b6分析5插值法(上)

1、第五章插值法概述(续1）插值法概述（续2）badxxfi)(代数插值代数插值（续1）1)-(5 )(1nnonxaxaax2)-5 ( ),2, 1 ,0( )()(niyxfxiiin代数插值（续2）)( xyny0yny2x0 x1x2xny1)(xfy 代数插值（续3）246810 xy代数插值应用举例代数插值应用举例（续）1 拉格朗日（lagrange）插值nnnnnnnnnnyxaxaxaayxaxaxaayxaxaxaa221011212110002020102)-5 ( ),2, 1 ,0( )()(niyxfxiiin插值多项式的存在性和唯一性（续）nnnnnnxxxxxxxx

2、xa212110200111)det(。的插值多项式唯一存在条件满足插值个节点互不相同只要这表明存在且唯一方程组的解行列式值不为互不相同时当行列式为范德蒙)25(,1,0, )()det(,de)(vandermon10110nxxxxxanniijji关于唯一性证明的几点说明 1.2 插值多项式的误差估计 )()()(xxfxrnn 3)-(5 )()()()()()(11txxrttftnnnn0)()()()()()(11xxxrxxfxnnnn:)()(01显然其中njjnxtt插值多项式的误差估计（续）)()()()()()()1(11)1()1()1(txxrttftnnnnnnn

3、n0)()1(n)!1()( ,0)()1(1)1(nttnnnn t插值多项式的误差估计（续）0)!1()()()()(1) 1() 1(nxxrfnnnn)()()!1()( )()!1()()(10)1(1)1(nnnnnxxxxxxnfxnfxr插值余项定理4)-(5 )( )()!1()()()()(1) 1(a,bxnfxxfxrnnnn插值余项定理（续）)()(00)(,)(),( , )()!1()()()()(),45(),()(, 0,)1(1)1(xfxfnxfbaxnfxxfxrxfxnnnnnnn误差为则次多项式若为误差因为由误差估计式即此时误差为实际上1.3 lag

4、range插值多项式 101011010010111011001001 )()(xxyyaxxxyxyayxaaxyxaax求解可得5)-(5 )(10101010011xxxyyxxxyxyxlagrange插值多项式（续1）x)(xfy )()(11xlxy6)-(5 )()(0010101xxxxyyyxn7)-(5 )(: 101001011yxxxxyxxxxxl还可由对称式得lagrange插值多项式（续2）1011001)()()()(iiiyxlyxlyxlxl) 1 , 0( , 0 , 1)( ijijixlji条件它们在插值节点处满足2)-5 ( ), 2 , 1 , 0

5、( )()(niyxfxiiin01011010)( )(xxxxxlxxxxxl插值基函数7)-(5 )(101001011yxxxxyxxxxxl8)-(5 )()()()()( 202211002iiiyxlyxlyxlyxlxl可设1)(,0)(,0)(0)(,1)(,0)(,0)(,0)(,1)(221202211101201000 xlxlxlxlxlxlxlxlxlxx0 x1x2y(x)y0y1y2插值基函数（n =2）（续1）)()(210 xxxxcxl)(11)(201000 xxxxcxl再利用)()()( 2010210 xxxxxxxxxl即)()()()()()(

6、12021022101201xxxxxxxxxlxxxxxxxxxl )()()()()( :202211002iiiyxlyxlyxlyxlxl于是插值基函数（续2）)2 , 1 , 0( 0 1)(ijijixlji节点处满足由于二次插值基函数在xx1x2)(xfy)(2xlyx0y2)-5 ( ), 2 , 1 , 0( )()(niyxfxiiin插值基函数（续3）jijixlji 1 0)(), 1 , 0( )()()()()()()(011101110nixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnijjjijniiiiiiiniii9)-(5 )()()()()(01

7、100niiinnnyxlyxlyxlyxlxllagrange插值多项式 niiininnyxxxxxl011)()()()(可改写为于是式求导可得记)105(, )()(:),()(0101nijjjiinnjjnxxxxxx10)-(5 )()(000 niniinijjjijiinyxxxxyxlxllagrange插值多项式（续）jijixlji 1 0)(), 2 , 1 , 0( )()(0nkyyxlxlnikikikn应有：4)-(5 )( )()!1()()(1)1(a,bxnfxrnnn插值举例11)( )12()(01011010 xxxxxxlxxxxxxl31222

