三垂线定理及其逆定理的练习课教案

1、三垂线定理及其逆定理的练习课教案  教学目标1进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理；2理解公式cos1·cos2cos的证明及其初步应用；（课本第122页第3题）3理解正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直及其应用；4了解课本第33页第11题教学重点和难点教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题教学的难点是在讲公式cos1·cos2cos应用时比较2与的大小教学设计过程师：上一节课我们讲了三垂线定理及其逆定理的证明并初步应用了这两个定理来解一些有关的题今天我们要进一步应用这两个定理来解一些有关的题，先看例1例1  如图1

2、，AB和平面所成的角是1；AC在平面内，BB平面于B，AC和AB的射影AB成角2，设BAC求证：cos1·cos2cos师：这是要证明三个角1，2和的余弦的关系，1已经在直角ABB中，我们能否先作出两个直角三角形分别使2和是这两个直角三角形中的锐角生：作BDAC于D，连BD，则BDAC于D这时2是直角BDA中的一个锐角，是直角ABD中的一个锐角师：刚才的表述是应用三垂线定理及其逆定理时常常使用的“套话”，我们一定要很好理解并能熟练地应用现在已经知道1、2和分别在三个直角三角形中，根据三角函数中的余弦的定义分别写出这三个角的余弦，再来证明这公式师：这个公式的证明是利用余弦的定义把它们转

3、化成邻边与斜边的比，为此要先作出直角三角形，为了作出直角三角形我们应用了三垂线定理当然也可用它的逆定理这个公式是在课本第121页总复习参考题中的第3题我们为什么要提前讲这个公式呢？讲这个公式的目的是为了用这个公式，因为在解许多有关题时都要用到这公式那我们要问在什么条件下可用这个公式？生：因为1是斜线AB与平面所成的角，所以只有当图形中出现斜线与平面所成的角时，才有可能考虑用这公式师：为了在使用这个公式时方便、易记，我们规定1表示斜线与平面所成的角，2是平面内过斜足的一条射线与斜线射影所成的角，是这条射线与斜线所成的角下面我们来研究一下这个公式的应用应用这个公式可解决两类问题第一是求值即已知这公

4、式中的两个角，即可求出第三个角或其余弦值例如：60°，这时2；当145°，2135°时，coscos45°·cos135°第二是比较2与的大小因为我们已经规定1是斜线与平面所成的角，一定有0°190°，它的大小不变，为了比较2与的大小，下面分三种情况进行讨论（1）290°，因为290°，所以cos20，因此coscos1·cos20，故90°当90°时，我们也可以证明290°一条直线如果和斜线的射影垂直，那么它就和斜线垂直这就是三垂线定理一条直线如果和斜线

5、垂直，那么它就和斜线的射影垂直这就是三垂线定理的逆定理所以，我们可以这样说，这个公式是三垂线定理及其逆定理的一般情况，而三垂线定理及其逆定理是这公式的特殊情况现在我们来研究在2是锐角时，2与的大小（2）0°290°师：在这个条件下，我们怎样来比较2与的大小？生：因为0°190°，所以0cos11，又因为0°290°，所以0cos21又因为coscos1·cos2，所以0cos11，而且coscos1·cos2cos2，在锐角条件下，余弦函数值大的它所对应的角小所以2师：现在我们来讨论当2是钝角时，2与的大小（3）9

6、0°2180°在这个条件下，我们不再用公式cos1·cos2cos做理论上的证明来比较2与的大小，而是一起来看模型（或图形）我们假设2的邻补角为2，的邻补角为，即22180°，180°在模型（或图形）中我们可以看出当2是钝角时，也是钝角，所以它们的两个邻补角2和都是锐角，由对第二种情况的讨论我们知道2由等量减不等量减去小的大于减去大的，所以由2180°2，180°，可得2根据以上讨论现在小结如下：当290°时，290°，它们都是直角当0°290°时，2，它们都是锐角；当90°

7、2180°时，2，它们都是钝角关于公式cos1·cos2cos的应用，今后还要随着课程的进展而反复提到现在我们来看例2例2  如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：（1）A1C平面C1DB于G；（2）垂足G为正C1DB的中心；（3）A1G2GC师：我们先来证明第（1）问要证直线与平面垂直即要证什么？生：要证A1C与平面C1DB内两条相交的直线垂直师：我们先证A1C为什么与DB垂直？生：连AC，对平面ABCD来说，A1A是垂线，A1C是斜线，AC是A1C在平面ABCD上的射影，因为ACDB（正方形的性质），所以  A1CDB（三垂线定理）同理

8、可证A1CBC1因为A1C平面C1DB（直线与平面垂直的判定理）（在证A1CBC1时，根据情况可详、可略，如果学生对应用三垂线定理还不太熟悉，则可让学生把这证明过程再叙述一遍，因为这时是对平面B1BCC1来说，A1B1是垂线，A1C是斜线，B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影，由B1CBC1，得A1CBC1）师：现在来证第（2）问，垂足G为什么是正C1DB的中心？生：因为A1BA1C1A1D，所以BGGC1DG，故G是正C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正C1DB的中心师：现在来证第（3）问，我们注意看正方体的对角面A1ACC1，在这对角面内有没有相似三角形？生：在正方体的对角面A

9、1ACC1内，由平面几何可知A1GC1OGC，且A1C1OCA1GGC，所以A1GGC21，因此A1G2GC师：例2是在正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直引申而来，而例2也是一个基本的题型，对于以后证有关综合题型时很有用所以对例2的证明思路和有关结论，尽可能的理解、记住现在我们来看例3例3  如图3，已知：RtABC在平面内，PC平面于C，D为斜边AB的中点，CA6，CB8，PC12求：（1）P，D两点间的距离；（2）P点到斜边AB的距离师：现在先来解第（1）问，求P，D两点间的距离师：现在我们来解第（2）问，求P点到AB边的距离生：作PEAB于E，连CE则CEAB（三垂线定

