高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程课时作业 新人教A版选修11

1、2.3.1抛物线及其标准方程【选题明细表】知识点、方法题号待定系数法求抛物线的标准方程3,8抛物线的焦点与准线2抛物线定义及其应用1,4,5,6抛物线的实际应用7综合应用9,10,11,12,13【基础巩固】1.若a是定直线l外一定点,则过点a且与直线l相切的圆的圆心轨迹为(d)(a)直线(b)椭圆(c)线段(d)抛物线解析:因为圆过点a,所以圆心到a的距离为圆的半径;又圆与直线相切,所以圆心到直线的距离也等于圆的半径,且点a是定直线l外一定点,故圆心的轨迹为抛物线.故选d.2.如果抛物线y2=2px的准线是直线x=-2,那么它的焦点坐标为(b)(a)(1,0)(b)(2,0)(c)(3,0)

2、(d)(-1,0)解析:因为准线方程为x=-2=-,所以焦点为(,0),即(2,0).故选b.3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是(d)(a)y=-3x2 (b)y2=9x(c)y2=-9x或y=3x2(d)y=-3x2或y2=9x解析:由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x轴上时设抛物线的方程是y2=ax,将(1,-3)代入得a=9,所以方程为y2=9x,当焦点在y轴上时设抛物线的方程是x2=my,将(1,-3)代入得m=-,所以方程为y=-3x2.故选d.4.(2018·南昌高二月考)已知p(8,a)在抛物线y2=4px上

3、,且p到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为(b)(a)2(b)4(c)8(d)16解析:根据题意可知,p点到准线的距离为8+p=10,可得p=2,所以焦点到准线的距离为2p=4,选b.5.(2017·海南高二期中)过点f(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是(d)(a)y2=12x (b)y2=-12x(c)x2=-12y(d)x2=12y解析:由已知条件知动圆圆心轨迹是以点f(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.故选d.6.(2016·泉州南安三中期中)已知点p是抛物线y2=2x上的一个动点,则点p到点a(0,2)的距离

4、与p到该抛物线准线的距离之和的最小值为(a)(a)(b)3(c)(d)解析:依题设p在抛物线准线的投影为p,抛物线的焦点为f,则f(,0),依抛物线的定义知p到该抛物线准线的距离为|pp|=|pf|,则点p到点a(0,2)的距离与p到该抛物线准线的距离之和d=|pf|+|pa|af|=.故选a.7. (2018·贵阳高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米. 解析:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系(图略),设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,抛物线方

5、程为x2=-2y.当y=-3时,x2=6,解得x=±.所以水面宽为2米.答案:28.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点m(-3,m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m值;(2)求抛物线的焦点和准线方程.解:(1)因为点(-3,m)在y轴左侧,抛物线焦点在x轴上,所以抛物线开口向左.设方程为y2=-2px(p>0),因为m到焦点的距离为5,所以3+=5,所以p=4.所以抛物线的方程为y2=-8x.把点m(-3,m)代入抛物线方程得m2=24.所以m=±2.(2)抛物线的焦点为(-2,0),准线方程为x=2.【能力提升】9.(2018·杭州高二质检)已

6、知抛物线c:y2=8x的焦点为f,准线为l,p是l上一点,q是直线pf与c的一个交点,若=4,则|qf|等于(c)(a)(b)(c)3(d)2解析:过点q作qql交l于点q,因为=4,所以|pq|pf|=34,又焦点f到准线l的距离为4,所以|qf|=|qq|=3.故选c.10.(2017·衡水金卷)已知抛物线y2=4x,过点p(4,0)的直线与抛物线相交于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,则+的最小值为(d)(a)12(b)24(c)16(d)32解析:当直线的斜率不存在时,其方程为x=4,由得y1=-4,y2=4,所以+=32.当直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-4)

7、,由得ky2-4y-16k=0,所以y1+y2=,y1y2=-16,所以+=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32,综上可知,+32.所以+的最小值为32.故选d.11.(2018·成都诊断)已知抛物线方程为y2=-4x,直线l的方程为2x+y-4=0,在抛物线上有一动点a,点a到y轴的距离为m,到直线l的距离为n,则m+n的最小值为. 解析:如图,过a作ahl,an垂直于抛物线的准线,则|ah|+|an|=m+n+1,连接af,则|af|+|ah|=m+n+1,由平面几何知识,知当a,f,h三点共线时,|af|+|ah|=m+n+1取得最小值,最小值为f到直线l

8、的距离,即=,即m+n的最小值为-1.答案:-112.(2017·孝感高二期中)已知抛物线c:y2=2px(p>0)的准线是直线l:x=-2,焦点是f.(1)求抛物线c的方程;(2)若l与x轴交于点a,点m在抛物线c上,且m到焦点f的距离为8,求afm的面积s.解:(1)由已知得-=-2,所以p=4,所以抛物线c的方程是y2=8x.(2)由已知得a(-2,0),f(2,0),所以|af|=4,设抛物线上的点m(x0,y0),由抛物线的定义知|mf|=x0+=x0+2=8,所以x0=6,代入y2=8x,得=8×6=48,所以|y0|=4,所以s=|af|y0|=

9、5;4×4=8.【探究创新】13.(2018·沈阳高二质检)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-=1(a>0,b>0)交于a,b两点,点f为抛物线的焦点,若fab为直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是. 解析:抛物线焦点f(1,0),由题意0<a<1,且afb=90°并被x轴平分,所以点(-1,2)在双曲线上,得-=1,即b2=c2-a2,即c2=+a2=,所以e2=1+,因为0<a<1,所以e2>5,故e>.答案:(,+)6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd81