高一数学 人教版必修3：第三章 统计 含解析

1、人教版高中数学必修精品教学资料重点列表：重点列表：重点名称重要指数重点 1频率分布直方图重点 2茎叶图重点 3抛物线重点详解：重点详解：用样本的频率分布估计总体分布(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的_估计总体的_；另一种是用样本的_估计总体的_(2)在频率分布直方图中，纵轴表示_，数据落在各小组内的频率用_表示各小长方形的面积总和等于_(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布_随着样本容量的增加，作图时所分的_增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑 曲 线 ， 统 计 中 称 之 为_， 它 能 够 更 加 精 细 地 反 映 出_

2、(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以_，而且可以_，给数据的记录和表示都带来方便【参考答案】(1)频率分布分布数字特征数字特征(2)频率组距各小长方形的面积1(3)折线图组数总体密度曲线总体在各个范围内取值的百分比(4)保留所有信息随时记录重点重点 1 1：频率分布表、频率分布直方图及其应用：频率分布表、频率分布直方图及其应用【要点解读】用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体

3、作出估计频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误【考向 1】根据数据画出频率分布直方图【例题】某市 2013 年 4 月 1 日4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45.(1)完成下列频率分布表、频率分布直方图；频率分布表分组频数频率41，51)51，61)61，71)71，8

4、1)81，91)91，101)101，111)频率分布直方图(2)根据国家标准，污染指数在 050 之间时，空气质量为优；在 51100 之间时，为良；在101150 之间时，为轻微污染；在 151200 之间时，为轻度污染请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价解：(1)如图所示：频率分布表分组频数频率41，51)223051，61)113061，71)443071，81)663081，91)10103091，101)5530101，111)2230频率分布直方图(2)答对下述两条中的一条即可：该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平， 占当月天数的115， 有 2

5、6 天处于良的水平，占当月天数的1315，处于优或良的天数共有 28 天，占当月天数的1415.说明该市空气质量基本良好轻微污染有 2 天，占当月天数的115，污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数有 15 天，加上处于轻微污染的天数，共有 17 天，占当月天数的1730，超过 50%，说明该市空气质量有待进一步改善【评析】首先根据题目中的数据完成频率分布表，作出频率分布直方图，根据污染指数，确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数；对于开放性问题的解答，要选择适当的数据特征进行考察，根据数据特征分析得出实际问题的结论本题主要考查运用统计知识解决简单实际问题的能力、数据处理能力和应用

6、意识【考向 2】频率分布直方图的逆用【例题】某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100.(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分；(3)若这 100 名学生的语文成绩在某些分数段的人数(x)与数学成绩在相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在50，90)之外的人数.分数段50，60)60，70)70，80)80，90)xy11213445解：(1)由(2a0.020.030.04)101，解得a0.005.(2)0.05550.465

7、0.3750.2850.059573.(3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：分数段50，60)60，70)70，80)80，90)x5403020 xy11213445y5204025于是数学成绩在 50，90)之外的人数为 100(5204025)10.重点重点 2 2：茎叶图：茎叶图【要点解读】茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作【考向 1】根据茎叶图求方差【例题】以下茎叶图记录了

8、甲、乙两组各四名同学的植树棵数乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示如果x8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；注：方差s21n(x1)2(x2)2(xn)2，其中x为x1，x2，xn的平均数解：当x8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是 8，8，9，10，所以平均数为889104354；方差为s2148354283542935421035421116.【考向 2】根据茎叶图求平均数【例题】某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.179201530(1)根据茎叶图计算样本平均值；(2)日加工零件个数大于样本均

9、值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人？难点列表：难点列表：难点名称难度指数难点 1用样本的数字特征估计总体的数字特征难点 2导数与函数的极值、最值难点详解：难点详解：用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数，中位数，平均数众数：在一组数据中，出现次数_的数据叫做这组数据的众数中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或者最中间两个数据的_)叫做这组数据的中位数平均数：样本数据的算术平均数，即_在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该_(2)样本方差，样本标准差标准差s)()()(122221xxxxxxnn， 其中xn是_

10、，n是_，是_标准差是反映总体_的特征数，_是样本标准差的平方通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差【答案】 (1)最多平均数1n(x1x2xn)相等(2)样本数据的第n项样本容量平均数波动大小样本方差难点难点 1 1：用样本的数字特征估计总体的数字特征：用样本的数字特征估计总体的数字特征【要点解读】能从一组数据中求出中位数、平均数和众数【考向 1】平均数、中位数【例题】某汽车制造厂分别从 a，b 两种轮胎中各随机抽取了 8 个进行测试，列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1000 km)：轮胎 a96112971081001038698轮胎 b108

11、10194105969397106(1)分别计算 a，b 两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数；(2)分别计算 a，b 两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差；(3)根据以上数据，你认为哪种型号轮胎的性能更加稳定？(2)a 轮胎行驶的最远里程的极差为：1128626，标准差为：s=8)2()14(308)3(12)4(2222222222127.43；b 轮胎行驶的最远里程的极差为：1089315，标准差为：s86) 3()7()4(5)6(182222222211825.43.(3)虽然 a 轮胎和 b 轮胎的最远行驶里程的平均数相同，但 b 轮胎行驶的最远里程的极差和标准差相对于 a 轮胎

