向量共线问题证明共线问题常用方法

1、 向量的共线问题向量的共线问题 证明共线问题常用的方法证明共线问题常用的方法. .（1 1）向量）向量 共线共线 存在唯一实数存在唯一实数,使使(2)(2)向量向量 =(x=(x1 1,y,y1 1), ), =(x=(x2 2,y,y2 2) )共线共线 x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0;=0;(3)(3)向量向量 与与 共线共线(4)(4)向量向量 与与 共线共线 存在不全为零的实数存在不全为零的实数1 1,2 2，使，使a b a0) 、 （ba; ababa ba b ; ab12ab0.【例例1 1】已知已知A(-1,1),B(1,5),C(-2,-5),D(4

2、,7),A(-1,1),B(1,5),C(-2,-5),D(4,7),试判断两线试判断两线段段 是否共线？是否共线？【审题指导审题指导】题目中给出了四个点的坐标，由此可得两向量题目中给出了四个点的坐标，由此可得两向量 的坐标表示的坐标表示. .要判断要判断 是否共线，首先看是否是否共线，首先看是否满足满足 ，再说明线段，再说明线段ABAB与与CDCD是否有公共点是否有公共点. .ABCD 与ABCD 和ABCD 与ABCD 【规范解答规范解答】 =(2,4), =(2,4), =(-1,-6),=(-1,-6),-1-14-(-6)4-(-6)2=-4+12=80.2=-4+12=80. 不共

3、线，即点不共线，即点C C不在直线不在直线ABAB上，同理点上，同理点D D也不在直也不在直线线ABAB上，直线上，直线ABAB与与CDCD不共线，即线段不共线，即线段ABAB与与CDCD不共线不共线. .AB AC ABAC 与【例例2 2】已知已知 =(1,2),=(1,2), =(-3,2).=(-3,2).若若平行，求实数平行，求实数k k的值的值. .【审题指导审题指导】本题考查由两向量的共线求参数的问题，要求本题考查由两向量的共线求参数的问题，要求学生熟练掌握两向量共线的条件学生熟练掌握两向量共线的条件. .通过两向量共线可得坐标的通过两向量共线可得坐标的关系，列出等式，求得参数的

4、值关系，列出等式，求得参数的值. .abka2b2a4b与【规范解答规范解答】方法一：向量方法一：向量 平行，则存在唯平行，则存在唯一实数一实数，使，使 =k(1,2)+2(-3,2)=k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4).=(k-6,2k+4). =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),(k-6,2k+4)=(14,-4).(k-6,2k+4)=(14,-4).即实数即实数k k的值为的值为-1.-1.ka2b2a4b与ka2b2a4b . ka2b2a4b1k614 ,22k44 ,k1. 解得方法二：方法二： =k(1

5、,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4),=k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4), =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4), 平行，平行，（k-6k-6）(-4)-(2k+4)(-4)-(2k+4)14=0.14=0.解得解得k=-1.k=-1.ka2b2a4bka2b2a4b与 向量的夹角和垂直问题向量的夹角和垂直问题1.1.两向量的夹角公式两向量的夹角公式. .非零向量非零向量 =(x=(x1 1,y,y1 1),), =(x=(x2 2，y y2 2) )的夹角为的夹角为，则有，则有2.2.两向量垂直的条件两向量垂

6、直的条件. .ab121222221122x xy ya bcos.a bxyxy 1212aba b0 x xy y0. 要分清两向量垂直的条件和两向量平行的条件要分清两向量垂直的条件和两向量平行的条件坐标表示的区别坐标表示的区别. .【例例3 3】设两个向量设两个向量 ，满足，满足 |=2,|=2,| |=1,|=1, 的夹角为的夹角为 ，若向量，若向量 的夹角为钝角，求实数的夹角为钝角，求实数t t的范围的范围. .【审题指导审题指导】题目中给出向量的夹角以及题目中给出向量的夹角以及 =2=2和和| | |=1|=1等条件，由公式等条件，由公式cos=cos= 可得可得若为钝角，则若为钝

