人教a版必修5学案：2.3等差数列的前n项和2含答案

1、人教版高中数学必修精品教学资料2.3等差数列的前n项和(二)自主学习 知识梳理1前n项和sn与an之间的关系对任意数列an,sn是前n项和,sn与an的关系可以表示为an2等差数列前n项和公式sn_.3等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中当a1>0,d<0时,sn有_值,使sn取到最值的n可由不等式组_确定；当a1<0,d>0时,sn有_值,使sn取到最值的n可由不等式组_确定(2)因为snn2n,若d0,则从二次函数的角度看：当d>0时,sn有_值；当d<0时,sn有_值；且n取最接近对称轴的自然数时,sn取到最值4一个有用的结论：若snan2bn

2、,则数列an是等差数列反之亦然 自主探究在等差数列an中,an2n14,试用两种方法求该数列前n项和sn的最值对点讲练知识点一已知前n项和sn,求an例1已知数列an的前n项和为sn,且sn2n23n,求通项公式an.总结已知前n项和sn求通项an,先由n1时,a1s1求得a1,再由n2时,ansnsn1求an,最后验证a1是否符合an,若符合则统一用一个解析式表示变式训练1已知数列an的前n项和sn3nb,求an.知识点二等差数列前n项和最值问题例2在等差数列an中,a125,s17s9,求sn的最大值总结在等差数列中,求sn的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)

3、值或零,而它后面的各项皆取负(正)值,则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)由于sn为关于n的二次函数,也可借助二次函数的图象或性质求解变式训练2等差数列an中,a1<0,s9s12,该数列前多少项的和最小？知识点三已知an为等差数列,求|an|的前n项和例3已知等差数列an中,记sn是它的前n项和,若s216,s424,求数列|an|的前n项和tn.总结等差数列an前n项的绝对值之和,由绝对值的意义,应首先分清这个数列的哪些项是负的,哪些项是非负的,然后再分段求出前n项的绝对值之和变式训练3数列an中,a18,a42,且满足an22an1an0 (nn*)(1)求数列an的通项公式；

4、(2)设sn|a1|a2|an|,求sn.1公式ansnsn1并非对所有的nn*都成立,而只对n2的正整数才成立由sn求通项公式anf(n)时,要分n1和n2两种情况分别计算,然后验证两种情况可否用统一解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示2求等差数列前n项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值,但要注意nn*,结合二次函数图象的对称性来确定n的值,更加直观(2)通项法：当a1>0,d<0,时,sn取得最大值；当a1<0,d>0,时,sn取得最小值3求等差数列an前n项的绝对值之和,关键是找到数列an的正负项的分界点. 课时作业一、选择

5、题1设数列an是等差数列,且a28,a155,sn是数列an的前n项和,则()as9<s10 bs9s10cs11<s10 ds11s102已知数列an的前n项和snn29n,第k项满足5<ak<8,则k为()a9 b8 c7 d63设sn是等差数列an的前n项和,若,则等于()a. b. c. d.4数列an的前n项和sn3n2n2 (nn*),则当n2时,下列不等式成立的是()asn>na1>nan bsn>nan>na1cna1>sn>nan dnan>sn>na1 5设an是等差数列,sn是其前n项和,且s5<

6、;s6,s6s7>s8,则下列结论错误的是()ad<0ba70cs9>s5ds6与s7均为sn的最大值题号12345答案二、填空题6数列an的前n项和为sn,且snn2n(nn*),则通项an_.7等差数列an中,|a3|a9|,公差d<0,则使前n项和sn取得最大值的自然数n是_8在等差数列an中,已知前三项和为15,最后三项和为78,所有项和为155,则项数n_.三、解答题9已知f(x)x22(n1)xn25n7(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列an,求证：an为等差数列；(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成bn,求bn的前n项和10设等差数列an

7、的前n项和为sn,已知a312,且s12>0,s13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大,并说明理由§2.3等差数列的前n项和(二)知识梳理1s1snsn12.na1d3(1)最大最小(2)最小最大自主探究解方法一an2n14,a112,d2.a1<a2<<a6<a70<a8<a9<.当n6或n7时,sn取到最小值易求s742,(sn)min42.方法二an2n14,a112.snn213n2.当n6或n7时,sn最小,且(sn)min42.对点讲练例1解当n1时,a1s11,当n2时,ansnsn14n5.又a11

8、,适合an4n5,an4n5 (nn*)变式训练1解当n1时,a1s13b.n2时,ansnsn12·3n1.因此,当b1时,a12适合an2·3n1,an2·3n1.当b1时,a13b不适合an2·3n1,an.综上可知,当b1时,an2·3n1；当b1时,an.例2解方法一利用前n项和公式和二次函数性质由s17s9,得25×17×(171)d25×9×(91)d,解得d2,所以sn25n(n1)(2)(n13)2169,由二次函数性质可知,当n13时,sn有最大值169.方法二先求出d2,因为a125

9、>0,由得所以当n13时,sn有最大值s1325×13×(2)169.因此sn的最大值为169.方法三由s17s9,得a10a11a170,而a10a17a11a16a12a15a13a14,故a13a140.由方法一知d2<0,又因为a1>0,所以a13>0,a14<0,故当n13时,sn有最大值s1325×13×(2)169.因此sn的最大值为169.变式训练2解方法一由s9s12,得da1,由,得,解得10n11.当n为10或11时,sn取最小值,该数列前10项或前11项的和最小方法二由s9s12,得da1,由snna

10、1dn2n,得sn·n2·n2a1 (a1<0),由二次函数性质可知n10.5时,sn最小但nn*,故n10或11时sn取得最小值所以该数列前10项或者前11项的和最小例3解由s216,s424,得即解得所以等差数列an的通项公式为an112n (nn*)(1)当n5时,tn|a1|a2|an|a1a2ansnn210n.(2)当n6时,tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7an2s5sn2×(5210×5)(n210n)n210n50,故tn变式训练3解(1)an22an1an0.an2an1an1ana2a1.an是等差数列且a18,a4

11、2,d2,ana1(n1)d102n.(2)tna1a2an9nn2.an102n,令an0,得n5.当n>5时,an<0；当n5时,an0；当n<5时,an>0.当n6时,sn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)t5(tnt5)2t5tn2×(9×525)9nn2n29n40,当n5时,sn|a1|a2|an|a1a2antn9nn2.snnn*.课时作业1b由已知得d1,a19,a10a19d0,s10s9a10s9.2b由an,an2n10.由5<2k10<8,得：7.5<k<9,k8.3a方法一,a12d,

12、.方法二由,得s63s3.s3,s6s3,s9s6,s12s9仍然是等差数列,公差为(s6s3)s3s3,从而s9s6s32s33s3s96s3,s12s9s33s34s3s1210s3,所以.4c由an,解得an54n.a154×11,na1n,nan5n4n2,na1snn(3n2n2)2n22n2n(n1)>0.snnan3n2n2(5n4n2)2n22n>0.na1>sn>nan.5c由s5<s6,得a6s6s5>0.又s6s7a70.由s7>s8a8<0,因此,s9s5a6a7a8a92(a7a8)<0.62n275或6解析d<0,|a3|a9|,a3>0,a9<0且a3a90,a60,a1>a2>>a5>0,a60,0>a7>a8>.当n5或6时,sn取到最大值810解析由已知,a1a2a315,anan1an278,两式相加,得(a1an)(a2an1)(a3an2)93,即a1an31.由sn155,得n10.9(1)证明f(x)x(n1)23n8,an3n8,an1an3,an为等差数列(2)