(解答稿)一元二次方程根的判别式和根与系数关系

1、学习必备欢迎下载一元二次方程根的判别式和根与系数关系例 1.已知三个关于x的 方 程 ： x 2xm0 ， (m -1)x 22x 1 0 ，(m - 2)x 22x10 ，若其中至少有两个方程有实根，则m 的取值范围是 _.分析：0m10 m 2 ，0m 11，234例 2.已知方程 x 2ax3 - b0 有两个不相等的实数根，x 2(6 a)x6b 0 有两个相等的实数根，x 2(4 - a)x5b0 没有实数根，求a， b 的取值范围。分析：1a24(3b)0a24b1202(6a)24(6b)0a24b12a - 123( 4a) 24(5b)0a24b8a40 由以上三式求得2&l

2、t;a<4而 b1 a23a31( a6) 26 ，所以 2<b<544例 3.已知 p， q 是方程 x 27x80的两根，且 p<q ，不解方程，求23q2 的值。p分析：设 A= 23q 2 ，B=23p 2pqpq7117由韦达定理知pq8pq8，则易得p2q227因此 A+B=223( p2q 2 )1003 ， A-B=223(q 2p2 )8517pq4pq4所以 A= 1 (40385 17)8学习必备欢迎下载例 4.设实数s，t 分别满足 19s299s10， t 299t190，并且st 1 ，求 st4s 1 的值。t(1) 299(1) 191

3、、t 是一分析：因 s 0，故第一个方程可变形为0又因为 st 1，所以ss11s元 二 次 方 程 x 299x 190的两个不同实根，则t99 ，t19，即st4s 199s4sssst 199s， t=19s.故t19s5例 5.设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根。（ 1）若，求的值。（ 2）求的最大值。解：因为方程有两个不相等的实数根，所以，。根据题设，有。（ 1）因为，即。由于，故。学习必备欢迎下载（ 2）。设上是递减的，所以当时，取最大值 10。故的最大值为 10。部分优秀试题：1.（ 98 年全国）设抛物线y x 22a 1 x 2a5的图象与 x 轴只有一个交

4、点， （ 1）求 a4的值；（ 2）求 a18323a6 的值。分析： (1) 因为抛物线与x 轴只有一个交点，所以一元二次方程有两个相等的实根，于是学习必备欢迎下载(2) 由 (1) 知， a2=a 1，反复利用此式可得a4=(a 1) 2=a22a+1=3a+2，a8=(3a 2) 2=9a212a4=21a13，a16=(21a+13) 2=441a2546a169 987a610，a18(987a610)(a 1) 987a21597a610=2584a1597又因为 a2 -a-1=0 ，所以 64a2-64a-65=-1 ，即(8a+5)(8a-13)=-1所以a18323a6=2

5、584a1597323(-8a 13)=5796学习必备欢迎下载2（.04 全国）实数 x、y、z 满足 x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则 z 的最大值是.答： 133解： xy5z ， xy3z( xy)3z(5z)z25z3， x、y 是关于 t 的一元二次方程t 2(5z)tz 25z30的两实根 .(5z)24(z253) 0，即z3z 210 z13 0 ， (3z 13)( z 1) 0 . z13 ，当 xy1 时， z13 .333故 z 的最大值为 13 .3学习必备欢迎下载3（. 05 全国）已知 p，q 都是质数，且使得关于 x 的二次方程 x2(8p10q)x5pq=0至少有一个正整数根，求所有的质数对 (p，q).学习必备欢迎下载4. （ 06 浙江）已知a， b， c 都是整数，且 a2b4 ，abc210，求 abc 的值解： 将 a42b 代入 abc21 0 ，得 2b2+4b+c21=0， 2 分 b262c 22 分2只能取 b10,b20,b32,b42,， 4 分 b， c 都是整数，c11;c21;c31;c41相对应 a1=4， a2=4， a3=， a4=0故所求 abc 的值有 4 个： 5，3，1，3 4 分5浙江）现有a 根长度相同的火柴棒，按如图1 摆放可摆成m 个正方形，按如图2