高等数学试卷附答案

1、4.题号一二三四五六七八九十总分得分评阅人、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)得分1.2.3.5.由曲线r 2cos所围成的图形的面积是设由方程xy2 2所确定的Bt函数为y y(x),则dy函数y sin2 x的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为Jdx1 x函数y x2cosx在区间0,一上的最大值为 -262144x -x o(x ) onn2 226.nim /I选择题(共7小题，每小题3分，共21分)cosx1.设 f(x)一二1xsin ,xx2 1,A.可去间断点0,则 x 0是 f (x)的 D。0B.跳跃间断点C振荡间断点D.连续点2.设 f(x) 2x 3x2,则当x0时

2、，下列结论正确的是B。3.A.C.f (x)与x是等价无穷小f (x)是比x高阶的无穷小dxA.不存在B. 0B.D.C.f (x)与x同阶但非等价无穷小f(x)是比x低阶的无穷小D.24 .设f(x)具有二阶连续导数，且f (0) 。，lXm0 f (x)1,则下列叙述正确的是AA. f (0)是f(x)的极大值B. f (0)是f (x)的极小值C f (0)不是f (x)的极值D. f (0)是f (x)的最小值5 .曲线y . cost d t的全长为R 2-A. 1 B. 2 C. 3D. 46 .当a, b为何值时，点(1,3)为曲线y ax3 bx2的拐点？ AA. aC.lD.

3、a7.曲线yx的凸区间为3)C.(21n 22)D.()', In 2 'A.(1解：令tx原式ltim0c0st22l)B.(而三、计算题(共7小题，其中第15题每小题6分，第67 题每小题8分，共46分)limet 01nsst (。型)t20(3 分)(6分)2.设函数y(x)由参数方程2、()所确定，求t arctantd2y dx2解：dxd(tarctant)2dln(1 t2)d2y dx2d或 dxdx1 d(l) dt2t t22，(3分)1 dx dt12t1 t21 t24t(6分)x3 xe3./ x 八 2(e 1)解：原式 xd(ex 1)(2 分)

4、xexxexxe-1dx ex 1Jx xe exln-xe 1C (6 分)解:t(t 0),则 x t2,dx 2tdt (2 分)0； 'xxdx2个2tdtt2ln|1 t|5.设曲线f(x)xn 在(1,1)解：Q f (1)n 1nxy n(x 1) 12 t222 dt 2 (t0 1 t011 )dtt 1(6 分)21n3处的切线与x轴的交点为(xn, 0),求ljm (xn)n。n,所以f(x)在点(1,1)处的切线方程为:.(*) (2分)由题意知切线(*)与x轴的交点为(xn, 0),即 0 n(xn 1) 1xn11 一(5 分)n从而可得:e 1 . (6

5、分)n1 nlim(xn)lim (1 )=nn n6.设连续函数f (x)满足f (x) f( x) sin2 x ,求积分I 鼻f (x)sin 2 x dx .解：方程两端同乘sin2x并从 积分到，得： 22又2 f ( x)sin 2 xdx 令 t x22:_ 2 f (t )sin 2 ( t)( dt) f (t)sin 2 tdt (5分)万2由(*)得：I 2f(x)sin2xdx 12I4 12 31-3_. (8分)万22422167.设f (X)连续,F(x)f(tx)dtA (A为常数)，求dF(x)xA知:f(0)00令u tx,t:0u: 0du xdtdtdu

6、可见：F(x)00,f(u)du ,x %分)F (x)x0f(u)duxf(x)f(x)x0f(u)du-2； (6分)xF(0)limx 0F(x) F(0)xxf (x)0 f(u)du所以:F (x),x0. (8 分)四、应用题(共1小题，每小题9分，共9分)设直线y ax(0 a 1)与抛物线y x2所围成的图形为Di ,它们与直线x 图形为d2，若D1、d2同时绕x轴旋转一周得到一旋 确定a的值，使该旋转体的体积最小.解：: D1 :aaxD2 :aax1所围成的转体，试V (a) VV2x4 dxdx由 dV (a)da又由d2V(a)43da2152 _3 ，16a32一a3令 dV (a)da2.(5分)1631.3 21 2_2 3.(7 分)6r0.(9分)五、证明题(共1小题，每小题6分，共6分)i可见：当a 3时，该旋转体的体积最小.3 2得分评阅人且f(x) 0,试证存在设函数f (x)在a ,b上连续，在a , b内可导,b a/口 f ( ) e e得ef ( ) b a证明：设g(x) ef(b)