高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

1、高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1 .两个无穷小的比较设lim f (x) =0,lim g(x) =0 且iim _L(x) =1g(x)(1) 1 = 0 ,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0 g(x),称g(x)是比f(x)低阶 的无穷小。(2) 1丰0 ,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。(3) 1 = 1 ，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) g(x)2 .常见的等价无穷小 当x 一0时sin x x, tan x x, arcsinx 1- cos x xA2/2 , ex-1 x1 x, arccosx

2、 x,1n(1+x) x , (1 +x)a-1 ax二.求极限的方法1 .两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.(夹逼定理)设g(x) w f (x) w h(x)若 lim g (x) = A, lim h(x) = A ,则 lim f (x) = A2 .两个重要公式sinx d公式1 lim 1 x 0 x公式 2 lim(1 x)1/x = e3 .用无穷小重要性质和等价无穷小代换4 .用泰勒公式当x，0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 23nex 1x.o(xn)2!3!n!352n 1XXn x2 2n 1sin x = x 一一 一 . (-1) o(x )

3、3!5!(2n1)!242ncosx =1 . (-1)n - o(x2n)2!4!2n!23nx xn 1 x , nln( 1 x);x - . (-1)- o(x )23n(1 x):1 ：x 1)x2 . ： (? -1).G -(n-1)xn o(xn) 2!n!352n 1x xn 1 x . / 2n 1arctan x = x - -. (-1) o(x )352n 15.洛必达法则定理1 设函数f(x)、F(x)满足下列条件：(1) lim f (x) = 0 , lim F(x) = 0 ; X p0x Po(2) f(x)与F(x)在xo的某一去心邻域内可导，且F'

4、;(x)，0;(3) lim f (x)存在(或为无穷大),则im f (x) = lim f (x)x 凶 F (x)x 汽 f(x) x x f «)这个定理说明：当lim工8 存在时，lim也存在且等于lim上但；当m28 为x ：x° F (x)x a F (x)x K0 F (x) x g F (x)无穷大时，lim 里 也是无穷大.x 代 F (x)这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达(L H ospital )法则.三型未定式Q0定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：(1) lim f (x) =°a

5、 , lim F (x) = ; x 凶x 0(2) f(x)与F(x)在x°的某一去心邻域内可导，且F'(x)/0;(3) lim f ,(x)存在(或为无穷大)，则lim23 = lim上野x 凶 F (x)x，x° F(x) x 刈 f (x)注：上述关于xt x0时未定式吸型的洛必达法则，对于xt g时未定式三型同样适用. 00Q0使用洛必达法则时必须注意以下几点：(1)洛必达法则只能适用于“ e”和“三”型的未定式，其它的未定式须先化简变形0成“0”或“望”型才能运用该法则；0二(2)只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；(3)洛必达法则的条件是充分的，但

6、不必要.因此，在该法则失效时并不能断定原极 限不存在.6 .利用导数定义求极限基本公式.f(x°Sx)-f(x0)= f'(x0)(如果存在)-x0x7 .利用定积分定义求极限1nk1基本格式lim-£ f() = Jf(x)dx (如果存在)n-':':n kmn0三.函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：(1)第一类间断点设Xo是函数y = f (x)的间断点。如果f (x)在间断点Xo处的左、右极限都存在，则称Xo是 f (x)的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极 限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可

7、去间断点和跳跃间断点。(2)第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四闭区间上连续函数的性质在闭区间 a, b 上连续的函数f (x) ，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1.(有界定理)如果函数f (X)在闭区间a, b上连续，则f (x)必在a, b上有界。定理 2 (最大值和最小值定理)如果函数f (x) 在闭区间 a, b 上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值 m 。定理 3 (介值定理)如果函数f (x) 在闭区间 a, b 上连续，且其最大值和最小值分别为 M 和m,则对于介于mfDM之间的任何

8、实数c,在a, b上至少存在一个七,使得f (己)=c推论：如果函数f (x)在闭区间a, b上连续，且f (a)与f (b)异号，则在(a, b)内至少 存在一个点己，使得f (己)=0这个推论也称为零点定理第二章导数与微分一.基本概念1 .可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导二.求导公式 ©'=% (sin0的方二58'打什) (sec , = sec xtan x(9) S)'"% %nV1gg =-(H)xiaa.v (arcsm x)-(13)M-/ /(田)一卬产、(ccsx/= -stn96万)=一由4 (esc

