高二数学椭圆的第二定义

1、高二数学椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精讲一. 本周教学内容： 椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识点 1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 注意： e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。 2. 焦半径及焦半径公式： 椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。 3. 椭圆参数方程 问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BNAN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转

2、时点M的轨迹的参数方程。 解：参数。 说明：<1> 对上述方程（1）消参即 <2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。 4. 补充 5. 直线与椭圆位置关系： （1）相离 求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'l且l'与椭圆相切） 关于直线的对称椭圆。 （2）相切 弦长公式： 例1. |MA|2|MF|取最小值时，求点M的坐标。 分析： 这里|MP|、|AP|分别表示点A到准线的距离和点M到准线的距离。 解： 例2. 时，点P横坐标的取值范围是_。（2000年

3、全国高考题） 分析：可先求F1PF290°时，P点的横坐标。 解：法一 法二 小结：本题考查椭圆的方程、焦半径公式，三角函数，解不等式知识及推理、计算能力。 例3. 弦所在的直线方程。 分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。 解：法一 法二 法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），由于中点为M（2，1）， 法四 例4. 的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？ 解：法一 法二 例5. （2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形ABCD的最大面积。 分析：题（1）解题思路

4、比较多。法一：可从椭圆方程中求出y2代入x2+y2，转化为值，解题时可结合图形思考。得最大值为25，最小值为16。 题（2）可将四边形ABCD的面积分为两个三角形的面积求解，由于AC是定线段，故长度已定，则当点B、点D到AC所在直线距离最大时，两个三角形的面积最大，此时 解： （2）由题意得A（5，0），C（0，4），则直线AC方程为：4x5y20 例6. 分线与x轴相交于点P（x0，0）。 （1992年全国高考题） 分析： 证明：法一 法二 法三 这种解题方法通常叫做“端点参数法”或叫做“设而不求”。 例7. 解法一：设椭圆的参数方程为 解法二： 小结：椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具

5、，但不是所有与椭圆有关的问题必须用参数方程来解决。【模拟试题】 1. 已知椭圆的焦点坐标是是椭圆上的任一点，求证：率。 2. 在椭圆上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。 3. 椭圆的长轴长是_。 4. 椭圆，离心率，焦点到椭圆上点的最短距离为，求椭圆的方程。 5. 已知椭圆的一个焦点是F（1，1），与它相对应的准线是，离心率为，求椭圆的方程。 6. 已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围。 7. 在椭圆内有一点A（2，1），过点A的直线l的斜率为1，且与椭圆交于B、C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆方程。 8. 已知椭圆，在椭圆上求一点M，使它到两焦点距离之积

6、为16。 9. 如图，已知曲线，点A在曲线上移动，点C（6，4），以AC为对角线作矩形ABCD，使ABx轴，ADy轴，求矩形ABCD的面积最小时点A坐标。参考答案 1. 证明：的两焦点，相应的准线方程分别是。 椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率， 。 化简得。 点评：都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦半径，称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远（近）点为长轴端点。 2. 解：设P点的坐标为（x，y），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点。 椭圆的准线方程为， 因此，P点的坐标为。 点评：解决椭圆上的点到两焦点的距离（焦半径）问题，常利用椭圆的第二定义或焦半径公式。如果利用焦半径公式，应先利用第二定义证明焦半径公式。 3. 解析：椭圆的方程可写成 ， 一个焦点是（1，1），相对应的准线方程是， 由、得。 4. 解：椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短， 又， 椭圆的方程为 5. 解：设P（x，y）为椭圆上任意一点， 椭圆的一个焦点是F（1，1）， 与它相对应的准线是，离心率为， ， 即为所求。 6. 解：设P，椭圆的准线方程为，不妨设F1、F2分别为下焦点、上焦点 则 ， 当时， 当 因此，的取值