9函数的连续性与间断点

1、二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第七节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 第二章 可见可见 , 函数函数)(xf在点在点0 x一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:)(xfy 在在0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;且且有定义有定义 ,存在存在

2、 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 continue)()(lim, ),(000 xpxpxxx若若)(xf在开区间内每一点都连续在开区间内每一点都连续 , 则称它在该区间内则称它在该区间内连续连续 , 或称它为该区间内的或称它为该区间内的连续函数连续函数 .例如例如,nnxaxaaxp10)(在在),(内连续内连续 .( 有理整函数有理整函数 )又如又如, 有理分式函数有理分式函数)()()(xqxpxr在其定义域内连续在其定义域内连续.只要只要,0)(0 xq都有都有)()(lim00 xrxrxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 对自变量的增量对自变量的增量,0 xxx有有函数的

3、增量函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续左连续右连续右连续,0,0当xxx0时, 有yxfxf)()(0函数函数0 x)(xf在点在点连续有下列连续有下列等价命题等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明函数证明函数xysin在在),(内连续内连续 .证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx这说明这说明xysin在在),

4、(内连续内连续 .同样可证同样可证: 函数函数xycos在在),(内连续内连续 .0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明指数函数证明指数函数 y = ex 的连续性的连续性. 先证先证 即即 y = ex 在在x = 0点连续。点连续。001limeexx再证再证00limxxxxee 即即y = ex在在x = x0 处连续处连续 .函数函数)(xfy 在闭区间在闭区间 a , b 上连续，指的是：上连续，指的是：函数函数)(xfy 在开区间在开区间 ( a , b ) 内连续，且在区间内连续，且在区间左端点右连续，在区间右端点左连续左端点右连续，在区间右端点左连续 .在在在在

5、二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数函数)(xf0 x(2) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx 不连续不连续 (称为间断称为间断) :0 x设设0 x在点在点)(xf的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,则下列情形则下列情形这样的点这样的点0 x之一之一函数函数 f (x) 在点在点虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类间断点分类: :第一类间断点

6、第一类间断点:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若称称0 x, )()(00 xfxf若若称称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及及)(0 xf中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称0 x若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 ,称称0 x若其中有一个为若其中有一个为,为为可去间断点可去间断点 .为为跳跃间断点跳跃间断点 .为为无穷间断点无穷间断点 .为为振荡间断点振荡间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 xytan) 1 (2x为其无穷间断点为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点为可去

7、间断点 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 1 (1)(lim1fxfx显然显然1x为其可去间断点为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点为其跳跃间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续左连续右连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点

8、跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 讨论函数讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点 .间断点的类型间断点的类型.2. 设设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf为为连续函数连续函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案: x = 1 是第一类可去间

9、断点是第一类可去间断点 ,思考题思考题 确定函数确定函数间断点的类型间断点的类型.xxexf111)(解解: 间断点间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故故1x为跳跃间断点为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题 试分别举出具有以下性质的函数的例子试分别举出具有以下性质的函数的例子:)(,1,21,2, 1,0) 1 (xfnnx是的所有间断点的所有间断点,且它们都是无穷间断点且它们都是无穷间断点;)(,)()2(上处处连续在但上处处不连续在r

10、xfrxf.,)()3(但仅在一点连续上处处有定义在rxfxxxfsin1sin1)() 1 (提示提示:)()2(xf,1,1有理点x无理点xxyo11)()3(xf,x,x有理点x无理点xxyo思考题思考题 设函数设函数),()(, )(在xxf有定义有定义,0)(xf为连续函数为连续函数,.)(有间断点x?定有间断点则以下函数中哪一个一. )(/ )(;)(; )(;)(2xfxxfxxf提示提示:设设)()()()(lim, )()(lim00000 xfxxfxxxxxxx则间断间断. 1)(,0101)(2xxfxxx.2)(,1)(,1)(2都连续则xfxxf备用题备用题 设函数设函数, )(0点连续在xxxf证明证明点