赵树嫄微积分第四版第九章 微分方程与差分方程简介

1、第九章第九章第一节第一节 微分方程的一般概念微分方程的一般概念 在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学与管理学等各个领域中，经常需要确定变量间的函数关与管理学等各个领域中，经常需要确定变量间的函数关系系. .在很多情况下，必须建立不仅包含这些函数本身，在很多情况下，必须建立不仅包含这些函数本身，而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才有可能确定这些函数关系，这样的方程就是有可能确定这些函数关系，这样的方程就是微分方程微分方程. . 在本章中将要介绍微分方程的一些基本概念，还要在本章中将要介

2、绍微分方程的一些基本概念，还要学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法以及它们的简单应用方程的解法以及它们的简单应用. . 定义定义 含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数的若干阶导数或微分的函数方程称为的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程微分方程. . 定义定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数，称为微分方程的微分的阶数，称为微分方程的阶阶. . 未知函数是一元函数的微分方程称为未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程常微

3、分方程，未，未知函数是多元函数的微分方程称为知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程偏微分方程. .在本书在本书中只讨论常微分方程，如下例：中只讨论常微分方程，如下例： ,xyy ,0dd)(2 xxtxt,e32xyyy 一阶一阶二阶二阶一阶一阶012 xxtxxyydd 定义定义 使方程成为恒等式的函数称微分方程的使方程成为恒等式的函数称微分方程的解解。微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解：微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且独立且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同。任意常数的个数与微分方程的阶数相同。(2)(2)特解特解：不含任意常数的

4、解不含任意常数的解。, yy 例例;exCy 通通解解,0 yyxCxCycossin21 通解通解定解条件：定解条件：用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件。,0 yyxxCCy ee21通解通解初始条件：初始条件：规定微分方程中的未知函数及其若干阶规定微分方程中的未知函数及其若干阶导数在某一点处的取值导数在某一点处的取值。过定点的积分曲线过定点的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。初值问题：初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题

5、。求微分方程满足初始条件的解的问题。xyo xxxfd2)( ,2Cx ,2 C得得.2 2 xy所所求求曲曲线线方方程程为为，代代入入将将3, 1 yx解解例例 设曲线通过点设曲线通过点(1, 3), 且其上任一点处的切线斜率且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知xy2 (1, 3)函数函数)(xf的原函数的图形称为的原函数的图形称为)(xf的的积分曲线积分曲线族族. . 第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程引例引例微分方程微分方程, )(xfy 两边积分即可。两边积分即可。

6、,2xy xxyd2.313Cx ? 22yxy ,dd22yxxy 分离变量，分离变量，改写成改写成,dd22xxyy 两边积分，两边积分，,3113Cxy 通解为通解为.333Cxy ( (一一) )可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程( (一一) )可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程xxfyygd)(d)( xxfyygd)(d)(设函数设函数)(yG和和)(xF是依次为是依次为)(yg和和)(xf的的某个某个原函数原函数, CxFyG )()(为微分方程的通解。为微分方程的通解。两边积分两边积分,为为可分离变量的方程。可分离变量的方程。称称则则第二节第二节 一

7、阶微分方程一阶微分方程可分离的微分方程的解法可分离的微分方程的解法 (1)分离变量分离变量 g(y)dy f(x)dx (2)两边同时积分两边同时积分 cdxxfdyyg)()( 其中其中c是任意常数是任意常数 这就是可分离变量微分方程的通解这就是可分离变量微分方程的通解 求求方方程程22ddxyxy 的的通通解解. . 解解分离变量，分离变量，xxyyd2d2 ， 积分积分 Cxy 21, , 所所以以通通解解为为 Cxy 21. . 例例求求方方程程xyxy2dd 的的通通解解. . 解解分分离离变变量量, , xxyyd2d , , 积积分分 Cxy 2|ln, , 或或写写为为 2ee

8、xCy , , 记记 CCe1 , , 则通解为则通解为 2e1xCy . . 可简写为：可简写为：分分离离变变量量, , xxyyd2d , , 积积分分 Cxylnln2 , , 则通解为则通解为 2exCy . . 例例积积分分 Cxylnlnln , , 则则通通解解为为 Cyx . . 求求方方程程xyxy dd的的通通解解. . 解解分离变量分离变量, , xxyydd , , 练习练习求求方方程程0d)ee (d)ee ( yxyyxxyx的的通通解解. . 解解分离变量：分离变量：0d1eed1ee xyxxyy, , 两边积分两边积分: : Cxyln)1eln()1eln(

9、 , , 即即所所求求通通解解为为 Cyx )1e)(1e (. . 例例求方程求方程2cos2cosddyxyxxy 的通解的通解. . 2cos2cosddyxyxxy ,2sin2sin2yx ,d2sin2sin2d xxyy|2cot2csc|lnyy 为所求通解为所求通解.解解Cx 2cos2例例Cxxxxxx |cotcsc|lndcscsind求求方方程程)1(122xxyyy 满满足足2)1( y的的特特解解. . 解解例例xxxyyyd)1(1d122 分离变量，分离变量，两边积分两边积分)1ln(212y 222d)1(121xxx 222d)111(21xxxCxxln

