高数第二章导数与微分知识点与习题

1、高数第二章导数与微分知识点总结第一节导数1 .基本概念lim f(x) /)定义X XodX注：可导必连续，连续不一定可导注：分段函数分 界点处的导数一定要用导数的定义求(2)左、右导数f (Xo)limX of (X。 X) f(X。)一 f(x) f(Xo) limx A X Xof' (Xo)f(XoX) f(X。)n . f(x) f(Xo) limx AXof 存在 f (Xo) f (Xo).(3 )导数的几何应用曲线y f (X)在点(X0,f(X。)处的切线方程:f(Xo) fXo).，(Xo) (x法线方程:f(Xo) (X Xo). f，(Xo)2 .基本公式C&#

2、39; 0(xa)ax% (特例(e )，e )(4)(logX)'xin(a o, a a1)(sinX)，cosx(6)(cosx)'sinX(tan(7) x)'2 sec X(cot(8) x)'(9) (secx)' secx tanx(10) (cscx)5 cscx cot X(4)隐函数求导(11)(arcsinx)? J(12)(arccosx)'(13)(arctanx)(14)(arccot x)，1 x2(15In(X 7x2a2)l，3 .函数的求导法则(1)四则运算的求导法则(u v)' u' V(uv

3、)'V UV(u)'VU V UV2复合函数求导法则一链式法则f (u),u(x),则 y f( (x)的导数为：f(sin"!求函数y e x的导数.反函数的求导法则0 ,二阶以上的f (x)的反函数为X g(y),两者均可导，且f ' (x)(5)对数求导法：适用于若干因子连乘及幕指函数4.高阶导数 导数为高阶导数常用的高阶求导公式：axlnn a (a 0)特别地，(es) (7) ex直接求导法和公式法设函数y f (x)由方程F(x,y) 0所确定，求y'的方法有两种:Fy.(sin kx) ln)kn sin(kx n")(cos

4、kx)ln) kn cos (kx n) 24 4) ln(l X)(D (忙(xk)<n) k(k 1) (k 2)L (k n J： l)x(6)莱布尼茨公式：(uv) (nk)V(k),其中u® U, V® V)第二节微分1 .定义背景：函数的增量 y f(x x)f(x).定义：如果函数的增量y可表示为y Ax o( x),其中A是与x无关的常数，则称函数y f (x)在点X。可微，并且称A x为x的微分，记作dy,则dy A x.注： y dy, x dx2 .可导与可微的关系元函数f (x)在点X。可微，微分为dy A x函数f (x)在X。可导，且A f

5、' (Xo).3微分的几何意义4微分的计算(1)基本微分公式dy f' (x)dx.微分运算法则四则运算法则u、vdu udvd(u v) du dvduv vdu udv爪)2一阶微分形式不变若 u 为自变量，y f (u), dy f 5 (u) u f，(u)du ；若U为中间变量，y f (u), u (x), dyf, (u) ' (x)dx f (u)du.练习题1、求下列函数的导数。3 2 2(1) y x (x 1)；k 2(4) y In(X x2、求下列隐函数的导 数。(1) ysinx cos (x(2) y2a ) ； (5)ysinr x 1

6、arcta nx 1axe sinbx ；x x；(6)y ()1 xx a(t3、求参数方程y a(l4、求下列函数的高阶导 数。,(n)(l)y x ,求 yy) 0 ；)(g cost)己知e xy '刁)(0)ody0)所确定函数的一阶导数；与二阶导数2 o(50)(2) y x sin 2x,求 y5、求下列函数的微分。 y X：,(X 0)；arcsin xAAx22 X 6、求双曲线、2 aM L在点 b2(2a, J3b)处的切线方程与法线方 程。7、用定义求 (0),其中f (x) 答案：r 3 /2 八 2 ,解：x(X 1)0,/ 3、/ 2(X ) (X3x2(

7、x2 I)2 x32(x2 1)(并讨论导函数的连续性。0.I)2X3(x2 1)X2)2 2 2 3 23x2(x2l)2 2x3(x21) 2x2 2 2x (x 1)(7x3).,、仆xcosx sin x(2)解： 。2XX 解： (ea:s inbx) ae: sin bx bea: cosbxea: (as inbx bcosbx)。(4)解:ln( x Jx2 I)一是 x Vx=：X Jx2 a2 2解:(6)解:解:3、解:(x2a2)X Jx2a2 12xX(arcta n(x 2(x2x工解：公7(J(i1Jx211 2-)1(ZYx11) (x 1)1)(xxin(e