8、1111003306. 15 . 05 . 00082645. 021) 5 .11(0082645. 01111)(ln,12111)(ln)12)(11(! 2)(ln)(454414. 25 . 04849. 25 . 03979. 2) 5 .11(5 .11ln5 .11)11(4849. 2)12(3979. 2)(75 rxxxxxxxrlxxxxl于是：故：之间与在，因为）得：按式（代入，即得：将）得：由式（例1(续）)12)(11(28245. 1)13)(11(4849. 2)13)(12(19895. 1 )1213)(1113()12)(11(5649. 2)1312)

9、(1112()13)(11(4849. 2)1311)(1211()13)(12(3979. 2)(2xxxxxxxxxxxxxl2.442275 )5 . 0(5 . 028245. 1 )5 . 1(5 . 04849. 2)5 . 1()5 . 0(19895. 1 )5 .11(5 .11ln2 l所以：5222313113103938. 9 5 . 15 . 05 . 0101503. 061 )135 .11)(125 .11)(115 .11(! 3)(ln)5 .11(101503. 0112)(lnmax,2)(ln xrxxxx的误差为：因此用抛物线插值计算于是：因为清楚地

10、可以知道。这从几何直观也要准确一些插值小，即抛物插值比线性比可看出从例查表可得：.)()(, 1442347. 25 .11ln12xrxr插值举例（续）niiinxllagrangenixlnxxx0101)(,), 1 , 0)(,1,试证明：插值基函数组节点上的为这个互异节点为设niiinyxlxl0)()(0)()!1()()()()(1)1(xnfxlxfxrnnnnniinxfxlxl01)()()(2 牛顿（牛顿（newton）插值插值 )()()(,),()()(1,11020102200101001011010 xxxxaxxaaxnxxxxxyyyxxaaxnnyyybxx

11、xannn有如下形式：得二次插值多项式，并可如果增加一个节点时的函数值个节点设给定)()()( , , )(,)(,)(10212020101121220101100222112002xxxxaxnxnxxxxyyxxyyaxxyyayayxnyxnyxn利用插值条件牛顿（newton）插值（续1） )()()()( 11)-(5 )()()()()( )()()()(1101020101020121101nnnnnnnnnnnxxxxxxaxxxxaxxaaxxxxaxxxxaxnxxxxxxaxnxn01011110000)()( ), 1 , 0()(xxyyayxnyayxnniyxn

12、nniin由牛顿（newton）插值（续2）0201011212120202010102222)(/()()(xxxxyyxxyyxxxxxxxxyyyyayxnn商的概念及其性质。先介绍差这些系数能表示出来为了将，再由由,)(,)(3333nnnnnnaaayxnayxn2.1 差商 ijijjijijiijijiinxxxfxfxxfxxfxxxfxxxfxfxfyxxxxf)()(,),(,)()()(,)(,),(10即：记为也称均差的一阶差商关于点为称为零阶差商称为一系列互不相等的点设有函数ikjikjxxxxfxxf,0121012110,xxxxxxfxxxxfxxxfkkkkk

13、k差商计算020220121221010110)()(,)()(,)()(, ,xxxfxfxxfxxxfxfxxfxxxfxfxxf：我们可计算按上述定义0101121202102102210)()()()(1,1,xxxfxfxxxfxfxxxxfxxfxxxxxf差商的性质,101010kkkxxxbxxxaxxxfkkjjjkikniikikxxxxxfxxxf010110)()()()(,其中明。一般情形可用归纳法证时：是显然的。当证明：当)()()()()()( )()()()()()()( )()()()()()()()( )()()()(,1,21120222101120100

14、210102210111202220100010210221112022201000201011212102102210 xxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxxxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxfxxxfxfxxfxxfxxxxxfkk差商的性质（续）差商的性质（续）,kijjkikjiijjixxxfxxxfxxxfxxfxxf)()()()()(,11xpxxxpxxxxxfxfxxfniniiii差商表的计算2.2 newton插值公式 ,)(,.,)(,)(),(,)()()(001010210221010101

15、100000nnnxxxfxxxxxfxxxfxxxxfxxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxfxxfxxxfxf等的部分，即得：然后相加并消去两边相将以上各式分别乘以：)()( ,),)(),( , 1110100nxxxxxxxxxxxx,)()( ,)()( ,)(,)()()(101010110210101000nnnnxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf12)-(5 ,)()( ,)(,)()()(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxn13)-(5 ,)( ,)()()(10121010nn