10、211ln2122 通解为通解为 ,11222xxCy 将将2)1( y代代入入得得 10 C， 所求特解为所求特解为.1101222xxy 数学建模数学建模( (二二) )齐次方程齐次方程)(ddxyfxy 的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程。形如形如例如例如22ddxxyyxy 可化为可化为;1)(dd2 xyxyxy0d)2(d)(22 yxyxxyxy可化为可化为xyxyxyxy2dd22 .)(21)()(2xyxyxy 齐次方程的解法齐次方程的解法 解齐次方程)(xyfdxdy的过程是 第一步 作变换xyu 将方程化为)(ufdxduxu 第二步 分离变量 得xdxuuf

11、du)( 第三步 两端积分 得cxdxuudu)( 第四步 作逆变换xy代替 u 例例求求方方程程 xyxyxytan3dd 的的通通解解. . 解解作作变变量量代代换换 xyu , , 代代入入原原方方程程得得 uuxuxutan3dd , , ,uxy ,ddddxuxuxy 此题不能分离变量此题不能分离变量, , 是齐次方程是齐次方程, ,分分离离变变量量得得 xxuud3tand , , 积分得积分得 Cxulnln3)ln(sin , , .sin 3xCxy 即即得得原原方方程程通通解解为为例例1) 1 ( y的的特特解解. . 解解作作变变量量代代换换 xyu , , 代代入入原

12、原方方程程得得 1dd2 uuxuxu, , 求求方方程程xyxyxyxydddd22 满满足足初初始始条条件件 即即 11dd2 uuuuuxux, , ,uxy ,ddddxuxuxy 22ddxxyyxy 原方程变形为原方程变形为 ,1)(2 xyxy积分得：积分得：Cxuulnlnln , , 或写成或写成 Cxuuln)ln( , , 再再将将xyu 代代入入, ,得得通通解解为为 yCxy e； 分分离离变变量量得得 xxuudd)11( , , 再再由由初初始始条条件件1)1( y, , 得得e C, , 于是得所求特解为于是得所求特解为 1e xyy. . 即即 11dd2 u

13、uuuuxux, , 或或 yxCu e, , 练习练习求求方方程程 0)()( yxyyx 的的通通解解. . 解解11 xyxy, , 作作变变量量代代换换 xyu , , ,uxy ,ddddxuxuxy 是齐次方程是齐次方程, ,xyxyxy dd原方程变形为原方程变形为 代入原方程得代入原方程得 11dd uuxuxu, , 分离变量得分离变量得 xxuuudd112 , , 积分得积分得 Cxuuln|ln)1ln(21arctan2 , , 或或写写成成 uCuxarctan2e1 , , 再再将将xyu 代代入入, ,得得通通解解为为 分离变量得分离变量得 xxuuudd112

14、 , , .earctan22xyCyx ( (三三) )一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:)()(ddxQyxPxy , 0)( xQ当当上述方程称为上述方程称为齐次的齐次的.上述方程称为上述方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当例如例如,dd2xyxy ,sindd2ttxtx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的, 非齐次非齐次非线性的非线性的. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnCxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.ed)( xxPCy1、线性齐次方程、线性齐

15、次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法：解法：使用分离使用分离变量法变量法这这里里记记号号 xxPd)(表表示示)(xP的的某某个个确确定定的的原原函函数数. . 2、线性非齐次方程、线性非齐次方程)()(ddxQyxPxy 常数变易法：常数变易法：作变换作变换 xxPxuyd)(e)(,e)()(e)(d)(d)( xxPxxPxPxuxuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy ),(e)(d)(xQxuxxP ,de)()(d)(CxxQxuxxP 积分得积分得所以原方程的通解为所以原方程的通解为:de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP .sin1的的通通解解求求方方程程xx

16、yxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ )desin(ed1d1 Cxxxyxxxx)desin(elnln Cxxxxx)dsin(1 Cxxx. )cos(1Cxx 解解de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 例例通解为通解为 求求方方程程2e22ddxxxyxy 满满足足1)0( y的的特特解解. . 解解由由初初始始条条件件1)0( y, , 1 C, , 即即所所求求特特解解为为 )1(e22 xyx. . 例例)d2(e2Cxxx , )(e22Cxx )dee2(ed2d22Cxxyxxxxx 通解为通解为 de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 解解 方程改写

