ch8-3相平面法

1、自动控制原理自动控制原理第第8章非线性系统分析章非线性系统分析8-3相平面分析法一、相平面的基本概念二、相轨迹绘制的等倾线法三、线性系统的相轨迹四、奇点和奇线五、非线性系统的相平面分析自动控制原理自动控制原理第第8章非线性系统分析章非线性系统分析).( xxfx x xx ,xx ,xx ,x21222212 , xxxxxxxxxnn则有,为系统的两个状态变量 令0kxx fxm 02 2xxxnn 自动控制原理自动控制原理第第8章非线性系统分析章非线性系统分析0 xxx dtxdx 11xddtdtxdx dxxddtdxdtxdx dxxdxdxxddtdxdtxdx 00 xxxx 0

2、0 xxxx 0)( xxxx 0)( xxxx 0 xxxxdxxd0 xxxxdxxd0 xxxxdxxd0 xxxxdxxd0 xxx 第第一一个新思想是个新思想是dxxdxx 第第二二个新思想是个新思想是令令dxxd 为常数为常数xx11 x xx11 x 是相轨迹斜率是相轨迹斜率是等倾线斜率是等倾线斜率xx11 x xx11 x 0 x0 x11 :0 xxx :0 xxx 556120 10355254345838475232323355331616131533511 556120 103552543458384752323233553316161315335xx 0:0 x:0

3、xxx xx 注意注意这这两条线两条线xx 0:0 x:0 xxx xx 0 x叫开关线叫开关线自动控制原理自动控制原理第第8章非线性系统分析章非线性系统分析注意事项比例尺要相同和）坐标轴xx1走向自左向右）上半平面,x02 走向自右向左下半平面,x0 轴相轨迹垂直经过）除平衡点外x,3相轨迹越准确）等倾线越密,4自动控制原理自动控制原理第第8章非线性系统分析章非线性系统分析它表示系统的平衡状态的点称为奇点,具有002122,xxfx ,x相轨迹的斜率方程 则上式改写为若令 则得,上式等号两边同除以 令22112210 x,xxf-dxdx , xx,xxxxx,f-dtxd dtdxxxx,

4、-fdtxd xx,fx 自动控制原理自动控制原理第第8章非线性系统分析章非线性系统分析22222 0 ,Axxxdxxdxdxxdxx 积分 则上式变为因为0 2xx 22222112Axx , xx,xx 则得若令自动控制原理自动控制原理第第8章非线性系统分析章非线性系统分析（1）无阻尼运动相轨迹方程为：02 2xxxnn )0(22002nxAx其中相轨迹如图所示，在相平面上是为一族同心的椭圆。 每个椭圆相当于一个简谐振动。2222( )( )nx tx tA自动控制原理自动控制原理第第8章非线性系统分析章非线性系统分析图 系统无阻尼运动时的相轨迹n相轨迹的方向如图中箭头所示。n相轨迹垂

5、直穿过横轴。n坐标原点处相轨迹的斜率不能由该点的坐标唯一地确定，这种点叫做奇奇点点。图 的奇点(0,0)通常称为 中心中心 自动控制原理自动控制原理第第8章非线性系统分析章非线性系统分析（2）欠阻尼运动02 2xxxnn 10其中22000ndxxAx000ndxxarctgx ( )sin()ntdx tAet方程的解为自动控制原理自动控制原理第第8章非线性系统分析章非线性系统分析 相轨迹如图所示。从图中可以看出，欠阻尼系统不管初始状态如何，它经过衰减振荡，最后趋向于平衡状态。坐标原点是一个奇点，它附近的相轨迹是收敛于它的对数螺旋线，这种奇点称为 稳定的焦点稳定的焦点。图 系统欠阻尼运动时的

6、相轨迹自动控制原理自动控制原理第第8章非线性系统分析章非线性系统分析（3）过阻尼运动 这时方程的解为 02 2xxxnn 11212( )q tq tx tAeA e002112xxA001212xxA121 122( )q tq tx tAq eA q e 相轨迹如图所示相轨迹如图所示 。自动控制原理自动控制原理第第8章非线性系统分析章非线性系统分析图图 过阻尼时的相轨迹过阻尼时的相轨迹图 过阻尼运动的时间响应坐标原点是一个奇点，这种奇点称为 稳定的节点稳定的节点。 自动控制原理自动控制原理第第8章非线性系统分析章非线性系统分析（4）负阻尼运动 相轨迹图如图所示，此时相轨迹仍是对数螺旋线，但

7、相轨迹的运动方向与欠阻尼图不同，随着 t 的增长，运动过程是振荡发散的。这种奇点称为 不稳定的焦点不稳定的焦点 。02 2xxxnn 01图自动控制原理自动控制原理第第8章非线性系统分析章非线性系统分析 系统的相轨迹图如图所示，奇点称为不稳定的节点不稳定的节点。1图不稳定不稳定（5）负阻尼运动自动控制原理自动控制原理第第8章非线性系统分析章非线性系统分析 此时相轨迹如图所示。奇点称为 鞍点鞍点 该奇点是不稳定的 。022xxxnn 图 斥力系统的相轨迹（6）符号相反的负实根线性系统相轨迹线性系统相轨迹(补充补充)MATLAB绘制绘制相轨迹相轨迹( (补充补充) )线性系统特征根与相轨迹线性系统特征根与相轨迹j j0 0j j0 0j j0 0节点节点稳定焦点稳定焦点中心中心不稳定节点不稳定节点不稳定焦点不稳定焦点鞍点鞍点 1j0 2j021j j0 01 12 2四、奇点与奇线的点称为奇点满足00 dxxd不定奇点处相轨迹切线斜率交奇点处有多条相轨迹相奇点有虚实之分为奇线动特点区域的相轨迹称将相平面划分为不同运常见的奇线是极限环五、相平面分析的相轨迹02502 xxx.x e开关线迹