第三节三重积分的计算法

1、第三节第三节 三重积分的计算法三重积分的计算法一、利用直角坐标计算三重积分一、利用直角坐标计算三重积分二、利用柱面坐标计算三重积分二、利用柱面坐标计算三重积分三、利用球面坐标计算三重积分三、利用球面坐标计算三重积分( , , )f x y z dv 其其中中 是是空空间间有有界界闭闭区区域域. . 可以用可以用直角坐标、柱面坐标直角坐标、柱面坐标和和球面坐标球面坐标来计算来计算. .计算方法是将计算方法是将三重积分化为三重积分化为三次积分三次积分, , 三重积分三重积分 ( , , )gfp dgf x y z dv 或或单积分单积分和和二重积分二重积分. .一、一、 利用直角坐标计算三重积分

2、利用直角坐标计算三重积分dvdxdydz ( , , )( , , )f x y z dvf x y z dxdydz 即即用平行于坐标面的平面族：用平行于坐标面的平面族：xyz常常数数，常常数数，常常数数去分割积分区域去分割积分区域, 除边界外每个小块都是除边界外每个小块都是一个长方体，于是得到一个长方体，于是得到体积元素体积元素xzyodxdydzdv 12,zzx yzzx y 得得 ,xyd把把 分为下上两个边界：分为下上两个边界：以以 的边界为准线的边界为准线xyd( , )x yxyd1z2z1s2s1( , )zz x y 2( , )zz x y 1,zzx y从从yzxo 1

3、2:,xyzx yzzx yx yd于是于是将将 向向xoy面投影面投影，设设 如图如图,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面 ,xyx yd 2,zx y变变到到( , , )f x y z dv 则则 12:,xyzx yzzx yx yd积分区域可表示为积分区域可表示为( (先一后二）先一后二） xyddxdy ( , )x yxyd1z2z1( )yy x 2( )yy x ab1s2s1( , )zz x y 2( , )zz x y yzxo:xyd12( )( ),y xyy x .axb2211( )( , )( )( , )( , , )byxzx yayxzx ydx

4、dyf x y z dz 21( , )( , )( , , )zx yz x yf x y z dz 2211( )( , )( )( , )( , , )( , , )byxzx yayxzx yf x y z dvdxdyf x y z dz 这是先对这是先对z，次对，次对y，最后对，最后对x的三次积分的三次积分21( , )( , )( , , )( , , )xyzx yzx ydf x y z dvf x y z dz dxdy ( (先一后二）先一后二）21( , )( , )( , , )xyzx yzx yddxdyf x y z dz 若根据若根据 是是x型域或型域或y型域

5、确定二重积型域确定二重积分的积分限分的积分限,就得到化为就得到化为三次积分的三次积分的公式公式. xyd若若 为为x型域，则有型域，则有xyd , x y例例1 计算计算 ,其中其中 为三个坐标面及为三个坐标面及平面平面x2yz1所围成的区域所围成的区域. xdv xyzo(0,0,1)c1(0,0)2b(1,0,0)axyd :012 ,xyzxyx yd 解解 在在xoy面上的投影为面上的投影为xyd12xy 12zxy1:0,012xyxdyx 0z 0y 若若 看成看成x型域，则型域，则xyd123011(2)448xxxdx 10:012 ,:201xyxyzxy dx 120 xy

6、xydxdvdxdyxdz 11122000 xxydxdyxdz 11200(12 )xxdxxy dy 例例2 将将 化为直角坐标系下的化为直角坐标系下的三次积分，其中三次积分，其中 是由平面是由平面 xyz1，xy1，x0，y0，z1围成的区域围成的区域. ( , , )f x y zdv 的下底是的下底是xyz1，x0y1xyxyd1的投影的投影 是由是由 x + y=1，xydx = 0，y =0围成的三角形域围成的三角形域，解解上底是上底是z1的立体的立体.11( , , )( , , )xyxydf x y z dvdxdyf x y z dz 111001( , , )xxyd