17、为方程改写为 所以所求解为所以所求解为 ,1ln1xyxxy 一阶线性方程，一阶线性方程， 将将1)e( y代代入入，C 211，得得21 C， 0d)ln(dln xxyyxx，且且1e)( y。 )de1(elndlndCxxyxxxxxx )ln21(ln12Cxx )dln(ln1Cxxxx .)ln1(ln21xxy 例例,lnln21xCx 解解这是这是一阶线性一阶线性微分微分方程方程，通解为，通解为 求求 3)1(12 xyxy 的的通通解解。 de)1(ed123d12Cxxyxxxx 练习练习de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP d)1(1)1()1(232Cxxxx

18、 d)1()1(2Cxxx .)1()1(2124 xCx)1(21)1(22Cxx 求求方方程程0d)(d3 yyxxy的的通通解解. . 解解方方程程含含有有3y, ,故故不不是是关关于于未未知知函函数数y线线性性方方程程, , 可可把把y视视为为自自变变量量, ,把把方方程程改改写写为为 此此即即一一阶阶线线性性方方程程, ,解解得得通通解解为为 例例,dd2yyxyx )de(ed12d1Cyyxyyyy )d(12Cyyyy .43yyC 数学建模数学建模-价格调整模型价格调整模型 设某商品的价格主要取决于市场供求关系，或者说供设某商品的价格主要取决于市场供求关系，或者说供给量给量S

19、与需求量与需求量D只与该商品的价格只与该商品的价格p有关。设有关。设 ,bpaS ,pD 其其中中 , ba均均为为常常数数，且且0, 0 b。 当当DS 时，时，bap e，称为，称为均衡价格均衡价格。 一般，若供过于求一般，若供过于求)(DS ，价格将下跌；若供不，价格将下跌；若供不应求应求)(DS ，价格将上涨。所以，视价格，价格将上涨。所以，视价格 p 为时为时间的函数间的函数)(tpp 。 设价格设价格)(tpp 的变化率的变化率tpdd与超额需求量与超额需求量SD 成正比，即设成正比，即设 , )(ddSDktp 其中其中 k 为正的常数，用来反映价格的调整速度。为正的常数，用来反

20、映价格的调整速度。 )(ddpptpe ，其中，其中 0)( kb ， 通解为通解为 tCptp e)(e， 假假定定初初始始价价格格0)0(pp ，代代入入得得 e0ppC 。 于是上述价格调整模型的解为于是上述价格调整模型的解为 tppptp e )()(e0e由由0 知知，e)(limptpt ，即即表表明明价价格格最最终终将将趋趋向向于于均均衡衡价价格格。 第三节第三节 几种二阶微分方程几种二阶微分方程( (一一) )最简单的二阶微分方程最简单的二阶微分方程解解例例.exxy 解法：两边积分解法：两边积分两两次即可次即可。, )(xfy 形如形如积分一次得积分一次得 xxyxde,e)

21、1(1Cxx 再积分一次，得通解为再积分一次，得通解为 xCxyxde)1(1.e)2(21CxCxx ( (二二) ),(yxfy 型型, , 不显含不显含y 解解法法：令令)(xpy ，化化为为),(pxfp . . 一阶微分方程一阶微分方程求求方方程程0)21( yyx的的通通解解. . 解解令令 yp , ,则则方方程程化化为为 分离变量分离变量, ,得得xxppd121d , , 积分得积分得 1ln)12ln(21lnCxp , , 或或 211)12( xCyp, , 再再积积分分, ,得得原原方方程程的的通通解解为为 2211) 12(CxCy . . 例例,dd)21(pxp

22、x 。的的通通解解求求方方程程xxyxye1 解解练习练习令令)(xpy ，方方程程化化为为 )dee(ed1d1Cxxpxxxxx ,e1xxpxp 这是这是一阶线性一阶线性微分微分方程方程，通解为，通解为 )d1e(Cxxxxx , )e (1Cxx .2e) 1(221CxCxyx 所以原方程通解为所以原方程通解为, )e (1 Cxyx 即即( (三三) )原原方方程程化化为为 ),(ddpyfypp . . ),(yyfy 型型, ,不显含不显含x 解解法法：令令)(ypy ， 则则 xpydd xyypdddd ，yppdd 把把 y 视为自变量视为自变量求求方方程程02 yyy的

23、的通通解解. . 解解令令xypdd , , 即即0)dd( pypyp. . 分分离离变变量量, ,0dd yypp, , 解解得得yCp , , 即即 yCxy dd, , 分分离离变变量量 xCyydd , , 则则yppydd 例例，0dd2 pyppy.212CxCy 若若0dd pypy, , 代入原方程代入原方程, ,得得 积分得通解为积分得通解为 0 y 也是方程的解也是方程的解, ,不过已包含在上述通解中；不过已包含在上述通解中； 若若0 p, ,可得可得Cy , ,这也包含在上述通解中这也包含在上述通解中. . 原方程可化为原方程可化为 0)( yy, , 积分得积分得 1

