liu81向量及其线性运算

1、高高 等等 数数 学学-同济六版下册同济六版下册驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸1. 分析基础分析基础: 函数函数 , 极限极限, 连续连续 2. 微积分学微积分学: 一元微积分一元微积分(上册上册)( (下册下册) )3. 3. 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何4. 4. 无穷级数无穷级数5. 常微分方程常微分方程高等数学主要内容高等数学主要内容多元微积分多元微积分( (下册下册) )( (下册下册) )(上册上册)具体要求：具体要求：1. 1.重视每一节课重视每一节课. .2. 2.注意应用注意应用对比对比的方法学习的方法学习. . 华罗庚：学习数学，不做练习，如入宝山而空返华罗庚

2、：学习数学，不做练习，如入宝山而空返. .3.3.独立独立按时按时完成作业完成作业. .?参考书目：参考书目：5.常见的二次曲面常见的二次曲面及其图形；及其图形；数量关系数量关系 第八章第八章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中在三维空间中: :空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法坐标坐标, ,方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 4.平面、曲面、空间曲线、空间直线 及其方程；1.空间直空间直角坐标系角坐标系2.向量及其向量及其线性运算；线性运算；3.向

3、量的向量的坐标、数坐标、数量积、向量积、向量积；量积；1 1、了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及线、了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及线 段的定比分点公式；段的定比分点公式；2 2、理解向量概念，熟悉单位向量、向量的方向余弦及、理解向量概念，熟悉单位向量、向量的方向余弦及 向量的坐标表示，熟悉向量在空间有向线段上的投向量的坐标表示，熟悉向量在空间有向线段上的投 影与向量的分解；影与向量的分解；3 3、掌握向量的线性运算（加法、减法和向量与数的乘、掌握向量的线性运算（加法、减法和向量与数的乘 法）、数量积（点乘）和向量积（叉乘）；法）、数量积（点乘）和向量积（叉乘）；4 4、熟悉

4、两向量间夹角及两向量平行、垂直的条件；、熟悉两向量间夹角及两向量平行、垂直的条件；5 5、理解曲面方程概念，了解常用二次曲面的方程及其、理解曲面方程概念，了解常用二次曲面的方程及其 图形；图形；基本要求6 6、了解空间曲线方程的概念，熟悉空间曲线的参数方、了解空间曲线方程的概念，熟悉空间曲线的参数方 程及其在坐标面上的投影曲线方程；程及其在坐标面上的投影曲线方程；7 7、熟悉平面的点法式、一般式和截距式方程，了解两、熟悉平面的点法式、一般式和截距式方程，了解两 平面的夹角及平行、垂直的条件；平面的夹角及平行、垂直的条件；8 8、熟悉空间直线的参数式、一般式和对称式方程，熟、熟悉空间直线的参数式

5、、一般式和对称式方程，熟 悉两直线的夹角和平行、垂直的条件，熟悉直线与悉两直线的夹角和平行、垂直的条件，熟悉直线与 平面的夹角、交点和平行、垂直的条件；平面的夹角、交点和平行、垂直的条件；基本要求（续）四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第八八章 8-18-1向量及其线性运算向量及其线性运算表示法表示法:向量的模向量的模 : 向量的大小向量的大小,12,m m 记记作作一、向量的概念一、向量的概

6、念向量向量:(又称又称矢量矢量). 1m2m既有既有大小大小, 又有又有方向方向的量称为向量的量称为向量自由向量自由向量:与起点无关的向量与起点无关的向量.单位向量单位向量: 模为模为 1 的向量的向量,a 记记作作零向量零向量: 模为模为 0 的向量的向量,0 . 记记作作有向线段有向线段 m1 m2 ,.a 或或.ae 或或复习复习, ,.a r f 或或等等以以1m为起点，为起点，2m为终点的有向线段为终点的有向线段.21mm0若向量若向量 a 与与 b大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 记作记作 ab ;相等向量相等向量:相等相等,ab 则则称称 与与负向量：负向量：大小相等但方向

7、相反的向量大小相等但方向相反的向量.aba a设有两非零向量设有两非零向量 ,a b 任取空间一点任取空间一点 o ,称称 =aob (0 ) 为向量为向量 的夹角的夹角. oaa 作作，obb 作作，,a b ),( ,a b 记记作作( , ).b a 或或两向量的夹角两向量的夹角:a oabb (, )a b 规规定定：0 0规定规定: 零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行 ;也可理解为零向量也可理解为零向量这时向量这时向量 a 与与 b 的方向相同或相反的方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行 记作记作若若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上个向量经平移可移到同一平面