9、X)t = CSCXCOt(12)(In x)r =# P卡(14)(arccos 力,=J1 丁(iU Ltdll X/ =t(15)1+Xq(即回=L1+工，设我，v =，*)炯导，如3)=3 «是常数)户(3) (kv)r = irv+ uvj u uv uv(shx)*1 = dut+i(chj(y = shxgy =!_dr5“(arslucV：=： j(archly =-1=信.Lp(arttx)=:1 JC* <j三.常见求导2 .复合函数运算法则3 .由参数方程确定函数的运算法则设x ="t) , y=中确定函数y = y(x),其中6(t),邛

10、9;(t)存在，且*(t) w 0,则 或=2° dx ,(t)4 .反函数求导法则设y = f (x)的反函数x = g(y),两者皆可导，且f ' (x)丰0则 g'(y)f'(x)f'(g(y)(f'(x)=0)5 .隐函数运算法则设y = y(x)是由方程F(x, y) = 0所确定，求y'的方法如下：把F(x, y) = 0两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再 解出y'的表达式(允许出现y变量)6 .对数求导法则(指数类型 如y = xsinx)先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导

11、数 y'。对数求导法主要用于：幕指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数(注意定义域。关 于幕指函数y = f (x) g (x)常用的一种方法,y = eg(x)lnf(x)这样就可以直接用复合函数运 算法则进行。7 .求n阶导数(n>2 ,正整数)先求出y' , y'',，总结出规律性，然后写出y(n),最后用归纳法证明。有一些常用 的初等函数的n阶导数公式(1) y=ex,y(n)=exx (n) xn(2) y =a , y =a (ln a)(3) y =sinx, y(n) =sin(x+:)(n)/ n (4) y=cosx, y =cos(x

12、+ ) 2(5) y =lnx, y=(_1)nJ1(n 1)!x两个函散乘积的n断存数有集布尼经公式A-0(五) = #) ,其中 J ， 上! |丹一十 K卜"(|工Wk I修役列廿和l，(T)都花S阶可，第三章微分中值定理与导数应用1 .罗尔定理设函数f (x)满足(1)在闭区间a, b上连续；(2)在开区间(a, b)内可导；(3) f (a) = f (b) 则存在七C(a, b),使得f '(己)=02 .拉格朗日中值定理设函数f (x)满足(1)在闭区间a, b上连续；(2)在开区间(a, b)内可导；则存在己C(a,b),使得f(b) -f(a) = f

13、9;信)b - a推论1.若f (x)在(a, b)内可导，且f ' (x)三0,则f (x)在(a, b)内为常数。推论 2.若 f (x) , g(x) ft (a, b)内皆可导，且 f ' (x)三 g' (x),则在(a, b)内 f (x) = g( x)+ c,其中c为一个常数。3 .柯西中值定理设函数f (x)和g(x)满足：(1)在闭区间a, b上皆连续；(2)在开区间(a,b)内皆可导；且g'(x) 丰0则存在士 (a, b)使得 f (b) - f (a)= f (一)(a<b)g(b) -g(a) g'()(注：柯西中值定理

14、为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g(x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。)四.泰勒公式( 估值 求极限(麦克劳林)定理1 .(皮亚诺余项的n阶泰勒公式)设f (x)在0 x处有n阶导数，则有公式幻=工 r J +凡 其中 当卜)=。卜 一，J义* -亚诺余项 定理2 (拉格朗日余项的n阶泰勒公式) 设f (x)在包含0 x的区间(a, b)内有n+1阶导数，在a, b上有n阶连续导数，则对xea, b,有公式I.-M,国中及卜)=要桦(彳-方”伊+ ”，称为拉格朗日余项上面展开式称为以0(x)为中心的n阶泰勒公式。当xo=0时，也称为n阶麦克劳林公式。常用公式(前8个)sin

15、jt =4（-十丁川 霓（5十年+pBiB+, A* +一=工 （一9+就）2?也!（-1丫+ t：工°川+,、H E （叫+心）（加+ 1）1c（切！+ JT - - +）+,JT £ （ 1,1123“41«=丁 （-1）x' = 1-X + J3 -jr1 +1-' （-1） x11 + 1、H E （1,1）1+x餐f1 产 -a（r-l） （a-+D I -仪戊”/既立一 Qf+I）in（14-XJ = 1+ > Jf =1 +登上+:； +-1 +X +、J；g-L）用.印!2!力.!uclufi A = V -J：'11