24、Cyy , , 即即 xCyydd , , 于是得到原方程的通解于是得到原方程的通解 212CxCy . . 即即0)dd( pypyp. . 若若0dd pypy, , .212CxCy 积分得通解为积分得通解为 本题还可用下面的简单解法本题还可用下面的简单解法：求求方方程程02 yyy的的通通解解. . 解解例例求方程求方程223yy 满足满足1)3(, 1)3( yy的特解。的特解。 解解令令xypdd , , 分离变量分离变量, ,0d3d22 yypp， 积分得积分得132Cyp , , 即即 23ddyxy , , 分离变量分离变量 xyydd23 , , 则则yppydd ， 练

25、习练习，223ddyypp 代入原方程代入原方程, ,得得 由由1)3(, 1)3( yy，得，得01 C， 于是于是23yp ， 积分得积分得 2212Cxy , , 由由1)3( y，得，得52 C， 所求特解为所求特解为 2)5(4 xy。 即即 23ddyxy , , 分离变量分离变量 xyydd23 , , 第四节第四节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性二阶常系数线性齐次齐次微分方程微分方程其中其中 p, q 是常数是常数.(2) )(xfyqypy (1) 0 yqypy其其中中0)( xf。 二阶常系数线性二阶常系数线性非齐次非齐次微分方程微分方程( (

26、一一) )二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法1、方程、方程(1)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(1)的解；的解；证证设设)(),(21xyxy是是(1)的的两两个个解解，即即 ,0111 yqypy,0222 yqypy所以所以)()()(212121yyqyypyy )()(212121yyqyypyy 即即21yy 也也是是( (1 1) )的的解解。 ,0222111 qyypyqyypy(1) 0 yqypy2、方程、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(1)的解的解。证证设设)(1xy是是(1)的的解解，即即

27、,0111 yqypy所以所以)()()(111kyqkypky ,0)(111 qyypyk即即1ky也也是是(1)的的解解。 ( (一一) )二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法1、方程、方程(1)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(1)的解；的解；(1) 0 yqypy如如果果)(),(21xyxy是是方方程程(1)的的两两个个解解, ,则则 )()(2211xyCxyCy 也是也是(1)的解，的解，( (称称线性无关线性无关),),则上式为则上式为(1)的的通解通解. .定理定理1 1常常数数如如果果 )()(21 xyxy其其中中21,C

28、C为为任任意意常常数数。 2、方程、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(1)的解的解。( (一一) )二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法1、方程、方程(1)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(1)的解；的解；(1) 0 yqypy下下面面来来寻寻找找方方程程(1)的的形形如如 xrye 的的特特解解. . 将将xrye 代代入入方方程程(1), ,得得 0e)(2 xrqprr, , 而而0e xr, ,于于是是有有 代数方程代数方程(3)称为微分方程称为微分方程(1)的的特征方程特征方程，(3) 02 qprr(1) 0

29、 yqypy它的根称为它的根称为特征根特征根. . 得到方程得到方程(1)的两个特解的两个特解xry1e1 , ,xry2e2 , , 而而Cxyxyxrr )(2121e)(/ )(, , 下下面面来来寻寻找找方方程程(1)的的形形如如 xrye 的的特特解解. . 若若0 , , 记记 qp42 , , 情形情形1 1 (3) 02 qprrxrxrCCy21ee21 22, 1 pr则特征方程则特征方程(3)有两个相异的实根有两个相异的实根 故它们线性无关故它们线性无关, , 因此因此(1)(1)的通解为的通解为 若若 0 , , 只只得得到到方方程程(1)的的一一个个特特解解 xry1

30、e1 , , 设设)(/12xuyy , , 即即xrxuy1e)(2 , , 代代入入方方程程(1), ,并并约约去去 xr1e, ,得得 因因为为1r是是方方程程02 qprr的的二二重重根根, , 故故有有0121 qprr, ,021 pr, , 0 u, , 取取特特解解 xu , , 即即得得xrxy1e2 , , 情形情形2 2 ,22, 1pr 2y, ,使使 12/ yy常常数数. . 需要求另一个特解需要求另一个特解,0)()2(1211 uqprrupru则特征方程则特征方程(3)有两个相等的实根有两个相等的实根 于是于是(1)的通解为的通解为 xrxCCy1e)(21

31、方方程程(1)有有两两个个特特解解 xiy)(1e , ,xiy)(2e , , 由欧拉公式由欧拉公式 知知， sincoseii 若若 0 , , 情形情形3 3 则特征方程则特征方程(3)有一对共轭复根有一对共轭复根 ,2, 1 ir )sincos(e21xCxCyx 仍然是仍然是(1)的解的解, 且线性无关且线性无关, , 所以方程所以方程(1)的通解为的通解为 由叠加原理由叠加原理, , xiyyyxyyyxx sine2/ )(cose2/ )(212211 )sin(cose)sin(cose21xixyxixyxx xyy tan12 0 二阶常系数线性齐次微分方程的解法：二阶