8、上 ,则称此则称此 k 个向量个向量共面共面 .平行向量平行向量:垂直向量垂直向量:共面向量共面向量:又称又称 是是共线共线向量向量 a 与与 b ( , )0,a b 若若或或( , ),2a b 若若.ab 则则与与 垂垂直直称称(平行向量可平移到同一直线上平行向量可平移到同一直线上).记作记作ab /ab 与任何向量都垂直与任何向量都垂直.二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:运算规律运算规律 : 交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加 .b a c abc bc a

9、b ab b a b a ab abba ()abc ()abc abc s3a4a5a2a1a12345saaaaa 折线法则折线法则与与 a 的模相同的模相同, 但方向相反的向量称为但方向相反的向量称为 a 的的负向量负向量,记作记作a ;a a2. 向量的减法向量的减法()baba ababa b ba ba 注意注意:首首相接，首首相接， 尾尾相连，尾尾相连，方向指向被减量方向指向被减量.方法：方法：几个向量的和与差几个向量的和与差abba 当当特特别别时时, ,有有aa ()aa 0, 三角不等式三角不等式:ab ,ab ab ,ab 仍是向量仍是向量.a abo 对对于于任任意意向

10、向量量及及点点 ，有有：aobaboboa aboboa 3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数是一个数 , 与与 a 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量, 记作记作.a 0 时时，规定规定 :aa 与与 同同向向，;aa 0, 时时aa 与与 反反向向，;aa 0, 时时0.a 总之总之:aa 1;aa 可见可见1;aa (2)运算律运算律 :结合律结合律()a ()a a ()a ()a a 分配律分配律()a aa ()ab ab (1)定义定义 :0,a 特特若若别别的的：1.aaea 则则 ,aaa e 则则 ) (aae 表表示示与与同同向向的的单单位位向向量量定理定理1.

11、 设设 a 为非零向量为非零向量 , 则则abba ( (存在存在 唯一实数唯一实数 )证证: “ ”.已已知知 ba ，显然显然0, 当当时时0,b 0, 当当时时ab 与与 同同向向0, 当当时时ab 与与 反反向向/ .ab / .ab 证证: “ ”./ ,ab 设设取取 ,ba ab 与与 同同向向时时取取正正号号，反向时取负号反向时取负号,且且则则 b 与与 a 同向同向,a a baa ,b .ba 故故再证数再证数 的唯一性的唯一性 .ba 设设又又有有，( - )a 则则= = 0, 0,a 而而0, 故故. 即即/abba 则则，. 其其中中 是是唯唯一一存存在在的的实实数

12、数定理定理1. 设设 a 为非零向量为非零向量 , 则则abba ( (存在存在 唯一实数唯一实数 )说明：说明：定理定理1是建立数轴的理论依是建立数轴的理论依据据. 我们知道：我们知道：给定一个点及一个单位向量就确定了一条给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴数轴. . xoi pp设设 为为数数轴轴上上的的任任意意一一点点，/ /opi 则则由定理由定理1 1知知: :存在存在 唯一实数唯一实数 x 使使 opx i 于是有于是有: :向量向量 11点点 p实数实数x 11 opx i 结论：结论： pxopx i 数数轴轴上上点点 的的坐坐标标为为i是与是与x轴轴方向一致方向一致的的单

13、位单位向量向量.例例1.设设21,pp为为x轴上坐标为轴上坐标为12,x x的任意两点，的任意两点，又又i 为与为与x轴正向一致的单位向量轴正向一致的单位向量.验证：验证：1221() .ppxx i o解解答答：设设 为为坐坐标标原原点点，1122 opx i opx i 则则，21 x ix i 1221 =ppopop 由由于于21() xxi 回顾平面直角坐标系：回顾平面直角坐标系：xyo2( , )p x y(一一)空间坐标系的建立空间坐标系的建立定义：定义：由原点重合且互相由原点重合且互相垂直的三条数轴垂直的三条数轴(单位一般单位一般一致一致)， 而且三条数轴的正方而且三条数轴的正

14、方向符合向符合右手系右手系. 即构成一个即构成一个空间直角坐标系空间直角坐标系.右手系：右手系：即以右手握住即以右手握住z轴，轴，当右手的四个手指从当右手的四个手指从x轴的正向轴的正向.指向就是指向就是z轴的正向轴的正向以以2 角度转向角度转向y轴的正向轴的正向时时,大拇指的大拇指的三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系xyzoijk基本单位向量基本单位向量：kji,xyozxoy面面yoz面面zox面面x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴) 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴 坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)三个坐标平面将整个空间分成八个部分空间三个坐标平面将整个空间分成八个部

