足f(1- x)= f(1 + x)若f(1)= 2,则 f(1) + f(2) + f(3) + + f(50)=()A. - 50B.0C.2D.50【答案】C【解析】方法一： / f(x)在R上是奇函数，且f(1 - x)= f(1 + x). f(x+ 1) = - f(x- 1)，即 f(x+ 2) =- f(x).因此f(x+ 4) = f(x),则函数f(x)是周期为4的函数，由于 f(1 - x) = f(1 + x), f(1) = 2,故令 x = 1,得 f(0) = f(2) = 0令 x = 2,得 f(3) = f(- 1) =-f(1) = - 2,令 x=

12、3, 得 f(4) = f(- 2) =-f(2) = 0,故 f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 2 + 0- 2+ 0= 0,所以 f(1)+ f(2) + f(3) + + f(50) = 12X0 + f(1) + f(2)= 2.方法二：取一个符合题意的函数f(x) = 2si门罗，则结合该函数的图象易知数列f(n)(n N*)是以4为周期的周期数列.故 f(1) + f(2) + f(3) + + f(50) = 12Xf(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(1) + f(2) = 12为2 + 0 + (- 2) + 0 + 2+ 0= 2

13、.【方法技巧】(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.(注意：对称中心在平行于(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性轴的直线上，对称轴平行于 y 轴)，那么这个函数一定具有周期性【变式3】(2019 湖北武钢三中模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当O0V 2时,f(x)= X3 X,则函数y= f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为()A 6B7C 8D9【答案】 B【解析】当0$v 2时，令f(x) = x3 x=x(x2 1) = 0,所以y= f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为xi=0 ,

14、 X2= 1考点四 函数性质的综合应用【典例4】(2018全国卷H )已知f(x)是定义域为(8,+的奇函数，满足f(1 x)= f(1 + x).若f(1) =2，贝U f(1) + f(2) + f(3) + + f(50)=()A 50B 0C2D50【答案】 C【解析】T f(x)是奇函数，二 f( x) = f(x), f(1 x)= f(x 1).由 f(1 x)= f(1 + x)，得f(x 1) = f(x+ 1), f(x+ 2) = f(x), f(x+ 4) = f(x + 2) = f(x),函数f(x)是周期为4的周期函数.由f(x)为奇函数得f(0) = 0.又 f

15、(1 x)= f(1 + x), f(x)的图象关于直线x= 1对称， f(2) = f(0) = 0,.f( 2)= 0.又 f(1) = 2,. f( 1)= 2, f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = f(1) + f(2) + f( 1) + f(0) = 2 + 0 2+ 0= 0, f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)+ + f(49)+ f(50)=0X12+ f(49) + f(50)= f(1)+ f(2)= 2+ 0= 2.【方法技巧】对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决 相关问题。y= f(x)满足 y= f( x)和 y= f(x+ 2)是偶函数，且f(1)【变式4】(20