32、常系数线性齐次微分方程的解法：(1) 0 yqypy02 qprr特征方程特征方程 特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式 ,0 21rr ir 2, 1xrxrCCy21ee21 xrxCCy1e)(21 )sincos(e21xCxCyx 21rr ,0 ,0 解解特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为求求微微分分方方程程0103 yyy的的通通解解. . 例例例例.0134的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,01342 rr解得解得,3221ir ，故所求通解为故所求通解为. )3sin3cos(e212xCxCyx ,01032 rr.ee5221

33、xxCCy ,5, 221 rr特征根为特征根为解解特征方程为特征方程为故通解为故通解为求求微微分分方方程程0dd2dd22 ststs满满足足初初始始条条件件 2)0(, 4)0( ss的的特特解解. . 22 C, , 所所以以所所求求特特解解为为 tts e)24(. . 例例,0122 rr,121 rr特征根为特征根为.e)(21ttCCs ,4)0(1 Cs,e)(212ttCCCs ,2)0( 12 CCs训练：求下列微分方程的通解训练：求下列微分方程的通解2、075 yyy 解解,235ir . )23sin23cos(e2125xCxCyx 1 1、043 yyy 解解方程通

34、解为方程通解为特征方程特征方程, 0432 rr特征根特征根，4121 rr.ee421xxCCy 解解通解为通解为,01442 rr,212, 1 r.e)(2121xxCCy 044 3 yyy、,0752 rr通解为通解为( (二二) )二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及解法线性方程解的性质及解法1、方程、方程(2)的任意两个解的任意两个解的差的差是是(1)的解；的解；证证设设)(),(21xyxy是是(2)的两个解，即的两个解，即 , )(111xfyqypy , )(222xfyqypy 所以所以)()()(212121yyqyypyy )()(212121yyqyy

35、pyy 即即21yy 是是(1)的的解解。 )(222111yqypyyqypy ,0)()( xfxf(2) )(xfyqypy (1) 0 yqypy2、方程方程(1)的一个解加上方程的一个解加上方程(2)的一个解是的一个解是(2)的解的解.证证设设)(1xy是是(1)的一个解，的一个解，)(2xy是是(2)的一个解，即的一个解，即 ,0111 yqypy, )(222xfyqypy 所以所以)()()(212121yyqyypyy )()(212121yyqyypyy 即即21yy 是是(2)的的解解。 )()(222111yqypyyqypy , )()(0 xfxf ( (二二) )

36、二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及解法线性方程解的性质及解法(2) )(xfyqypy (1) 0 yqypy对应齐次方程对应齐次方程(1) 0 yqypy yYy定理定理2 2设设)(xy 是是方方程程( (2 2) )的的一一个个特特解解, , )(xY是是(1)的的通通解解, , 那么方程那么方程(2)的通解为的通解为问题归结为求方程问题归结为求方程(2)的一个特解。的一个特解。只讨论只讨论 f (x)的两种类型。的两种类型。用待定系数法求解。用待定系数法求解。二阶常系数非齐次线性方程的解法：二阶常系数非齐次线性方程的解法：(2) )(xfyqypy 其其中中 是是一一个

37、个实实数数，)(xPm是是m次次多多项项式式. . 设设xxQy e)( , ,其其中中)(xQ是是多多项项式式, , 代代入入方方程程)(xfyqypy , , 整整理理并并约约去去x e, ,得得 )()()2(2xPQqpQpQm ( (* *) ) 型型、xmxPxf e)()(1 则则xxxQxQy e)(e)()( xxxxQxQxQy e)(e)(2e)()(2 即即02 qp , , 则则可可设设)(xQ为为次次数数与与)(xPm次次数数相相同同的的多多项项式式： 情形情形1 若若 不是特征根不是特征根, , , )()(xQxQm xmxQy e)( 即即情形情形2 2 而而

38、 02 p , , 若若 是特征方程的单根是特征方程的单根, , 即即02 qp , , , )()( xQxxQm 则令则令即即xmxQxy e)( )()()2(2xPQqpQpQm ( (* *) ) 情形情形3 3 若若是特征方程的是特征方程的二重二重根根, , 即即02 qp , , , )()(2 xQxxQm 则则令令即即且且 02 p , , xmxQxy e)(2 )()()2(2xPQqpQpQm ( (* *) ) 综上讨论综上讨论 )(xQ不是特征根不是特征根 xmxPyqypy e)( 设特解为设特解为，)(xQm是单特征根是单特征根 ，)(xxQm是二重特征根是二重

39、特征根 ，xxQy e)( 其中其中，)(2xQxm然然后后将将 y代代入入原原方方程程，或或根根据据恒恒等等式式( (* *) )来来确确定定)(xQ, ,从从而而得得到到特特解解 y. . ，若若)()(xPxfm 可可看看成成是是0 的的特特殊殊情情形形。 )()()2(2xPQqpQpQm ( (* *) ) 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程012 r特征根特征根1121 rr，,ee21xxCCY 求微分方程求微分方程xyy5 的通解的通解。 因因为为0 不不是是特特征征根根, , 0, 5 BA, , 所以特解所以特解 xy5 , , 即原方程的通解为即原方程的