15、分空间空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限我们知道：我们知道：r 任任给给向向量量 ，(二二)点的坐标，向量的坐标点的坐标，向量的坐标.romm 则则对对应应点点使使 xyzormpxqyrzxyzo mxpnyqzrijk则则omnmpnop oroqop xiyjzk ( , , ).x y z,xiy j zrk 称称为为向向量量沿三个坐标轴方向的沿三个坐标轴方向的分向量分向量.结论：结论：在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下向径向径 11点点 m 11rom xiyj zk 有序数组有序数组( , , )x y z也称为点也称为点 m 的的坐标坐标.(., , )x y

16、 zr 称称为为向向径径 的的坐坐标标定义：定义：在空间直角坐标系下，在空间直角坐标系下，( , , )( , , ).rx y zm x y z 记记，作作：说明：说明：( , , ).x y zomm 既既表表示示向向量量又又表表1 1号号示示点点) )记记xyzo ( , , )m x y zxp1myqzrijk111222( , )( , )a x y zb x y z，2 2) )对对于于点点，有有abob oa 222111()xiy jz kxiy jzk 212121()()()xx iyy jzz k (,)xyza a a ab 11(,)xyza a axyz)0 ,

17、0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr), 0(zyb(1)原点原点 o(0,0,0) ;o) 0 ,(yxam), 0 ,(zxc3)一些特殊点的坐标表示一些特殊点的坐标表示:(3)坐标面上的坐标面上的点点.xoy面面0;z yoz面面0;x zox面面0.y (2)坐标轴上的点坐标轴上的点;( , , )x y zx轴轴y轴轴z轴轴0y 0z 0 x 0z 0 x 0y xozxoy面面yoz面面zox面面yxyozxoy面面yoz面面zox面面(4)各卦限坐标的符号：各卦限坐标的符号：(+,+,+), (-,+,+),(-,-,+),(+,-,+),(+,+,-), (-,

18、+,-),(-,-,-),(+,-,-).关于原点：关于原点：(x,y,z)(-x,-y,-z)关于关于xoy面：面：(x,y,z)(-x,-y,z).(x,y,z)(x,y,z)(x,-y,-z),(-x,y,z);(x,-y,z).(x,y,-z)；关于关于yoz面：面：关于关于xoz面：面：关于关于x轴的轴的关于关于y轴的轴的(-x,y,-z),关于关于z轴的轴的(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)(5)点点m(x,y,z)的对称点的对称点思考：思考： 点点m(x,y,z) 到各坐到各坐标轴、坐标面的标轴、坐标面的距离怎么计算？距离怎么计算？xozxoy面面yoz面面zox面面y

19、( , , )m x y z设设( ,)xyzaaaa ( ,)xyzbb b b ),(zzyyxxbababa , kajaiazyx , kbjbibzyx a b 则则kbajbaibazzyyxx)()()( (,).xyzaaa a 是是一一个个实实数数，b a 0,a 当当时时ba xxba yyba zzba xxba yyba zzba1aaea ab ;xxyyzzab ab ab 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例:(,)yzxaaaaaa 例例2. 已知两点已知两点在在ab直线上求一点直线上求一点 m ,

20、 使使解解: 设设 m 的坐标为的坐标为( , , ),x y z如图所示如图所示abmmab111(,),a xyz222(,)b xyz及实数及实数1, 得得.ammb 222(,)xx yy zz 121zzz am mb 111(,)xx yy zz 121212()()()xxxxyyyyzzzz 121xxx 121yyy 说明说明:定比分点公式定比分点公式:121,xx 121,yy 121zz 1, 当当时时点点 m 为为 ab 的中点的中点 ,于是得于是得x x y z 中点坐标公式中点坐标公式:122,xx y 122,yy z 122.zz 111(,),a xyz222

21、(,)b xyz ，若若(1) .ammb ( , , ),m x y z五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222,xyz ( , , ),rx y z 设设rom 222opoqor xoyzmnqrp由勾股定理得由勾股定理得111222(,), (,),a xy zb xyz因因得两点间的距离公式得两点间的距离公式:212121(,),xx yy zz 对两点对两点,omr 作作ab abab 222212121()()() .xxyyzz opx i oqy j orz k 222( ,)| |xyxzyzaa

