复合材料力学各向异性弹性力学基础

1、第二章第二章 各向异性各向异性 弹性力学基础弹性力学基础2.2 2.1 2.3 2.1 各向异性弹性力学各向异性弹性力学 基本方程基本方程各向异性弹性力学基本方程包括：各向异性弹性力学基本方程包括：2.1(1)工程应力 zzyzxyzyyxxzxyx 工程应变 zzyzxyzyxzxyxyx,zwyvxuzyx.;yuxvxwzuzvywxyzxyzxzzxzyyzyxxyxzxzyzzyxyyx222222222222222yxzyxzxzyxzyzyxzyxzxyzxyzyzxyzxyxyzxyxz222222222222twfzyxtvfzyxtufzyxzzzyzxyyzyyxxxzx

2、yx注：以上关系与各向同性体相同注：以上关系与各向同性体相同 xyzxyzzyxxyzxyzzyxcccccccccccccccccccccccccccccccccccc 666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211(本构关系本构关系) hooke 定理定理： 记作记作=c ， c刚度矩阵，刚度矩阵，可以证明，可以证明， c是对称矩阵，因此它只是对称矩阵，因此它只有有21个独立变量。个独立变量。 同样，同样， s也是对称矩阵，它也有也是对称矩阵，它也有21个独立变量。个独立变量。同样，可用应力分

3、量表示应变分量：同样，可用应力分量表示应变分量： s sc-1柔度矩阵。柔度矩阵。2.2 完全各向异性 具有一个弹性对称面的材料 正交各向异性材料 横观各向同性材料 各向同性材料2.2 2.2 222 6xyxy5zxzx4yzyz3z2y1x6xy5zx4yz3z2y1x 应变应变应力应力 21 21 21 21 21 21266665562555644654452444633653354334233362265225422432232222611651154114311321122111cccccccccccccccccccccw2.2应变势能密度为： 2121cw 一、完全各向异性（一、

4、完全各向异性（21个弹性常数）个弹性常数）xyzxyzzyxxyzxyzzyxccccccssssssssssssssssssssssssssssss666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211各向各向异性异性体具有耦合现象：剪应力可以引起体具有耦合现象：剪应力可以引起正应变，正应力也可引起剪应变，反之亦然。正应变，正应力也可引起剪应变，反之亦然。注意：注意：各向各向同性同性体无此耦合现象。体无此耦合现象。二、有一个弹性对称面（13个弹性常数） 取取xoy坐标面为弹性对称面，坐标面为弹性对称面，

5、取取a与与a为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即将为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即将z轴转到轴转到z轴时，应力应变关系不变。轴时，应力应变关系不变。xy面为弹性对称面，面为弹性对称面，z轴为材料主轴或弹性主轴轴为材料主轴或弹性主轴.有一个弹性对称面的材料此时：此时：z=-z，w=-w，5yzxz4yzzy)()(xwzuxwzuzvywzvyw有一个弹性对称面的材料 66362616554545443633231326232212161312110000000000000000ccccccccccccccccccccc 为保证为保证w值不变值不变,将含有将含有xz和和yz( 4与与 5

6、)一次项的一次项的cij置为零，只剩下置为零，只剩下13个独个独立变量。立变量。 66362616554545443633231326232212161312110000000000000000sssssssssssssssssssss有一个弹性对称面的材料同理：同理：三、正交各向异性（9个弹性常数） 665544332313232212131211000000000000000000000000ccccccccccccc如果具有三个正交弹性对称面，则：如果具有三个正交弹性对称面，则： 2.2.2正交各向异性材料 6655443323132322121312110000000000000000

7、00000000sssssssssssss只有九个独立系数只有九个独立系数（后面再详细讨论）（后面再详细讨论）四、横向同性（5个弹性常数） 各向同性面各向同性面在该平面内，在该平面内，各点的弹各点的弹性性能在各方向上相同性性能在各方向上相同。 假定：假定：1，2，3都是弹性都是弹性主轴，主轴，12面是各向同性面是各向同性面。面。则：则：s11=s22， s13=s23， s44=s55， c11=c22，c13=c23， c44=c55横观各向同性材料 又设某点应力状态：又设某点应力状态： 1= ， 2= ， 4= 5 6，有有 212112112122112121 sssssw 将将1、2坐

8、标轴在面内转坐标轴在面内转450到到1 、2，则则 1= 2 30， 6 12 ， 23 31 0：66621 sw 则：则：s662(s11 s12)横观各向同性材料 121144443313131311121312112000000000000000000000000ssssssssssssss横观各向同性材料 1211444433131313111213121121000000000000000000000000cccccccccccccc只有五个独立系数只有五个独立系数五、各向同性材料（五、各向同性材料（3个弹性常数）个弹性常数） 如果材料任一点、任一方向弹性特如果材料任一点、任一方向

9、弹性特性都相同。性都相同。有：有：c11=c22=c33， c12=c13 =c23， 121166554421ccccc s11=s22=s33，s12=s13 =s23， 121166554421sssss 2.2.4各向同性材料 121112111211111212121112121211210000002100000021000000000000cccccccccccccccc2.2.4各向同性材料 121112111211111212121112121211200000020000002000000000000ssssssssssssssss只有三个独立参数，可以用只有三个独立参数，

10、可以用e、 、g表示。表示。实际上只有两个，因为实际上只有两个，因为e、 、g之间有关系。之间有关系。六、六、 3 , 2 , 1 ieiii jiij对正交各向异性材料：对正交各向异性材料： 665544332313232212131211000000000000000000000000sssssssssssss123123323213132321213132121100000010000001000000100010001gggeeeeeeeeeijijijee一般一般ei ej，所以，所以， ij ji 。在在s（或（或c）中任意取第）中任意取第i1,i2,i3, i1,i2,i3, 列交点处的元素构成的行列交点处的元素构成的行列式称为矩阵列式称为矩阵 s（或（或c）的主子式。）的主子式。.0,0,0,0,0,001231233211gggeees21121221212