40、通解为 xCCyxx5ee21 . . 例例代入原方程代入原方程, ,得得 xBAx5)(3 ,BAxy 设特解为设特解为解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程0322 rr特征根特征根1321 rr，,ee231xxCCY 求求微微分分方方程程1332 xyyy的的通通解解. . 因因为为0 不不是是特特征征根根, , 31, 1 BA, , 所所以以特特解解 31 xy, , 即即原原方方程程的的通通解解为为 31ee321 xCCyxx. . 练习练习代入原方程代入原方程, ,得得 13)(32 xBAxA,BAxy 设特解为设特解为求微分方程求微分方程xxyyye23 的

41、通解。的通解。 例例解解,0232 rr2, 1 r因因为为1 是是单单特特征征根根，所所以以设设特特解解为为xBAxxye)( ， 代入原方程得代入原方程得xBAAx 22， 原方程的通解为原方程的通解为 xxxxxCCye2)(21ee221 . . ,e)(2xBxAxy ,e)2()(2xBAxxBAxy ,e)222()(2xABAxBAxxBAxy 解得解得1,21 BA， 特解为特解为xxxye)2(21 ， 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0962 rr特征根特征根，32, 1 r.e)(321xxCCY 求微分方程求微分方程xxyyy3e96 的通解的通

42、解. . 因因为为3 是是二二重重特特征征根根, , 解解得得 0,61 BA, , 所所以以特特解解 xxy33e61 , , 从从而而方方程程的的通通解解为为 xxxxCCy33321e61e)( . . 例例代入原方程代入原方程, 得得,e)(323xBxAx ,26xBAx xBAxxy32e)( 所以设特解为所以设特解为注意：注意：实实际际计计算算时时，只只要要将将23)(BxAxxQ 代代入入 )()()2(2xPQqpQpQm 现即现即, )()(xPxQm 即得即得.26xBAx 这样比代入原方程要简便得多。这样比代入原方程要简便得多。解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方

43、程特征方程,0962 rr特征根特征根，32, 1 r.e)(321xxCCY 求微分方程求微分方程xxyyy3e96 的通解的通解. . 因因为为3 是是二二重重特特征征根根, , 例例,e)(323xBxAx xBAxxy32e)( 所以设特解为所以设特解为训练：求下列微分方程的通解训练：求下列微分方程的通解1、xyy84 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,042 r特征根特征根，ir22, 1 .2sin2cos21xCxCY 因因为为0 不不是是特特征征根根, , 解得解得 0, 2 BA, , 所所以以特特解解 xy2 , , 从从而而方方程程的的通通解解为为 x

44、xCxCy22sin2cos21 . . 代入原方程代入原方程, 得得, BAxy 所以设特解为所以设特解为,844xBxA 2、xyyy e343 3、xyyye2 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0432 rr特征根特征根412, 1， r.ee421xxCCY 因因为为1 是是单单特特征征根根, , 所以特解所以特解 xxy e53, , 从从而而方方程程的的通通解解为为 xxxxCCy e53ee421. . 代入原方程代入原方程, 得得,e xxAy 所以设特解为所以设特解为,53 A2、xyyy e343 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,

45、0122 rr特征根特征根，12, 1 r.e)(21xxCCY 因因为为1 是是二二重重特特征征根根, , 所以特解所以特解 xxye212 , , 从从而而方方程程的的通通解解为为 xxxxCCye21e)(221 . . 代入原方程代入原方程, 得得,21 A3、xyyye2 所以设特解为所以设特解为xAxye2 , , 型型、sincose)(2xbxaxfx 可以证明，方程可以证明，方程 (2) 具有如下形式的特解：具有如下形式的特解：sincosexBxAxyxk 是是特特征征根根不不是是特特征征根根 , 1 , 0iik 是是待待定定系系数数，其其中中BA,解解求微分方程求微分方

46、程xyyy2sin1022 的通解的通解. . 因因为为 2, 0 , ,ii2 不不是是特特征征根根, ,故故设设特特解解为为 例例，xBxAy2sin2cos ，xxBAxBA2sin102sin)24(2cos)42( 所求所求通解为通解为 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0222 rr特征根特征根，ir 12, 1.)sincos(e21xCxCYx 代入原方程代入原方程, ,得得 1024042BABA.2sin2cos2)sincos(e21xxxCxCyx ,12 BA解解求微分方程求微分方程xyy2sin104 的通解的通解. . 因为因为 2, 0 , ,i