22、aaaaaa 即即设设，则则解解:则设该点为则设该点为)., 0 , 0(zm依题意有依题意有，mbma 即即222222( 4 0)(1 0)(7)(3 0)(5 0)( 2) ,zz 两边平方，解得：两边平方，解得：,914 z则所求的点为：则所求的点为：).914, 0 , 0(m例例3.在在z轴上求与点轴上求与点)7 , 1 , 4( a和点和点)2, 5 , 3( b等距离的点等距离的点.因为点因为点m在在z轴上，轴上，例例4. 已知两点已知两点(4,0,5)(7,1,3),ab和和求求ab的单位向量的单位向量 e .解解:114 (3,1,2) 312,141414 babae o

23、yzx2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦与三坐标轴的夹角与三坐标轴的夹角 , , rr 称称为其为其方向角方向角.cos xr 222,xxyz 方向角的余弦称为其方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. ( , , )0,rx y z 给给定定定定义义：cos yr 222,yxyz cos zr 222zxyz 222coscoscos1 方向余弦的性质方向余弦的性质:r 与与向向量量 同同向向的的单单位位向向量量(,)rrxyzerrrr (cos,cos,cos ). 例例5.1(2,2, 2)m，2(1,3,0)m，已知已知求求12m m 的模，的模， 方向方向余弦及方向角余弦及方向

24、角.解解:,21cos ,21cos ；22cos ).22,21,21( 12(cos ,cos ,cos )m me )2, 2 , 2()0 , 3 , 1 ( ),2, 1 , 1( ；2 则则方向角方向角分别为：分别为：，32 12m me ？222)2(1) 1( ,3 .43 12m m 21omom 12m m 例例6. 设点设点 a 位于第一卦限位于第一卦限,解解: 已知已知角依次为角依次为 ,3 4求点求点 a 的坐标的坐标 . ,34 则则222cos1 coscos 14 因点因点 a 在第一卦限在第一卦限 , 故故1cos,2 于是于是6( cos, cos, cos

25、 ) (3,3 2,3) 故点故点 a 的坐标为的坐标为 (3,3 2,3).向径向径 oa 与与 x 轴轴 y 轴的夹轴的夹 6,oa 且且oa oaoa e 6( 1,22,21)2(cos ,cos ,cos )oaoaeoa 分分析析：uoa a 3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影e (1) 定义：定义：再过点再过点a作轴作轴 u 的垂直平面与的垂直平面与轴轴u的交点为的交点为，a r 对于给定的对于给定的u轴轴(原点原点o和单位向量和单位向量 )及向量及向量e r roa 作作，.oae 并并设设称为称为点点a在在u轴上的投影轴上的投影.a 则交则交点点oa 称称为为ur 在在 轴

26、轴上上的的分分向向量量; ;ur 称称为为向向量量 在在数数轴轴上上的的投投影影. .ur 是是向向量量 与与 轴轴的的夹夹角角. .pr ( ) .uuj rr 记记作作：或或由此定义知：若由此定义知：若则则),(zyxaaaa prxxaj a ，pryyaj a ，pr.zzaj a , kajaiazyx 故向量的投影与坐标有相同的性质故向量的投影与坐标有相同的性质.(2)投影性质投影性质pr|cosuj aa 如图：如图：一般地：一般地： ajbpr bjapruoa 1au 性性质质：向向量量 在在 轴轴上上的的投投影影等等于于向量的模向量的模乘以轴与乘以轴与向量的向量的夹角的余弦

27、夹角的余弦，即，即ab cos,aa b ，cos,.ba b ab a uab ba 性质性质1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；(4) 相等向量相等向量在同一轴上在同一轴上投影相等投影相等.(1) 02 时时，(2)2 时时，(3),2 时时pr|cosuj aa uabc性质性质2： )(pr21aaju(可推广到有限多个可推广到有限多个) 1pr aju.pr2ajupr ()uja pruj a 性质性质3：( ( 为实数为实数) ) (,)rrxyzerrrr (cos,cos,cos ). 设立方体的一条对角线为设立方体的一条对角线为om

28、, 一条棱为一条棱为 oa, 且且 ,oaa 求求oa 在在 om 方向上的投影方向上的投影. 解：解： 如图所示如图所示, 记记 moa = , cos aomoaom13 3a aprjcosomoaoa 例例7.内容小结内容小结1.向量的概念向量的概念 及其线性运算的定义及其线性运算的定义 2.向量坐标及利用向量坐标作向量的线性运算向量坐标及利用向量坐标作向量的线性运算 设设11112222(,),(,)mxy zmxyz ，则则12m m 212121(,).xx yy zz 3.重要结论重要结论ab/ 唯一唯一的实数的实数， 使使. ab .ab 与与 同同向向或或反反向向yzxxyzaaabbb 平行向量平行向量 1111,omx y z aaa 0单位向量单位向量)