高考数学北师大(理)一轮复习课件：选修4-5不等式选讲

1、知识梳理选修45不等式选讲随堂巩固1 绝对值三角不等式定理1:若”0是实数，则“+biw M + Ibl ,当且仅当肪三0时.等 号成立；(2)性质；历初历土闻；(3)定理 2:若 a : c 是实数，则 ltz-cl W 1/bl + IAcl ,当且仅当(“”)(b c)$O时等号成立.知识梳理2绝对值不等式的解法含绝对值的不等式Ixl S与1划>”(>0) 的解法：划xl 或xOa(2) lax+Z?l Wc(c>0)和 lax+bl 士c(c>0)型不等式的解法： ®ax+blWcO - cWt/x+Z?Wc : (21ax+b |2cO ax+b 三

2、 c 或 ax+Z?W-c (3) x-a | + x-b 三 c(c>0)和 Lx-al + Lx"l Wc(c>0)型不等式的解 法：少I用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思 想；前I用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程及数 形结合的思想.知识梳理3 基本不等式定理1：设则d+tr辿,当且仅当5多时，等号成立.定理2:若耳6为正数，则学 > 彳而，当且仅当3%时，等号成立.定理3:若26,。为正数，贝/+?+' >亦，当且仅当”=6=。时，等号成立.定理4:若如皿Zv，如为刀个正数

3、，贝I叟也+_孚如血务，当且仅当di=d2=dn时，等号成AL.4 不等式证明的方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.考点自诊(1) 判断下列结论是否正确,正确的画V”,错误的画“X”.对id“iwi“i+ibi,当且仅当 出阳时,等号成立.(V)(2) a+b | + a-b 2a ( V )(3) 呸几何意义是表示数轴上的点x至IJ点的距离之和.V)(4)用反证法证明命题七0,c全为(F时假设为06全不为(F.随堂巩X)(V)(5)若 m-a+lb. n-a+kf +1，贝U 三力口 考点自诊2 .若的-cK|6|,则下列不等式正确的是（D）A, ab+c B. ac-bC.

4、lul>IM-lcl D.lul<IZ?l + Icl解析 MIJcIWI/cMbl,即 kdvlbl + Icl ,故选 D-3 . (2018山东青岛第二次模拟)已知的解集是xl3vrv9,则实数“0的值是(D )A. a=-3, b=63. b=-6C. ci =6, b=3D.a 二 3 上二 6解析：由题意得所以a-bxa+b,因为<b的解集是xl-3vx<9,所以 a-b=-3 且 cz+Z?二 9 ,所以a3. b6.故选D.考点自诊4若存在实数兀使Izl + lrllW3成立，则实数的取值范围是(D )A.21B- - 2,2C.-2,3D.-2,4解析

5、：由 x-a I + lx-11 I (x-tz)-(x由)I = IV-11,不等式 Ix-ul + lx-11A3 有解，可得Iu-llv3,即.3W/1W3,求得/v4,故选D.5 若不等式W+alW2在兀曰1,2 时恒成立,则实数d的取值范围 是30 .解析：:h+olW2, .-2-6/2-6/.：,不等式lx+al W2在1 , 2 时怛成立，随堂巩固( 2-a < 1一，解得dG卜3皿：实数d的取值范围是卜30 1.(2-a >2.'考点1绝对值不等式（多考向）考向1绝对值不等式的解法例1 （ 2018全国1,文23 ）已知乐）=1兀+11如II.当4=1时，

6、求不等式/>1的解集；若兀丘(0,1)时不等式心)X成立，求a的取值范围.考点1|2,xS-1,解当a=/时刀=即兀0彳 a-】v%v1,（2,兀 > 1.故不等式兀劝>1的解集为卜X ）寸.（2）当*6（。,1）1*以|-匕£4|“成立等价于当兀6（。, 1）时loxJIvl .、 一、 成乂.若 oWO,则当 xG （0,1） |a-11A1;若历，|<7的解集为Ovxv-,所以三三1 ,故0voW2考点1综上皿的取值范围为（0,2.考点1考点1对点训练1 （ 2018湖南湘潭三模，23 ）已知函数/二I3rllj 2x+ll+d求不等式心）>a的解

7、集；若恰好存在4个不同的整数弘使得心）V0,求“的取值范围.解 由！Iffl>/#13x-H>12x+1L不等式两边同时平方Jt9x2-6x+ 1 >4x2+4x+1,即5x2> 1 Ox,解得xO或兀>2,所以不等式心）刃的解集为（。0） U （2,+©2-x. x <1 1(2)设 g(x)二 I3x-Il-I2x+Il=< -5%,- < x < -x-2, x )作出g(x)的图像，如图所示, 因为 g(0)g(2)=0 , g(3)vg(4)=2vg(- I)二 3,又恰好存在4个不同的整数小使得f(n) <0.所