47、i2 是特征根是特征根, ,故设特解为故设特解为 例例，)2sin2cos(xBxAxy ，xxAxB2sin102sin42cos4 所求所求通解为通解为 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,042 r特征根特征根，ir22, 1 .2sin2cos21xCxCY 代入原方程代入原方程, ,得得 10404AB.2cos252sin2cos21xxxCxCy ,025 BA训练训练解解特特征征方方程程 012 r， 因因为为ii 是是特特征征根根， 特特征征根根 ir ， 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为 .sincos21xCxCY 代入原方程得代入原方程得 xxbx

48、asincos2sin2 ， 解得解得 0,21 ba， 即即 xxycos21 ， 所所以以原原方方程程通通解解为为 xxxCxCycos21sincos21 . . )sincos(xbxaxy 所以设特解为所以设特解为求微分方程求微分方程xyysin 的通解的通解. . 第五节第五节 差分方程的一般概念差分方程的一般概念 微分方程刻划了自变量微分方程刻划了自变量 x 是是连续连续变化的过程中变变化的过程中变量量 y 的变化率，在现代科学技术和经济领域中，有的变化率，在现代科学技术和经济领域中，有些自变量往往不是连续变化的，而是取一系列些自变量往往不是连续变化的，而是取一系列离散离散的值的

49、值, ,例如按年、月、日等，此时要描述这种自变例如按年、月、日等，此时要描述这种自变量是离散的变化关系就是本节要介绍的差分方程。量是离散的变化关系就是本节要介绍的差分方程。 显然微分方程和差分方程是两类不同的方程，但显然微分方程和差分方程是两类不同的方程，但它们有许多共同点，因此与微分方程对照，采用类它们有许多共同点，因此与微分方程对照，采用类比的方法是学习差分方程有效的方法。比的方法是学习差分方程有效的方法。 ( (一一) ) 差分概念差分概念 设函数设函数)(tfy 为定义在整数集上的函数为定义在整数集上的函数, ,简记简记,ty 一阶差分一阶差分： tttyyy 1一一阶阶差差分分的的差

50、差分分称称为为ty的的二二阶阶差差分分, , ttxtyyyy 12)(三阶差分三阶差分： )(23ttyy ttyy212 ,33123ttttyyyy tttyyy 122tttyyy 122一般地，一般地，k 阶差分阶差分定义为定义为,)1(0 kiiktikiyC)(1tktkyy tktkyy111 , 2, 1 k例例1 1设设,2tyt 求求 .,32tttyyy ty, 2)12(1)1(2)12()(2 tttyytt.022)2()(23 ttyy, 12)1(221 tttyytt( (二二) ) 差分方程的一般概念差分方程的一般概念 含含有有未未知知函函数数ty在在 t

51、 的的两两个个或或两两个个以以上上的的函函数数值值,1 ttyy的的函函数数方方程程称称为为差差分分方方程程；差差分分方方程程中中所所出出现现的的未未知知函函数数下下标标的的最最大大值值与与最最小小值值的的差差称称为为差差分分方方程程的的阶阶. . 定义定义, 0),(1 ntttyyytG.0),(2 tntttyyyytF差分方程的解：差分方程的解： 定义定义 若一个函数代入差分方程后若一个函数代入差分方程后，方程两边恒等方程两边恒等，则称此函数为该差分方程的则称此函数为该差分方程的解解。 若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个数恰好等于差分方

52、程的阶数数恰好等于差分方程的阶数，则称该解为差分方程的则称该解为差分方程的通解通解。差分方程满足初始条件的解称为该问题的差分方程满足初始条件的解称为该问题的特解特解。第六节第六节 一阶和二阶常系数线性差分方程一阶和二阶常系数线性差分方程( (一一) )一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程标准形式标准形式 其其中中, 2, 1, 0 t，常常数数0 a， 函函数数)(tf当当, 2, 1, 0 t 时有定义。时有定义。如如果果当当 , 2, 1, 0 t时时有有0)( tf，则则称称方方程程 为为一阶常系数一阶常系数齐次齐次线性差分方程线性差分方程， 否则，称为否则，称为一阶常系数一阶常

53、系数非齐次非齐次线性差分方程线性差分方程。)(1tfayytt (1)01 ttayy(2)(2)称为称为(1)对应的对应的齐次线性差分方程。齐次线性差分方程。)(1tfayytt (1)01 ttayy(2)不难证明，不难证明，(2)的通解为的通解为,)()(tcaCty C为任意常数为任意常数. . 可以证明可以证明, ,一阶常系数线性差分方程的通解与一阶一阶常系数线性差分方程的通解与一阶线性微分方程有相同的结构，即有线性微分方程有相同的结构，即有 定理定理( (一阶常系数线性差分方程通解的结构一阶常系数线性差分方程通解的结构) ) 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程(1)的通解

54、可表示为的通解可表示为 tttyaCy )(其其中中ty是是(1)的的一一个个特特解解, , 2, 1, 0 t，C是是任任意意常常数数. 当当 f( (x) )是多项式、指数函数、正弦函数、余弦函是多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和差或乘积时，一般可用数以及它们的和差或乘积时，一般可用待定系数法待定系数法求求(2)的一个特解的一个特解. . 讨论三种情形：讨论三种情形：情形情形1 1)()(tPxfm 情形情形2 2tmdtPxf)()( 情形情形3 3tNtMtf sincos)( 例例1 1求求一一阶阶常常系系数数线线性性差差分分方方程程2321 tyytt 的通解的通解.