7、角，则coscos0 0且且cos-1cos-1，即，即 0.0.同时也应注意向量的共线反向这同时也应注意向量的共线反向这一情况一情况. .12ee 与1e2e 12ee 与312122te7eete 与1e2e a bab a b 【规范解答规范解答】由已知由已知为钝角，为钝角，2t2t2 2+15t+70,+15t+70,得得-7t-7t . .又由又由tt的取值范围是（的取值范围是（-7-7， ）( ( , , ).).1212e ee e cos13 ，222121211222(2te7e ) (ete )2te2t7 ee7te2t15t7. 1212122te7eete,(0) 2

8、t14,t.7t2 14212142【例例4 4】求证：求证：ABCABC的三条高线交于一点的三条高线交于一点. .【审题指导审题指导】证明本题的关键是先找出其中两条高线的交点，证明本题的关键是先找出其中两条高线的交点，然后让另一个顶点与该点的连线与其对边垂直然后让另一个顶点与该点的连线与其对边垂直. .【规范解答规范解答】如图，已知如图，已知ADAD，BEBE，CFCF是是ABCABC的三条高，设的三条高，设BEBE，CFCF交于点交于点H H，且令，且令可得可得因为因为所以所以所以所以 运算并化简得运算并化简得ABb,ACc,AHh ，BHhb,CHhc,BCcb. BHAC,CHAB,

9、(hb) c0 (hc) b0, ，(hb) c(hc) b ，hcb0,所以所以又又ADBCADBC且且AHAD=A,AHAD=A,所以所以A A、H H、D D三点共线，三点共线，所以所以ADAD，BEBE，CFCF相交于一点相交于一点H.H.即即ABCABC的三条高交于一点的三条高交于一点. .AHBC ， 向量模的问题向量模的问题 解决向量模的问题常用的策略解决向量模的问题常用的策略（1 1）应用公式：）应用公式： = = ( (其中其中 =(x,y);=(x,y);（2 2）应用三角形或平行四边形法则；）应用三角形或平行四边形法则；（3 3）应用向量不等式应用向量不等式 (4)(4)

10、研究模的平方研究模的平方a22xyaababab22abab.【例例5 5】【审题指导审题指导】本题主要考查向量的模的运算及向量数量积的本题主要考查向量的模的运算及向量数量积的运算，可以用平方求解法，也可以由运算，可以用平方求解法，也可以由 =1=1，设出，设出 的坐标，化为坐标运算的坐标，化为坐标运算. .ab1, 3a2b3,3ab.设求的值ab a,b 【规范解答规范解答】方法一：方法一：223a2b39a12a b4b9. ，1ab1,a b.3 又 222213ab(3ab)9a6a bb96112,33ab2 3. 故方法二：设方法二：设 =(x=(x1 1,y,y1 1),),

11、=(x=(x2 2,y,y2 2),), =1,x=1,x1 12 2+y+y1 12 2=x=x2 22 2+y+y2 22 2=1.=1. =(3x =(3x1 1-2x-2x2 2,3y,3y1 1-2y-2y2 2),), = =3, = =3,xx1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2= ,= ,abab 3a2b3a2b2212123x2x3y2y132212123ab3xx3yy 2222112212129 xyxy6(x xy y )19 162 3.3 待定系数法解决向量问题待定系数法解决向量问题 待定系数法在向量中的应用待定系数法在向量中的应用待定系数法是数学中一种非

12、常重要的方法，对于某些数学问待定系数法是数学中一种非常重要的方法，对于某些数学问题，若已知所求结果具有某种确定的形式，则可引入一些尚题，若已知所求结果具有某种确定的形式，则可引入一些尚待确定的系数（或参数）来表示这样的结果，通过变形比较，待确定的系数（或参数）来表示这样的结果，通过变形比较，建立起含有待定字母系数（或参数）的方程（组），并求出建立起含有待定字母系数（或参数）的方程（组），并求出相应的字母（或参数）的值，进而使问题获解，这种方法称相应的字母（或参数）的值，进而使问题获解，这种方法称为待定系数法，在向量中，这种方法也被广泛应用，如平行为待定系数法，在向量中，这种方法也被广泛应用，如