8、1 x)(x iF)xx(l x) (1 x)_两边直接关于X求导得1 ,1 nXsinx y cosx sin(xy cosx sin(x y)sin X sin(x y)将 0代入原方程解得y 1,原方程两边直接关于x求导得ey y(1 X)2y)(1上方程两边关于x再次求导得 ey (y V1,代入上边第一个方程得(0)1, y (0) e 代入上边第二个方程得9-yxy 0dxdt a(1dycost),a Sint ；(0)dtdy dydt as in t dxdx#dta(l cost)2d y d /dy、一夕一)一dt n(esc dx2dt dxdx-±)esc

9、4a2 2 a(l cost)24、 （1）解：y x ； y打l)x依此类推y （n）l)x n, (n1)(2)解: 设u sin2x, v则u*)2ksin(2x1,2,50),2x, v2, v(k)0(k3,4,50)代入莱布尼茨公式，得y'g (x2s in 2x)(50)250sin(2x 50y)9 x,5049219 sin(2x2x50 空 2 48 sin(2x 48 -) 22! 2250x2 sin2x50xcos2x1225sin2x)2解：y(eXhx)Xx (In x 1), dy xx(In xl)dx.（2）解：yvl1VI xx。2x- 登res3

10、(1 X2)2mxdy,VIdxarcsin 2V16、解：首先把点(2a, J3b) 得2x对双曲线用隐函数求导得一x2 xarcs inx3(1 x2)2,2 代入方程左边;a4 azr ab2x0,3b231,即点(2a, T3b)是切过点（2a,圮（b）的切线的斜率为(2a, 73b)2ab273a2b2b73a故过点（2a, J3b）的切线方程 为2b(x 2a)Ma过点(2a, J3b)的法线方程为yJ3b鱼(X 2a) 2bX2SiJ7、解：f（0）lim f(s>x 0f(0)Pm；1 limxsin；0,同理 f (0)0 ；故 f (0) 0ox 0显然 f (X)

11、2xsin*xx 0点的连续性即可。但已知x2cos2xsin- cos1在x 0%连续，因此只需考查f (x)在x xx x1cos-在x 0点不连续，由连续函数的四则运算性质知£伏)在乂 0点不连续。讨论习题：设 f (X) x x (x 3),求 f (X)。求和 Sn x 22x232x3n2xno设函数f (x)在1,1上有定义，且满足X f (x) X X,31 X 1,证明 (0)存在，且f (0) lo讨论习题参考答案：1、解:因为f(X)易知f (x)在开区间对于分段点x 0x"x3)3,必(3，32(xX),'0.,0300,3(3 )内都是可导

12、的；又),) ，3,有f (0)limx 0f(x) f(0)X 0limx 0X“3 X)0Xf (0)0,即 f (0)f(x) f(0)x“x 3)0X 0X2 (X 3) 0 x 3 mx2 (3 X) 0x 3所以除X 3之外f (x)在区间(3x-6x,f (x)0,26x 3x ,2、解：因为x2(1 X X2即f (3)不存在,3(3)内均可导，且有),0) (3,)x 0,(0, 3)12x3x2Sn22x2 3x(l22x32x312x23x3xx(l 2x3x2xxjDxn(1 x)21)1 /n HXnl (nx八n 1(n l)x nx,(x l)2nX (xnxni

13、nxnx(2n23、证：由xf (x)即 f (O)0f(x) f(0)lijm 1n . f(x) f(0) f (°) limxOX 0思考题：若f(U)在U。不可导,n 1 )2nf g(x)在 Xo 处。(1)必可导，(2)必不可导,设g (x)连续，且f (x)思考题参考答案：解：正确选择是(3)i八1)(x)，1(nx 1,可知当八21)x 0时,一,(1 x 1, xx0)由两边夹定理可得X 10 f(0)g(x)在 Xo 可导，且 u。 g (Xo),(3)不一定可导。(x a) 2g (x),求 f (a) o例如：f。处不可导；若取u g(x)(u)X 0处不可导；B|J (1)不正确