55、 . 设设特特解解BtAyt ， 解解代入方程得代入方程得 ttyy21 BAtA )(2)1(BtABtA 23 t,1, 3 BA得特解为得特解为,13 tyt从而通解为从而通解为,132 tCyttC为任意常数为任意常数. . 设设特特解解BtAyt ， 代入方程得代入方程得 ttyy 1A )()1(BtABtA ,23 t例例2 2求求一一阶阶常常系系数数线线性性差差分分方方程程231 tyytt 的通解的通解. . 解解没有这样的特解。没有这样的特解。例例2 2求求一一阶阶常常系系数数线线性性差差分分方方程程231 tyytt 的通解的通解. . 解解设特解设特解)(BtAtyt

56、代入方程得代入方程得 ttyy 1,23 t,2tBtA )()1()1(22tBtAtBtA BAtA 2,27,23 BA得特解为得特解为,27232ttyt 从而通解为从而通解为C为任意常数为任意常数. . ,27232ttCyt 一一般般, 当当)(tf是是多多项项式式)(tPm时时，可可按按下下表表设设定定非非齐齐次次差差分分方方程程)(1tfayytt 的的一一个个特特解解 ty： )(tf系数系数 a 的取值的取值 特解特解 ty的形式的形式 )(tPm1 a)(tQm)(tPm1 a)(tQtm 表表中中)(tQm是是待待定定系系数数的的 m 次次多多项项式式. 设设特特解解t

57、tBtAy2)( ， 代入方程得代入方程得 例例3 3求一阶常系数线性差分方程求一阶常系数线性差分方程ttttyy21 的的通解通解。 解解ttyy 1tBtABAtA2)222( tBAtA2)2( ,2tt ,2, 1 BA得特解为得特解为,2)2(ttty 从而通解为从而通解为,2)2(tttCy C为任意常数为任意常数. . 设设特特解解ttBtAy2)( ， 代入方程得代入方程得 ttyy 1tBAtBAtA2)(2 tA22 ,2tt 不存在这样的特解。不存在这样的特解。例例4 4求一阶常系数线性差分方程求一阶常系数线性差分方程ttttyy221 的通解。的通解。 解解设设特特解解

58、ttBtAty2)( ， 代入方程得代入方程得 例例4 4求一阶常系数线性差分方程求一阶常系数线性差分方程ttttyy221 的通解。的通解。 解解ttyy 1ttBtAtBtA2)1()1( 222 tt2 tBAtA2)2(2 ,41,41 BA得特解为得特解为,2)1(41tttty 从而通解为从而通解为,2)44(2ttttCy C为任意常数为任意常数. . 一一般般, 当当tmdtPtf)()( 时时， 可可按按下下表表设设定定非非齐齐次次差差分分方方程程)(1tfayytt 的的一一个个特特解解 ty： )(tfd 与系数与系数 a 的关系的关系特解特解 ty的形式的形式 tmdt

59、P)(tmdtP)(表表中中)(tQm是是待待定定系系数数的的 m 次次多多项项式式. 0 datmdtQ)(0 datmdtQt)(设设特特解解tBtAyt2sin2cos ， 代入方程得代入方程得 ttyy21 例例5 5求求线线性性差差分分方方程程tyytt2cos521 的的通通解解。 解解tBtA2cos2sin )2sin2cos(2tBtA tBAtAB2sin)2(2cos)2( t2cos5 ,1, 2 BA得特解为得特解为,2sin2cos2ttyt 通解为通解为,2sin2cos22ttCytt C为任意常数。为任意常数。一一般般, , 当当tNtMtf sincos)(

60、 , ,其其中中 , NM是是常常数数，且且 20 , , ，可可以以设设特特解解为为 如果所给差分方程不是标准形式的，必须首先如果所给差分方程不是标准形式的，必须首先把它化为把它化为标准形式标准形式才能应用上面给出的通解公式和才能应用上面给出的通解公式和选取特解的有关结论选取特解的有关结论. . 其其中中BA,是是两两个个待待定定常常数数. tBtAyt sincos ( (二二) ) 二二阶常系数线性差分方程阶常系数线性差分方程标准形式标准形式 其其中中, 2, 1, 0 t，常常数数0 b， 函函数数)(tf当当, 2, 1, 0 t 时有定义时有定义. . 如如果果当当 , 2, 1,