10、理的逆定理）PE就是P点到AB边的距离师：要求PE就要先求CE，CE是直角三角形ABC斜边上的高，已知直角三角形的三边如何求它斜边上的高呢？生：可用等积式CE·ABAC·CB，即斜边上的高与斜边的乘积等于两直角边的乘积师：这个等积式是怎样证明的？生：有两种证法因CE·AB是RtABC面积的二倍，而AC·CB也是RtABC面积的二倍，所以它们相等；也可用BCEABC，对应边成比例推出这个等积式师：这个等积式很有用，根据这个等积式，我们可以由直角三角形的三边求出斜边上的高，这个等积式以后在求有关距离问题时会常常用到，所以要理解、记住、会用现在就利用这等积式先

11、求CE，再求PE师：通过这一题我们要区分两种不同的距离概念及求法；在求点到直线距离时，经常要用到三垂线定理或其道定理；在求直角三角形斜边上的高时会利用上述的等积式来求斜边上的高现在我们来看例4例4  如图4，已知：BAC在平面内，PO ，PO平面于O如果PABPAC求证：BAOCAO（这个例题就是课本第32页习题四中的第11题这个题也可以放在讲完课本第30页例1以后讲不论在讲课本第30页例1，还是在讲这个例时，都应先用模型作演示，使学生在观察模型后，得出相关的结论，然后再进行理论上的证明，这样使学生对问题理解得具体、实在，因而效果也较好）师：当我们观察了模型后，很容易就猜想到了结论即

12、斜线PA在平面上的射线是BAC的角平分线所在的直线，现在想一想可以有几种证法？生：作ODAB于D，作OEAC于E，连PD，PE，则PDAB，PEAC所以RtPADRtPAE，因此PDPE，故ODOE，所以BAOCAO师：今天我们讲了公式cos1·cos2cos能否用这公式来证明这题（利用这公式来证明这个题，完全是由学生想到的，当然如果有的班学生成绩较差，思路不活，也可做些必要的提示）生：因为PAO是斜线与平面所成的角，所以可以考虑用公式cos1·cos2cosPAO相当于1；PABPAC它们都相当于，由公式可得22，即BAOCAO师：今天我们是应用三垂线定理及其逆定理来解这

13、四个例题例1、例2、例4是三个基本题对这三个题一定要会证、记住、会用关于这三个题的应用，以后还会在讲课过程中反复出现在高考题中也曾用到作业课本第33页第13题补充题1已知：BSC90°，直线SA平面BSCSASBASC60°，求：SA和平面BSC所成角的大小45°2已知：AB是平面的一斜线，B为斜足，ABa直线AB与平面所成的角等于，AB在平面内的射影A1B与平面内过B3已知：P为RtABC所在平面外一点，ACB90°，P到直角顶点C的距离等于24，P到平面ABC的距离等于12，P到AC4已知：BAC在平面内，PA是平面的斜线，BAC60°，P

14、ABPAC45°PAa，PO平面于OPDAC于D，PEAB于E求：（1）PD的长；课堂教学设计说明1如前所述，在学习过三垂线定理及其逆定理以后，教学要达到第二个“高潮”也就是说要学生在这一学科的学习上攀登上第二个高峰攀登第二个高峰要比攀登第一个高峰（求异面直线所成的角）要困难得多因为题型较杂，知识面较广，思路较活这都给学习造成很大的困难但是，也正是这种困难才能激发起学生的学习兴趣和积极性所以我不论是在北京师大二附中还是在北京九十二中教学时都安排了一节新课，三节到四节练习课，采用精讲多练的方法，使学生见到的题型更多，解题的思路更活使他们比较容易地登上新的高峰，从而使以后的学习较为顺利2

15、在解每一个例题时，如何灵活地应用三垂线定理及其逆定理是我们讲课的重点，也是时刻要把握住的中心环节特别是一个空间图形有多个平面时，首先要找出“基准平面”，也就是说对于哪一个平面来用三垂线定理或其逆定理，在“基准平面”找出后，再找出“第一垂线”，也就是垂直“基准平面”的直线，然后斜线、射影也就迎刃而解了3在讲练习课时，要讲的例题很多，但一定要讲下述四个基本题：（1）ABC是直角三角形，ACB90°，PA平面ABC求证：BC平面PAC（2）课本第122页第3题（3）课本第33页第11题（4）正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直因为上述四个基本题和与之对应的基本图形常常包含于某些综合题

16、和与之对应的综合图形之中，并且往往起着决定性作用因此，在我们解一些综合题时，通过观察和分析，如果发现存在上述情况，就可以将它们化归为上述基本题和与之对应的基本图形去解这是在解立体几何题时又一重要的化归思想“综合图形基本化”（请参看数学通报1998年第2期化归方法与立体几何教学）这四个基本题都是应用三垂线定理与其逆定理解题典型对这四个基本题和与之对应的基本图形，一定要让学生会证、理解、掌握、记住这样才有可能应用它们来解综合题，这四个基本题是四个台阶，是向上攀登必不可缺的台阶4为了利用公式cos1·cos2cos来比较2与的大小，特选三题供老师们选用（1）二面角-AB-的平面角是锐角，C是内一点（它不在棱上），点D是C在内的射影，点E是棱AB上任一点，CEB为锐