12、较小，所以 b 轮胎性能更加稳定【评析】在理解平均数、中位数、众数、极差、标准差、方差的统计意义和数学表达式的情况下，不难作出解答【考向 2】平均数、标准差【例题】某学员在一次射击测试中射靶 10 次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.则(1)平均命中环数为_；(2)命中环数的标准差为_难点难点 2 2：根据频率分布直方图计算样本的数字特征：根据频率分布直方图计算样本的数字特征【要点解读】会从频率分布直方图中求出中位数、平均数和众数【考向 1】中位数【例题】如图所示是一容量为 100 的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其中位数为()a12.5b13c13.5d

13、14【答案】b【考向 2】平均数【例题】某市为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制订住户月用电量的临界值a.若某住户某月用电量不超过a度，则按平价计费；若某月用电量超过a度，则超出部分按议价计费，未超出部分按平价计费为确定a的值，随机调查了该市 100 户的月用电量，工作人员已将 90 户的月用电量填在了下面的频率分布表中，最后 10 户的月用电量(单位：度)为：18，63，43，119，65，77，29，97，52，100.组别月用电量频数统计频数频率0，20)20，40)正正40，60)正正正正60，80)正正正正正80，100)正正正正100，120(1)完成频率分布表并绘制频率分布

14、直方图；(2)根据已有信息，试估计全市住户的平均月用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(3)若该市计划让全市 75%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，试求临界值a.解(1)组别月用电量频数统计频数频率0，20)40.0420，40)正正120.1240，60)正正正正240.2460，80)正正正正正正300.3080，100)正正正正正250.25100，120正50.05(2)由题意，用每小组的中点值代表该小组的平均月用电量，则 100 户住户组成的样本的平均月用电量为 100.04300.12500.24700.30900.251100.0565(度)用样本估计总体，可

15、知全市居民的平均月用电量约为 65 度(3)计算累计频率，可得下表：分组0，20)20，40)40，60)60，80)80，100)100，120频率0.040.120.240.300.250.05累计频率0.040.160.400.700.951.00由此可知临界值a应在区间 80，100)内，且频率分布直方图中，在临界值a左侧小矩形的总面积(频率)为 0.75，故有 0.7(a80)0.012 50.75，解得a84，由样本估计总体，可得临界值a为 84.【趁热打铁】【趁热打铁】1 1容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表：分组10，20)20，30)30，40)40，50)50，6

16、0)60，70)频数234542则样本数据落在区间 10，40)的频率为()a0.35b0.45c0.55d0.652 2 为了普及环保知识， 增强环保意识， 某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试， 得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为me，众数为mo，平均值为，则()amemobmemocmemodmome3 3某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为 88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是()a这种抽样方法是一种分层

17、抽样b这种抽样方法是一种系统抽样c这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差d该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数4 4小波一星期的总开支分布如图 1 所示，一星期的食品开支如图 2 所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()图 1图 2a30%b10%c3%d不能确定5 5从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)，设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则()甲乙8650884001028752202337800312448314238a.甲m乙b甲乙，m甲乙，m甲m乙d甲乙，m甲m乙6 6样本

18、(x1，x2，xn)的平均数为，样本(y1，y2，ym)的平均数为y(y)，若样本(x1，x2，xn，y1，y2，ym)的平均数(1)y，其中 012，则n，m的大小关系为()anmcnmd不能确定7 7甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这 10 天中甲、乙两人日加工零件的平均数分别为_和_甲乙981971013202142411530208 8如图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位：)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是 20.5，26.5，样本数据的分组为 20.5，21.

19、5)，21.5，22.5)，22.5，23.5)，23.5，24.5)，24.5，25.5)，25.5，26.5已知样本中平均气温低于 22.5的城市个数为 11，则样本中平均气温不低于 25.5的城市个数为_9 9为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为24171593，第二小组频数为 12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？

20、请说明理由1010为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为a药，b药)的疗效，随机地选取 20 位患者服用a药，20 位患者服用b药，这 40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下：服用a药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用b药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果

21、看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？a药b药0.1.2.3.第三章第三章1 解：由频率分布表可知：样本数据落在区间 10，40)内的频数为 2349，样本总数为20，故样本数据落在区间 10，40)的频率为9200.45.故选 b.b.2 解：中位数为 5.5，众数为 5，平均值为17930.故选 d.d.3 解：这种抽样方法为简单随机抽样，该班这五名男生成绩的平均数为8694889290590，方差为15(8690)2(9490)2(8890)2(9290)2(9090)28；该班这五名女生成绩的平均数为8893938893591，方差为15(8891)2(9391)2(9391)2(8891)2(9391)26.故选 c.c.5 解：易知甲21.5625，乙28.5625，m甲20，m乙29，甲乙，m甲m乙故选 b.b.6 解：x1x2xnn，y1y2ymmy，x1x2xny1y2ym(mn)(mn)(1)y(mn)(mn