不定积分的计算方法48026

1、一、一、 求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1. 直接积分法直接积分法通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 .2. 换元积分法换元积分法xxfd)( 第一类换元法第一类换元法tttfd)()( 第二类换元法(注意常见的换元积分类型) (代换: )(tx机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 分部积分法分部积分法vuxvud使用原则:1) 由v易求出 v ;2) xvud比xvud好求 .一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排前者取为 u , 排后者取为.v计算格式: 列表计算xvud机动 目录 上页 下页 返回 结束 xvund) 1(xvuv

2、unnd)()()1()(nnvuvu xvund) 1( )2() 1()(nnnvuvuvuxvunnd) 1() 1(1多次分部积分的多次分部积分的 规规 律律机动 目录 上页 下页 返回 结束 )2()1()( nnnvuvuvuxvund)2( 快速计算表格:)(ku)1(knvuuu )(nu)1( nv)(nv)1( nvvn) 1()1( nuv1) 1(n特别特别: 当 u 为 n 次多项式时,0)1(nu计算大为简便 . 例例1. 求.d4932xxxxx解解: 原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlnd

3、cx3ln2ln)arctan(32机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求.d15)1ln(22xxxx解解:215)1ln(2xx原式5)1ln(d2xx21xxxxxd)1 (212221dxx325)1ln(2xxc23机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析: 5)1ln(d2xx例例3. 求.dcos1sinxxxx解解 :原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tancxx2tan分部积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设,)(2xyxy解解: 令, tyx求积分.d31xyxxyxy2)(即txy,123ttx,12tty而

4、ttttxd) 1()3(d2222 1原式ttttd) 1()3(2222123tt132tttttd12ct1ln221cyx1)(ln221机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求.darctanxeexx解解:xearctan原式xedxxeearctanxexeexxd12xxeearctanxeeexxxd1)1 (222xxeearctanxcex)1 (ln221机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求.d)2(23xexxx解解: 取,23xxuxev2)4(23 xx132xx660)(ku)4(kvxe2xe221xe241xe281xe2161xe2 原

5、式)2(321 xx) 13(241xx681cxxxex)7264(232816161cxxaxaexpxkndcossin)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 此法特别适用于如下类型的积分: 例例7. 设,dsecxxinn证证:证明递推公式:)2(12tansec1122ninnxxninnnxinn2secxn 2secxxxnntansecsec)2(3xxdtanxxntansec2xxxnnd) 1(secsec)2(22xxntansec2nin)2( 2)2(ninxxdsec2xtan)2(12tansec1122ninnxxninnn机动 目录 上页 下页

6、返回 结束 例例8. 求.d1xx解解: 设1)(xxf1x,1x1x,1x则)(xf1,1221xcxx1,2221xcxx因)(xf连续 , , ) 1 ()1 ()1 (fff得21211121cc221121cc记作c得xxd1)(xf1,21221xcxx1,21221xcxx,) 1(221cx,) 1(221cx利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.设 解解:)(xf为)(xf的原函数,时时当当0 x,2sin)()(2xxfxf有有且,1)0(f,0)(xf求. )(xf由题设, )()(xfxf则,2sin)()(2xxfxf故xxfxfd)()(xxd2sin2

7、xxd24cos1即cxxxf4sin)(412,1)0(f, 1)0(2fc0)(xf, 因此14sin)(41xxxf故)()(xfxf14sin2sin412xxx又机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分1. 一般积分方法一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 需要注意的问题需要注意的问题(1) 一般方法不一定是最简便的方法 ,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合使用各种基本积分法, 简便计算 . 因此不一定都能

8、积出.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如 , ,d2xex,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13xx, ) 10(dsin122kxxk例例10. 求.1d632xxxeeex解解: 令,6xet 则,ln6tx txtdd6原式原式ttttt)1 (d623tttt) 1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t) 1ln(232tct arctan3ceeexxxx636arctan3) 1ln() 1ln(323机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 求.dsincossincos3xxxxx解解: 令xxsincos3x

9、baxbasin)(cos)(比较同类项系数3 ba1 ba, 故2, 1ba 原式xxxxxsincos)sind(cos2dcxxxsincosln说明说明: 此技巧适用于形为xxdxcxbxadsincossincos的积分.)sin(cos)sin(cosxxbxxaxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcbxdxca机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12.解解：xxbxaxidsincossin1求因为.dsincoscos2xxbxaxi及12ibiaxxbxaxbxadsincossincos1cx12iaibxxbxaxaxbdsincossinco

10、s)sincosd(xbxa2sincoslncxbxacxbxaabxbai)sincosln(1221cxbxabaxbai)sincosln(1222机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13.求不定积分.dsin)cos2(1xxx解解: )cos(xu 令令原式 uuud) 1)(2(12) 1)(2(12uuua21ub1uc31a61b21c2ln31u1ln61ucu1ln21)2ln(cos31x)cos1ln(61xcx) 1ln(cos21机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxxdsin)cos2(sin2例例14.)()sin()sin(dkbabxaxxi求xbxaxd)sin()sin()()sin(bxax)sin(1ba xbxaxbad)sin()sin()sin(1)sin(ax )cos(bx )cos(ax )sin(bx)sin(1ba xbxbxd)sin()cos(xaxaxd)sin()cos(caxbxba)sin(ln)sin(ln)sin(1caxbxba)sin()sin(ln)sin(1机动 目录 上页