7、xdyf x y z dz 01:11,:01xyyxxyzdx x0y1xy xyd12）截面法（先二后一）截面法（先二后一）21( , )( , )( , , )( , , )xyzx yzx ydf x y z dvf x y z dz dxdy 1）投影法（先一后二）投影法（先一后二） 计算三重积分时，先求一个二重积计算三重积分时，先求一个二重积分，再求一个定积分的方法分，再求一个定积分的方法 设区域设区域 的的 z 值的最大值值的最大值内任一点内任一点 z, 作平行于作平行于xoy的的平面与平面与 交出截面交出截面 zd ，和最小值为和最小值为 和和 ，1c2cxyzozdz1c2c

8、 先在先在 上对上对x,y积分然后在积分然后在 上对上对z积分积分.12,c czd2 2）截面法（先二后一）截面法（先二后一） 12:,zx ydczc12(,)c c过过二重积分的积分区域二重积分的积分区域.就是就是这样得到这样得到21( , , )( , , )zccdf x y z dvdzf x y z dxdy 先求出先求出 上的二重积分再求定积分上的二重积分再求定积分.zd 12:,zx ydczc先二后一先二后一此法常用于此法常用于 上的二重积分易求的情形上的二重积分易求的情形zdz的最小值和最大值为的最小值和最大值为例例3 计算计算 ，其中，其中 是由椭球是由椭球面面 所围成

9、的空间闭区域。所围成的空间闭区域。 2222221xyzabc2z dxdydz czc 222222:1-zxyzdczcabc（) )解解 用先二后一法：用先二后一法：abcxyzo0dzdcz即即cc和和 ，222zzccccddz dxdydzdzz dxdyz dzdxdy 的面积为的面积为zzddxdyd 22222211(1)zzzababccc2222(1)cczz dxdydzzabdzc 42324()15cczabzdzabcc 二二 用柱面坐标计算三重积分用柱面坐标计算三重积分zoxy ( , )p z在在xoy面上面上 就是极坐标就是极坐标. , 设设m（x,y,z）

10、为空间）为空间一点，如果将一点，如果将x，y，z改用另外三个数改用另外三个数来表示，则称来表示，则称为点为点m 的的柱面坐标柱面坐标。z , , ,z （）( , , )m x y z三组坐标面三组坐标面：柱面与直角坐标的关系是柱面与直角坐标的关系是 ( , )p zozxy( , , )mz z常数常数 （水平平面水平平面）常数常数 （半平面半平面） 常数常数 （圆柱面圆柱面）( , , )m x y z由图可知由图可知zz cosx siny (0,02 ,)z ),(yxp用三组坐标面族去分割空间区域用三组坐标面族去分割空间区域 ，其，其任一小块的体积任一小块的体积 可以可以近似近似看成

11、以看成以 为底，为底， 为高的为高的柱体体积柱体体积。vdzd d 体积元素体积元素dvd d dz ( , , )cos , sin , )f x y zdvzfzd d d （ d xyzodzd d ( , , )( cos , sin , )f x y z dvfzd d dz 21( , )( , )( , , )( cos , sin , )df x y zdvd dfz dz 因此因此 12:,xyzx yzzx yx yd设设则积分区域在柱面坐标系下的表示为：则积分区域在柱面坐标系下的表示为： 12:,zd 在柱面坐标系下在柱面坐标系下区域由直角变为柱面坐标表示区域由直角变为柱

12、面坐标表示则三重积分化为柱面坐标的三次积分则三重积分化为柱面坐标的三次积分：若若 12:,d 2211(, )(, )( , , )(cos ,sin , )f x y z dvddfz dz 21( , )( , )( , , )( cos , sin , )df x y zdvd dfz dz 例例4 计算计算 其中其中 是由上半球面是由上半球面 和旋转抛物面和旋转抛物面 ,zdv 2224xyz(0)z 223xyz所围成的区域所围成的区域. .解解 将积分区域将积分区域 向向xoy面投影，得面投影，得22:3xydxy 22034-,:,302zd ：2222224,3:3xyxyzx

13、ydxy ：xyd223xyz 224zxy23z 柱面坐标柱面坐标24z zxyozdvz d d dz 224-,03,023z ：4232001(4)29dd 462302454 22234003ddzdz 134 例例5 计算计算 其中其中 是由曲面是由曲面 与平面与平面 围成的区域围成的区域.,zdxdydz 22zxy4z 解解 在在xoy面上的投影区域为圆域面上的投影区域为圆域:22:4xydxy02,022z xzy22zxyd4z 2:4,02,02z 所以所以24dzdxdydzd dzdz 222400ddzdz 222001(16)2dd 22201642 8263 2