16、nnnxxxxfxxxxxxfxxxxxxxr )()()(xrxnxfnn则：newton插值多项式及其余项), 1 , 0( 0,)( )(101nixxxxfxxrniinin ,)()()()(110101nnnnxxxfxxxxxxxnxn), 2 , 1(,10nkxxxfakk 0,)( )(101 niininxxxxfxxr )()(, )(,)(,)()(21032101021001003xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxn)()()(, )(3210432103xxxxxxxxxxxxxfxrinewton插值多项式及其余项（续）),( )()!1()

17、(,)( )(1n) 1(101baxnfxxxxfxxrnnnn14)-(5 !)(,)(10nfxxxfnnmin,min),(00iniinixx其中newton插值多项式的计算 10)(jjxx20)(jjxx10)(njjxxnewton插值公式计算举例)12)(11(0035. 0)11(0870. 03979. 2)(2xxxxn2.442275 5.05.00035.05.00870.03979.2 )5.11(5.11ln2 n所以：newton插值公式计算例3续1210)(kkx1310)(kkx4423522.2 )5 .1()5 .0(5 .05 .1000005.0)

18、5 .0(5 .0 5 .100022.05 .05 .100415.05 .10953.03026.2 )5 .11(5 .11ln4 n所以：可用,321xxxxf0000825. 05 . 15 . 05 . 000022. 0)5 .11)(5 .11)(5 .11(,)(32143212xxxxxxxfxr近似00022. 0,4321xxxxf的近似值，,321xxxxf的近似值。)(2xr2.3 差分),1 ,0( 1nkfffkkk定义5.2（续）, , 2 , ,:, , , 122213021203121212120102232121010fffffffffffffffff

19、ffffffffffkkkkkk三阶差分一般可定义二阶差分利用一阶差分如)3 , 2( , ,11112110101mfffffffffkmkmkmkkkkkk1122011,kkkfffffffff差分的其它种类,:,22:),2(),(01111110101222101011221010021000201ffffffkffffffffffffffffffhxffhxffkkkkkk阶二阶则有若定义211211111kmkmkmkmkmkmffffff21211021122/3012/12/12/312/12/1002/102/302/1)2()2( , , , ,:)2(),23(),2(

20、:kkkkkffhxfhxfffffffffffffffffhxffhxffhxff一阶记中心差分差分计算造表差分计算造表（续1）差分计算造表（续2）差分计算举例60. 0lnln80. 0lnln40. 0lnln005103. 0)2(434344545441414xfxfxf65. 0ln27 . 06 . 0ln00750. 0 3321335323fff又如差分的性质kmkmkmbaf.)!(!)1()1(2332002114212321231212为二项式展开式的系数其中一般地：例如：jmjmcjmfjmffjmffffffffffffffffffffjmjkmjjkmjmkmjj

21、kmkkkkkkkkkkkkkkkkkk差分的性质（续1）2422223434422:ffffffff例如22221221211121111122)(122)(1,)()(,hfhffhhfhffhxxxxfxxfxxxfhfhfxxxfxfxxfkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk例如：2mkmkmmkmkmffff差分的性质（续2）15)-(5 ), 2 , 1( !1 !1,1mfhmfhmxxxfmkmmkmmmkkk16)-(5 )( ,!)(1mkkmmmkkkmkmxxfhxxxfhmf2.4 等距节点插值公式 )()(!)(! 2)(1 )()(,)(,)()(110

22、010202000110100100nnnnnnxxxxxxhnfxxxxhfxxfhfxxxxxxxxxfxxxxfxfxnnewton向前插值公式向前插值公式17)-(5 !) 1() 1(! 2) 1()(002000fnntttfttftfthxnnn18)-(5 ),( )()!1()() 1( )()()!1()()(0) 1(110) 1(nnnnnnxxfhnntttxxxxxxnfxrnewton向后插值公式 19)-(5 !) 1() 1(! 2) 1()(2nnnnnnnfnntttfttftfthxn20)-(5 ),( )()!1()() 1()(0) 1(1nnnnxxfhnntttxr表5-72) 1( tt2) 1( tt20)(! 31jjt20)(! 31jjt10)(!1njjtn10)(!1njjtn2) 1( tt20)(!31jjt10)(!1njjtnnewton向前、向后插值公式 举例)1(2tt)1(2tt)2)(1(! 3ttt)2)(1(! 3tttnewton向前、向后