13、平行向量基本定理、平面向量基本定理就是这种方法的体现形式向量基本定理、平面向量基本定理就是这种方法的体现形式. .【例例6 6】如图，在如图，在ABCABC中，中，M M是是BCBC的中点，的中点，N N在在ACAC上且上且AN=2NCAN=2NC，AMAM与与BNBN交于点交于点P P，求求APPMAPPM的值的值. .【审题指导审题指导】题目中给出了题目中给出了M M点是点是ABCABC的边的边BCBC的中点，的中点，ACAC边上的点边上的点N N满足满足AN=2NCAN=2NC，欲求，欲求APPMAPPM的值，的值，可适当选取基底表示出可适当选取基底表示出 因为点因为点A A、P P、M

14、 M共线，若有共线，若有 则则为为APPMAPPM的值的值. .AP,PM ，APPM ，【规范解答规范解答】 AA、P P、M M与与B B、P P、N N共线共线, , APPM=41.APPM=41.1221BMe ,CNeAMACCM3ee 设，12BN2ee , 1212APAMe3e,BPBN2ee. BABPPABCCA, 1122122eee3e2e3e , 42253335 ，4APAM,5 平面向量的应用平面向量的应用 平面向量两个方面的应用平面向量两个方面的应用(1)(1)在平面几何中的应用在平面几何中的应用. .向量的加法运算和全等、平行，数乘向量和相似，距离、夹向量的

15、加法运算和全等、平行，数乘向量和相似，距离、夹角和数量积之间有着密切联系，因此利用向量方法可以解决角和数量积之间有着密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题平面几何中的相关问题. .(2)(2)在物理中的应用在物理中的应用. .主要解决力、位移、速度等问题主要解决力、位移、速度等问题. .【例例7 7】已知正方形已知正方形ABCD,EABCD,E、F F分别是分别是CDCD、ADAD的中点，的中点，BEBE、CFCF交于点交于点P.P.求证：（求证：（1 1）BECFBECF；（；（2 2）AP=AB.AP=AB.【审题指导审题指导】本题欲求证线段本题欲求证线段垂直和相等，可转化

16、为向量的垂直和相等，可转化为向量的垂直和向量的模相等问题垂直和向量的模相等问题. .已知正方形已知正方形ABCDABCD，可建系设点，把，可建系设点，把向量用坐标表示出来，用向量的有关知识解决向量用坐标表示出来，用向量的有关知识解决. .【规范解答规范解答】如图建立平面直角坐标系如图建立平面直角坐标系xOyxOy，其中，其中A A为原点，为原点，不妨设不妨设AB=2AB=2，则则A(0,0),B(2,0),C(2,2),A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).E(1,2),F(0,1).(1) (1) =(1,2)-(2,0)=(-1,2)=(1,2)-(2,0)

17、=(-1,2)， =(0,1)-(2,2)=(-2,-1)=(0,1)-(2,2)=(-2,-1)， =-1=-1(-2)+2(-2)+2(-1)=0(-1)=0， 即即BECF.BECF.BEOEOB CFOFOC BE CF BECF ，（2 2）设）设P(x,y)P(x,y)，则，则 = =（x,y-1x,y-1）, , =(-2,-1)=(-2,-1)，-x=-2(y-1)-x=-2(y-1)，即，即x=2y-2.x=2y-2.同理由同理由 ，得，得y=-2x+4,y=-2x+4,代入代入x=2y-2.x=2y-2.FPCFFPCF，BPBE 686 8xyP( , ).555 5解得

18、，即222268AP( )( )4AB55 ，APABAPAB. ，即【例例8 8】如图所示，求两个力如图所示，求两个力的合力的合力 的大小（精确到的大小（精确到0.1 N0.1 N）和）和方向（精确到分）方向（精确到分）. .【审题指导审题指导】题中给出两个力的大小题中给出两个力的大小及夹角的数值，欲求合力，可利用向量的加法运算，在三角及夹角的数值，欲求合力，可利用向量的加法运算，在三角形中解决形中解决. .12F F 、F【规范解答规范解答】设设 =(a=(a1 1,a,a2 2),), =(b=(b1 1,b,b2 2),),则则a a1 1=300cos30=300cos30259.8

19、,259.8,a a2 2=300sin30=300sin30=150.0=150.0，b b1 1=-200cos45=-200cos45-141.4,-141.4,b b2 2=200sin45=200sin45141.4,141.4,所以所以 =(259.8,150.0),=(259.8,150.0), =(-141.4,141.4),=(-141.4,141.4), =(259.8,150.0)+(-141.4,141.4)=(259.8,150.0)+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4),=(118.4,291.4),2F 12FFF 1F1F1F设设 与与x x