16、*1 =工 一 1工 j!/ 4- T ?）- 戛"，4M （1,11士2左4135 加+1''arcsin x =（J- ，冷洞 I 5-735*I2同）！ 2PH, jcr+x +jc +x +十x 十/ e fLll 44便!（工度 + 1）64011211524”（睦）<2兜十 1）+工 w - L1）国式-4丫（1-1）加一一二以之 八 仃 八 陵.乙i加之内，±18442 制95图 小 市市3153152335155925608107563851 招 751A/ + 73 f, 14WH7 6M80031 2 1川。6538718/1003

17、，父E （0/ / / /内一十二一一十,卡7十一 ”二七（一8,-0）3t 5!7!（24-1）!0 0制刊弓hf * （抗+i）rJfW jfi）近去净付平产b"为上八匹仁31531*2835155925Mg（一炉）!、x3前¥ = > 工石_- 丁 一小一白.（柞0+1）6354C 1121152升2 + 1告。1）"（2 切环旧加拉一工产=Iu2a-2iiM T-A432,”288+J小It£i0用5-zL-+.s|x|<l& 十1X+ 一* +HF " 一叶251357五.导数的应用一.基本知识设函数f （X）在X

18、o处可导，且Xo为f（X）的一个极值点，则f'（Xo）=0。我们称X满足f'（Xo）=0的X。称为f（X）的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。极值点判断方法1 .第一充分条件f (x)在x0的邻域内可导，且 f '(X0)= 0 ,则若当x < X0时，f '(x) A 0 ,当 xx。时，f'(x)c0,则x°为极大值点；若当xmx0时，"(x)<0,当x> x0时， f '(x) >0 ,则x°为极小值点；若在x&#

19、176;的两侧f '(x)不变号，则x0不是极值点.2 .第二充分条件f (x)在x0处二阶可导，且f '(x。)= 0 , f "(x0)丰0 ,则若f ”(x0) < 0,则x0为极 大值点；若f ”(%) A 0 ,则x°为极小值点.3 .泰勒公式判别法(用的比较少，可以自行百度)二.凹凸性与拐点1 .凹凸的定义设f (x)在区间I上连续，若对任意不同的两点1 2 x , x ,包有/比4/(>“/”工卜3匹j+则称f (x)在I上是凸(凹)的。在几何上，曲线y = f (x)上任意两点的割线在曲线下(上)面，则 y = f (x)是凸(凹

20、)的。 如果曲线丫 = f (x) 有切线的话，每一点的切线都在曲线之上(下)则 y = f (x) 是凸(凹) 的。2 .拐点的定义曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。3 .凹凸性的判别和拐点的求法设函数f (x)在(a, b)内具有二阶导数f''(x),如果在(a, b)内的每一点x,包有f''(x) > 0 ,则曲线y = f (x)在(a, b)内是凹的； 如果在(a, b)内的每一点x,包有f''(x)< 0,则曲线y = f (x)在(a, b)内是凸的。求曲线y = f (x)的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数f

21、''(x)；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点x1,x2,.xk ;第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点 的横坐标；第四步：求出拐点的纵坐标。三.渐近线的求法1.垂直渐近线行 htn /(t) = oo 或 lim f(1)=qoXHf-I则耳=B为曲线尸=f的一条垂直渐近线。2.水平新近线若 Em 其）=b ,或 liin = b则尸=8是曲线 = /（工）的一条水平渐近线.3,斜渐近线若 lim ' = q # 0 r Imi /（幻一 s = b 宣 T+a： XJfTY或 liru ' ） = a

22、 羊 0 + liui/（.Y）-d.r = b 则尸=G + b是曲线尸=f（X）的一条斜渐近线.四.曲率设曲线y = f（x），它在点处的曲率尸k = T-匕FT，若ks则称& = 一为点）平夫的曲率半径，在Af点的法绛上,凹向这一边取一点D.使|MD卜E,则称D为曲率中心,以D为圆心，及为半 径的圆周称为曲率期I。第四章不定积分.基本积分表:ftgxdx = In cosx +Cfctgxdx = ln sinx +Cfsecxdx =ln secx +tgx +C.与 cos x 黑 sin x2二 sec xdx = tgx C2=csc xdx = -ctgx Csecx

