【人教A版】高中数学 第三章 不等式章末知识总结 新人教A版必修5

1、人教版高中数学必修精品教学资料高中数学 第三章 不等式章末知识总结 新人教 a 版必修 5一、本章概述不等关系是中学数学中最基本、最广泛、最普遍的关系不等关系起源于实数的性质,产生了实数的大小关系、 简单不等式、 不等式的基本性质,如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系,又产生了重要不等式、基本不等式等不等式是永恒的吗？显然不是,由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件,不同类型的不等式又有不同的解法不等式证明则是推理性问题或探索性问题推理性即在特定条件下,阐述论证过程,揭示内在规律,基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多

2、是与自然数n有关的证明问题,常采用观察归纳猜想证明的思路,以数学归纳法完成证明另外,不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程不等式的知识渗透在数学中的各个分支,相互之间有着千丝万缕的联系,因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题,诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,以及三角、 数列、 立体几何、 解析几何中的最大值、 最小值问题,这些问题无一不与不等式有着密切的联系 不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题,许多问题最终归结为不等式的求解或证明解决这类综合问题的一般思

3、维方法是：引参,建立不等关系,解某一主元的不等式(实为分离变元),适时活用基本不等式其中建立不等关系的常用途径是：根据题设条件；判别式法；基本不等式法；依据某些变量(如 sinx,cosx)的有界性等二、主干知识1不等式与不等关系不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系 不等式的性质包括“单向性”和“双向性”单向性主要用于证明不等式,双向性是解不等式的基础因为解不等式要求的是同解变形要正确理解不等式的性质,必须先弄清每一性质的条件和结论、注意条件和结论的放宽和加强,以及条件与结论之间的相互联系双向性主要有：(1)不等式的基本性质：abab0，abab0，abab0，这是比较两个实数的大小

4、的依据；(2)abbbacbc.单向性主要有：(1)ab,bcac；(2)ab,cdacbd；(3)ab,c0(cbc(acb0,cd0acbd；(5)ab0,0cb0,mn*ambm；(7)ab0,nn*,n1nanb.特别提醒：(1)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减即：若ab,cd,则acbd；若ab,cd,则acbd.但异向不等式不可以相加,同向不等式不可以相减(2)左右同正不等式,同向的不等式可以相乘,但不能相除； 异向不等式可以相除,但不能相乘即：若ab0,cd0,则acbd；若ab0,0cd,则acbd.(3)左右同正不等式,两边可以同时乘方或开方即：若ab0,nn*,n1,

5、则anbn或nanb.(4)若ab0,ab,则1a1b；若ab0,ab,则1a1b.如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论2一元二次不等式及其解法解一元二次不等式常用数形结合法,基本步骤如下：将一元二次不等式化成ax2bxc0 的形式；计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解；画出相应的二次函数的图象；根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集设相应二次函数的图象开口向上,并与x轴相交,则有口诀：大于取两边,小于取中间解含参数的不等式的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键” 要注意对字母参数的讨论,如果遇到下述情况则一般需要

6、讨论：(1)在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状况(有时要分析),比较两个根的大小,设根为x1,x2,要分x1x2、x1x2、x1x2讨论(2)不等式两端乘或除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正负(3)求解过程中,需用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论注意解完之后要写上： “综上,原不等式的解集是” 若按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集；若按未知数讨论,最后应求并集一元二次不等式ax2bxc0 或ax2bxc0(a0)的解集：设相应的一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根为x1、x2且x1x2,b24ac

7、,则不等式的解的各种情况如下表所示：特别提醒： (1)解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集 r 和空集 的几何意义,准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系(2)解不等式的关键在于保证变形转化的等价性简单分式不等式可化为整式不等式求解：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为 0 的形式,然后通过符号法则转化为整式不等式求解 转化为求不等式组的解时,应注意区别“且”、 “或”,涉及最后几个不等式的解集是“交”,还是“并”注意：不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值(3)在解决实际问题时,先要从实际问题中抽象出数学