20、轴的正向夹角为轴的正向夹角为,则则tan=tan= 2.461 1.2.461 1.由由 的坐标知的坐标知是第一象限的角，所以是第一象限的角，所以676753.53.所以两个力的合力是所以两个力的合力是314.5 N314.5 N，与，与x x轴的正方向的夹角为轴的正方向的夹角为67675353，与，与y y轴的夹角为轴的夹角为22227.7.22F118.4291.4314.5.F291.4118.4F1.1.设平面向量设平面向量 = =（3,53,5）, , = =（-2,1-2,1）, ,则则 =( )=( )（A A）（）（7 7，3 3）（）（B B）（）（7,77,7）（）（C C

21、）（）（1,71,7）（）（D D）（）（1,31,3）【解析解析】选选A.A. =(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3).=(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3).aba2ba2b2.2.给出下列各命题：给出下列各命题：（1 1）向量）向量 的长度与向量的长度与向量 的长度相等；的长度相等；（2)2)向量向量 与向量与向量 平行，则平行，则 与与 的方向相同或相反；的方向相同或相反；（3 3）两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；）两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；（4 4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；）两个有共同

22、终点的向量，一定是共线向量；（5 5）向量）向量 与向量与向量 是共线向量，则点是共线向量，则点A A、B B、C C、D D必在必在同一条直线上；同一条直线上；（6 6）有向线段就是向量，向量就是有向线段）有向线段就是向量，向量就是有向线段. .其中假命题的个数为其中假命题的个数为( )( )（A A）2 2 （B B）3 3 （C C）4 4 （D D）5 5AB BA ababAB CD 【解析解析】选选C.C.抓住方向、长度、零向量，结合作图判断抓住方向、长度、零向量，结合作图判断. .（1 1）真命题）真命题. .（2 2）假命题）假命题. .若若 与与 中有一个为零向量时，其方向是

23、不确中有一个为零向量时，其方向是不确定的定的. .（3 3）真命题）真命题. .（4 4）假命题）假命题. .终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反相反. .（5 5）假命题）假命题. .共线向量所在的直线可以重合，也可以平行共线向量所在的直线可以重合，也可以平行. .（6 6）假命题）假命题. .向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段段. .ab3.3.已知已知 =(1,0), =(1,0), =(0,1),=(0,1),则与向量则与向量 垂直的一个向量垂直的一个向量为为( )( )（A A） （B B

24、） （C C） （D D）【解析解析】选选C.C.设设 则则 =0=0，且且 故故2a+b=02a+b=0，C C项符合项符合. .ij2ij 2ij ij i2jij caibj a,bR ,2ij (aibj) （）22ij1,i j0, 4.4.若若 则则=( )=( )（A A） （B B） （C C） （D D）【解析解析】选选故故=-=- . .1APPB,ABBP3 ，1434434314D.ABAPPBPBPBPBABBPPB.33 ，又435.5.已知直线已知直线ax+by+c=0ax+by+c=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相交于相交于A A、B B两点，且两

25、点，且 则则 =_. =_. 【解析解析】如图，作如图，作ODABODAB于于D D，则在则在RtRtAODAOD中，中，OA=1OA=1，AD=AD= ，所以，所以AOD=60AOD=60，AOB=120AOB=120，所以，所以 =1=11 1(-(- )=)= . .答案答案: :AB3 ，OA OB 32OA OB |OA| OB cos120 1212126.6.已知向量已知向量 =(=( ,1),1), 是不平行于是不平行于x x轴的单位向量轴的单位向量, ,且且 则则 = =_. .【解析解析】设设 =(m,n)=(m,n)，依题意有，依题意有又又 不平行于不平行于x x轴，故轴，故答案答案: : ab3a b3, bb22mn1,3mn3.1mm12n03n.2，解得或，b13b( ,).2213( ,)227.7.如图，如图，B B、C C是线段是线段ADAD的三等分点，分别的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出以图中各点为起点和终点最多可以写出_个互不相等的非个互不相等的非零向量零向量. .【解析解析】可设可设ADAD的长度为的长度为3 3，那么长度为，那么长度为1 1的向量有的向量有6 6个，其中个，其中 长度为