14、:4,02,02z 22()ixydv 例例6 计算计算其中其中 222,0,00 xyzxyza a由由锥锥面面和和所所围围成成第第一一卦卦限限部部分分. .xd yzaza 222zyx ,z :,zad 0,02a 解解 采用柱面坐标采用柱面坐标 2200aadddz 30()2aad 45245aaa 5.40a :, 0, 0,2zaa 22()ixydv 问题问题 2220 xyzza a 由由锥锥面面和和所所围围成成. .若例若例6中的积分区域改为中的积分区域改为则则22()?xydv 答答 由对称性，有由对称性，有2222()4()ixydvxydv yza思考题思考题 在柱面

15、坐标系下求三重积分可以看作在柱面坐标系下求三重积分可以看作在直角坐标系对在直角坐标系对 作单积分，然后在投作单积分，然后在投影区域影区域 上用极坐标作二重积分吗？上用极坐标作二重积分吗？zxyd答：可以答：可以三、用球面坐标计算三重积分 设设m(x,y,z)为空间一点，为空间一点，如果将如果将x, y, z 改用另外改用另外三个数三个数 r， ， 来表示来表示,则称则称 (r， ， )为点为点m 的的球面坐标球面坐标。xyzpxoyzmr常数（球面族）常数（球面族） r常数（圆锥族）常数（圆锥族） 常数（半平面）常数（半平面） (0,0,02 )r 球面坐标与直角坐标的关系是球面坐标与直角坐标

16、的关系是sin cossin sincosxryrzr xoyzxyzrapmsinopr (0,0,02 )r 分割空间区域分割空间区域 , v可以近似地看成是可以近似地看成是高为高为 的长方体体积的长方体体积dr drxyzodr dsinr rd d d sinr2sinvdvrdrd d 积分元素积分元素drrdsinrd drrd sinrd sinrd 宽为宽为rd 长为长为其任一小块的体积其任一小块的体积r 用用常常数数, , 常常数数, , 常常数数2sindvrdrd d 体体积积元元素素2( , , )( , ,s)inf x y z dvf rrdrd d 其中其中( ,

17、 , )( sin cos , sin cos , cos )f rf rrr 一般将右端的形式化为先对一般将右端的形式化为先对r、次、次对对 、最后对、最后对 的三次积分来计算。的三次积分来计算。三重积分在球面坐标系下的形式：三重积分在球面坐标系下的形式： 一般地，空间区域一般地，空间区域 包含原点在其内包含原点在其内部，边界曲面为部，边界曲面为 则有则有 ,rr , ,fx y z dv 例如例如 当当 为球面为球面 时时2222xyza22000( , , )sinaddf rrdr ( , , )f x y z dv ra 球球面面方方程程：(22000, )( , , )sinrdd

18、f rrdr 例例7 7 求半径为求半径为 的球面与半顶角的球面与半顶角为为 的内接圆锥的内接圆锥面所围成的立体面所围成的立体的体积的体积( (如图如图). ). aoxyz2arm解解 根据积分性质：根据积分性质： 的度量，的度量，gdgg vdv 有有 将将 用球面坐标表示用球面坐标表示成不等式：成不等式：02 cos ,002ra oxyz2arm2sinvdvrdrd d 22 cos2000sinaddr dr 323008sincos3add 344(1cos)3a 22 cos2000sinaddrdr 思考题：思考题：球面方程球面方程柱面柱面球面球面2222xyza222za ra 柱面方程柱面方程222xybsinrb b 直角直角坐坐标标系系1.1.填写下表中的空格：填写下表中的空格：2. 计算重积分应怎样选择合适的坐标系？计算重积分应怎样选择合适的坐标系？应考虑哪两个方面？哪个方面更重要些？应考虑哪两个方面？哪个方面更重要些？（1）积分区域）积分区域（2）被积函数）被积函数积分区域边界的积分区域边界的表达式简单，便表达式简单，便于定限于定限被积函数的表达被积函数的表达式简单，便于积式简单，便于积分分相对而言，便于积分更重要一些相对而言，便于积分更重要一些.小小结结1.1.柱面坐标系下柱面坐标系下两种坐标系下三重积分的计算两种坐标系下三重积分的计算由柱面与