23、tgxdx = secx Cfcscxdx =ln cscx -ctgx +Cdxx -adx1x-2=-arctg-Ca xaa1 , x -a=In2a x +acscx ctgxdx - - cscx Cxx a _axdx =CIn ashxdx = chx Cchxdx = shx Cdx 11axe2 'lnCa -x 2a a-xdx22a -x.x 心= arcsin- C adx22x 二 a=ln(x . x2 a2) C22nnn -1 1= sin xdx = cos xdx =I n/oon2 x2 a2dx = *x2a2 ln(xx2a2) C22, 2i

24、2 r22 . x 22 al , r22 , _|x -a dx= x -a In x + vx -a +C 222 2 2 x 2 2 a . x- a -x dx -. a - x arcsin C22 a二.换元积分法和分部积分法换元积分法(1)第一类换元法(凑微分)：f*(x)中(x)dx = 7 f (u)du1 u4(x) 第二类换元法(变量代换)：f(x)dx= ftp(t)cp H(t)dtt=cp_1(x) 分部积分法udv = uv - vdu使用分部积分法时被积函数中谁看作 u(x)谁看作v'(x)有一定规律。记住口诀，反对幕指三为u(x),靠前就为u(x),例

25、如1f ex arcsin xdx ,应该是arcsin x为u(x), 因为反三角函数排在指数函数之前，同理可以推出其他。三.有理函数积分有理函数:,其中P(x)和Q(x)是多项式简单有理函数:f(x) =P(x)1 xf(x)P(x)1 x2f(x) =f(x) =P(x) (x a)(x b) P(x) (x a)2 b2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）第五章定积分.概念与性质b1、定义:f (x)dx = lim % f ( i) xia0 一i =12、性质：（10条）j f(x)dx = -£ f(x)dx(2)f =。Juh.(T)+ 月/ (t)cZy =

26、k(3 )(4)f /G）小（。也可以在|口,“之外）(5)设"WB, /卜)工 g(x) (n K x K 3),则 (6)设<分，ni < /(x)<M (<7 < x < fe)f 则b f(x)dx<M(b-a)£/(r)rfx <£|/(xpx（8）定积分中值定理设/在卜上连续，则存在fxdx = f£b-a；定义:我们称- b - d/卜依为/用在储间上的积 Ja分平均值(9)奇偶函数的积分性质fxix = 0 (/奇函数)(/(彳四二2，f(x)dx (/偶函数)J-白(10)周期函数的积分性

27、质设/(.*)以丁为周期，为常数，则/(班=£ f(x)dx3.基本定理x变上限积分：设(x)=If (t)dt ,则(x) = f (x)推广 ad：(x)菽：丁出川：(x)：-f，便bN-L公式：若F (x)为f (x)的一个原函数，则f (x)dx = F (b) - F (a) a4.定积分的换元积分法和分部积分法1 .定积分的换元积分法设/在卜卜.连续，若变量替换1 = 0满足(1) ”(r)在反#(或/?_“)上连续：(2)0(1)二"，(pp - b ,且当a玉FE/5时, a <?()=b ,则 £ /(*依二J： /尹(，加'卜股2

28、 .定积分的分部积分法设/y(x)在口，同上连续,则£ ,心卜心四="(工卜(“：- £/(%卜(工田 域J (£)t7y(K)= (A)(1)；J O加用二.定积分的特殊性质1 .对称区间上的函数的定枳分性质iSf (x)在卜a,可上连续，则K)dx=j：/(N)+f t-x)dx2 .三角函数定积分性质JT寻(1)i殳Rk)在0.】卜一连续* 则j：/(siTixdx-j/(cosx) dx±设"x)在0,l上连续. !|J /(smx) dx=2j/(sinx) dx设网幻在O1 连续. Mlj£ xf(sinx) d

29、x=-j /(sinx) dK= nJ；/(sinkdx(4)点火公式3 .周期函数定枳分的性质乂)dx=£/(x> dxJ：/g dx=n£7(x) dx第六章 定积分的应用.平面图形的面积b.12.极坐标：A =； i2G)di2 ,工二.体积1.旋转体体积：a)曲边梯形y = f (x), x= a,x = b,x轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积：b 2Vx = a,f 2(x)dxb)曲边梯形y = f (x), x = a, x = b, x轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积: bVy = 1 2nxf (x)dx(柱壳法)a三.弧长1 .直角坐标：s = J Ji + f(x) 2 dx a2 .参数方程：s;)12 + ) 1t)2出极坐标：s = .一 !)】2 .1：.(1 ) 1 2d第七章微分方程一.概念1 .微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中