8、模型,并寻找出该数学模型中已知量与未知量,再建立数学关系式,然后用适当的方法解决问题(4)解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型,解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类分类相当于增加了题设条件,便于将问题分而治之在解题过程中,经常会出现分类难以入手或者分类不完全的现象强化分类意识,选择恰当的解题切入点,掌握一些基本的分类方法,善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(1)确定二元一次不等式表示的区域的步骤：在平面直角坐标系中作出直线axbyc0.在直线的一侧任取一点p(x0,y0),当c0 时,常把原点作为特殊点将p(x0,y0)

9、代入axbyc求值,若ax0by0c0,则包含点p的半平面为不等式axbyc0 所表示的平面区域,不包含点p的半平面为不等式axbyc0 所表示的平面区域也可把二元一次不等式改写成ykxb或ykxb的形式,前者表示直线的上方区域,后者表示直线的下方区域(2)线性规划的有关概念：满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件；关于变量x,y的解析式叫目标函数,关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数；求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题；满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最

10、优解特别提醒：(1)画不等式axbyc0 所表示的平面区域时,区域包括边界线,因此,将边界直线画成实线；无等号时区域不包括边界线,用虚线表示不包含直线l.(2)axbyc0 表示在直线axbyc0(b0)的上方,axbyc0 表示在直线axbyc0(b0)的下方(3)设点p(x1,y1),q(x2,y2),直线l：axbyc0,若ax1by1c与ax2by2c同号,则p,q在直线l的同侧,异号则在直线l的异侧(4)在求解线性规划问题时要注意：将目标函数改成斜截式方程；寻找最优解时注意作图规范4基本不等式abab2.(1)基本不等式：设a,b是任意两个正数,那么abab2.当且仅当ab时,等号成

11、立基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数如果把ab2看做是正数a,b的等差中项,ab看做是正数a,b的等比中项,那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项基本不等式abab2几何意义是“半径不小于半弦”(2)对基本不等式的理解：基本不等式的左式为和结构,右式为积的形式,该不等式表明两正数a,b的和与两正数a,b的积之间的大小关系,运用该不等式可作和与积之间的不等变换“当且仅当ab时,等号成立”的含义：a当ab时等号成立的含意是：abab2ab；b仅当ab时等号成立的含意是：ab2abab；综合起来,其含意是：ab2abab.(3)设a,br,不等

12、式a2b22ababa2b22abab22.(4)基本不等式的几种变式：设a0,b0,则a1a2,baab2,a2b2ab.(5)常用的几个不等式：a2b22ab2ab21a1b(根据目标不等式左右的运算结构选用)；设a,b,cr,则a2b2c2abbcca(当且仅当abc时,取等号)；真分数的性质：若ab0,m0,则babmam(糖水的浓度问题)特别提醒：(1)用基本不等式求函数的最值时,要特别注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小”这 17 字方针常用的方法为：拆、凑、平方(2)用基本不等式证明不等式时,应重视对所证不等式的分析和化归,应观察不等式左右两边的结构,注意识别轮换对称

13、式,此时可先证一部分,其他同理可证,然后再累加或累乘题型 1恒成立问题(1)若不等式 f(x)a 在区间 d 上恒成立,则等价于在区间 d 上 f(x)mina；(2)若不等式 f(x)b 在区间 d 上恒成立,则等价于在区间 d 上 f(x)maxb.例1设函数f(x) x,g(x) xa(a0),若x1,4时不等式|f（x）ag（x）f（x）|1 恒成立,求 a 的取值范围解析：由|f（x）ag（x）f（x）|11f（x）ag（x）f（x）1,得 0ag（x）f（x）2,即axa2x2 在 x1,4上恒成立,也就是 axa22x在 x1,4上恒成立令t x,则t0,且xt2,由此可得 at

14、22ta20在t1,2上恒成立,设g(t) at22ta2,则只需g（1）0，g（2）0a2a20，4a4a20，解得 0a2 22,即满足题意的 a 的取值范围是(0,2 22题型 2能成立问题(1)若在区间 d 上存在实数 x 使不等式 f(x)a 成立,则等价于在区间 d 上的 f(x)maxa；(2)若在区间 d 上存在实数 x 使不等式 f(x)b 成立,则等价于在区间 d 上的 f(x)minb.例 2 若存在 xr,使不等式|x4|x3|a成立,求实数a的取值范围解析：设f(x)|x4|x3|,依题意f(x)的最小值小于a.又f(x)|x4|x3|(x4)(x3)|1(等号成立的

15、条件是 3x4)故f(x)的最小值为 1,a1.即实数a的取值范围是(1,)题型 3恰成立问题(1)若不等式 f(x)a 在区间 d 上恰成立,则等价于不等式 f(x)a 的解集为 d；(2)若不等式 f(x)b 在区间 d 上恰成立,则等价于不等式 f(x)b 的解集为 d.例 4已知函数 y2x2ax10 x24x6的最小值为 1,求实数 a 的取值集合解析：由 y1 即2x2ax10 x24x61x2(a4)x40 恒成立,(a4)2160,解得8a0(必要条件)再由 y1 有解,即2x2ax10 x24x61 有解,即 x2(a4)x40有解,(a4)2160,解得 a8 或 a0.综

16、上即知 a8 或 a0 时,ymin1,故所求实数 a 的取值集合是8,0题型 4利用基本不等式求最值基本不等式通常用来求最值问题：一般用 ab2 ab(a0,b0)解“定积求和,和最小”问题,用 abab22求“定和求积,积最大”问题,一定要注意适用的范围和条件： “一正、二定、三相等”,特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法,构造定值条件的方法,和对等号能否成立的验证若等号不能取到,则应用函数单调性来求最值,还要注意运用基本不等式解决实际问题例 5已知 0 x2,求函数 yx(83x)的最大值解析：0 x2,03x6,83x0,yx(83x)133x(83x)133x83x2

17、2163,当且仅当 3x83x,即 x43时,取等号,当 x43时,yx(83x)有最大值为163.设函数 f(x)x2x1,x0,)求函数 f(x)的最小值解析：f(x)x2x1(x1)2x11,x0,),x10,2x10,x12x12 2.当且仅当 x12x1,即 x 21 时,f(x)取最小值此时 f(x)min2 21.题型 5简单线性规划问题求目标函数在约束条件下的最优解,一般步骤为： 一是寻求约束条件和目标函数,二是作出可行域,三是在可行域内求目标函数的最优解,特别注意目标函数zaxbyc在直线axby0 平移过程中变化的规律和图中直线斜率关系简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛

18、应用也是高考的热点例 6若不等式组x0，x3y4，3xy4所表示的平面区域被直线 ykx43分为面积相等的两部分,则 k 的值是()a.73b.37c.43d.34解析：不等式组表示的平面区域如图所示：由于直线ykx43过定点0，43 ,因此只有直线过ab中点时,直线ykx43能平分平面区域,因为 a(1,1),b(0,4),所以 ab 中点 m12，52 .当 ykx43过点12，52 时,52k243,所以 k73.答案：a题型 6三个二次(二次函数、二次不等式、二次方程)问题一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系将二次函数看作主体,一

19、元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况,一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论,而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象揭示解(集)的几何特征例 7当 m 为何值时,方程 2x24mx3m10 有两个负根？解析：方程 2x24mx3m10 有两个负根,则有（4m）242（3m1）0，ba4m22m0，ca3m120，即m12或 m1，m0，m13.当 mm|13m12或 m1时,原方程有两个负根题型 7不等式与函数的综合问题例 8定义在(1,1)上的奇函数 f(x)在整个定义域上是减函

20、数,且 f(1a)f(1a2)0,求实数 a 的取值范围解析：f(x)的定义域为(1,1),11a1，11a21，0a2， 2a 2且 a0，0a 2,原不等式变形为 f(1a)f(1a2)由于 f(x)为奇函数,有f(1a2)f(a21),f(1a)f(a21)又 f(x)在(1,1)上是减函数,1aa21,解得2a1.由可得 0a1,a 的取值范围是(0,1)题型 8求分式函数的最值例 9求函数 yx43x23x21的最小值解析：y（x42x21）（x21）1x21(x21)1x2112（x21）1x2113,当且仅当 x211x21,即 x211,即 x0 时等号成立题型 9数轴标根法(1)将不等式化为标准形式：一端为 0,另一端为一次因式(因式中 x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积(2)求出各因式为 0 的实数根,并在数轴上标出(3)自最右端上方起,用曲线自右至左,依次由各根穿过数轴,遇奇次重根一次穿过,遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)(4)记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集例 10解不等式(x2)(x1)(x1)(x2)0