8、以久；°，即£舄；聘故。的取值范围为卜2,-1).考向2利用绝对值三角不等式求最值例2(2018皖江八校5月联考，23)已知函数/二13炉21若不等式y(x+|FiM用J解集为(-罔u百,+8),求实数/的值；若不等式f(x)< 13x+11 +3y+/n3V对任意xj恒成立，求实数，的取值范围.考点1 老点2解(l)/(x+|)=l3xl,由条件得13兀1$1/小,得xW-乎或兀2冒,:罟二,即方=。或t=2.而 13x-2 -原不莘式等价于 倒-2|-阳口 ?加-"恒成立,13X+11WI (3%- 2)(3x+1)1=3, : 3 W3)4 加 3);

9、则加 233-3)丁叵成立， 13>(3-3>)max=A, :口岛，当且仅当y=log3|时等号成立.解题心得求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种F)利用绝 对值的几何意义;(2)利用绝对值三角不等式，即1“1 + 1勿21土勿Mk/1-lbl;利用零点分区间法，去绝对值转化为分 段函数求解.考点1对点训练2（2018山东济南三模，23）已知函数=lx-ll.解不等 式沧）+几2兀+5）三兀+9;若。>00>0,且* +半二2,证明上七）“7"分并求CLuZf（x+a） +f（x-b）- M 0 的值.黑 f (x) +f (2x+5)=xT + 2x+

10、4 x+9,当 xW- 2 时，不等式为 4x<-12,. : x<-3,/.xG(-oo,-3;当-2<xv|时，不等式为529,不成立；当兀三1时,不等式为2兀±6 , 兀三3 ,hW 3,+oo),综上所述，不等式的解集为(心厂3 U 3,+©(2) f (x+a)+f (x-b)=x+a-l | + x-b-l | x+a-1 - (x-b9 1)=a+b, a+b=(a+b) (± + |)=| + ± + A> |+2(当且仅当：二务即 b=2a 时, 成立.考点12a b b-2 a, 1 ±2 v oj

11、3 得石+厂1,b =考点1考向3绝对值不等式的综合应用例3 （ 2018全国3,文23 ）设函数心）二I2X+1I + IQ1L（1 ）画出丁二介兀）的图像;当xG0,+oo ）时*劝£似+。求d+b的最小值.x+ 2,-| < x <3x. x,的图像如囱所示.(2)由知的图像与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直 线斜率 的最大值为3,故当且仅当d±3且b±2时几c)W必+b在0,+。)成立, 因此a+b的最小值为5.解题心得解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值, 化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题 的常用方法

12、.对点训练3 （2018湖北华中师大附中5月押题，23）已知函数 12x-IIG R ）.若心）在卜1,2 上的最大值是最小值的2倍，解不等式/三5；1(2 )若存在实数x使得/v处无+1 )成立，求实数G的取值范 围.()=-0 : /(X)nKix : 3- a 二-2/解得不等式«x)25,即I2x-ll22,解得或故不等式沧)三5的解集为* S身或咒I1由 /(x)v 才(兀+1),得 6/>I4x-2M2x+lI，令 a(x)=l4x-2l-l2x+ll.问题转化为 a>g(x)min。解：用卜1,2,=%1)二/二 3q-2% + 3.x <又 g(x)

13、=< -6x+ 1,- < % < -,12x-3, x)故g(x)min=g?)=2则a>-2,所以实数0的取值范围为(-2,4-00).考点2不等式的证明例4已知a>0, b>0.a+1j =2.证明:（“+b）（小+戾）上4;(2)a+bW2-解(1) (a+b) (a+1) =a+al)+a b+l)=(«3+Z?3)2- 2a3Z?3+aZ?(tz4+Z24)=4+6zZ7(6z2-Z?2)2A4.(2)0为(a +b)3 =a +3ab +3ahf + /9Q=2+3”b(a+b)W2+坐当(“+>=2+娱/当a=b时，取等号，

14、所以 Q+Z/a因此 a+bW2.解题心得不等式证明的常用方法是：比较法、综合法与分析法.其 中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，与绝对 值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式证明过程中一方面要 注意不等式成立的条件,另一方面要善于对式子进行恰当的转化、 变形.对点训练4(2018宁夏银川考前模拟,23)已知a>0, b>0.才+6=a+b. 证明：(1)+/?)2£2(以+护)；(2) (d+l)+l)W4.解 9因为(a+V-2(d +6) =2abY-心-(a-b广:0.所以Q历;2(才+6).(2)由(1)及 a+l)=a+b 得 t/+Z?W2因为 + 1 )+1) W+坷2 J(a+l)+2+l)2 二于是(d+l)+l)W4要点归纳小结L含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法分离参数法:运用比)Wa?Ax)max W金)N”O/Wmin沫”可解决 恒成立中的参数范围问题.数形结合法:在研究不等式/(x)Wg(xKl成立问题时，若能作出两 个函数的图像，则通过图像的位置关系可直观解决问题.2 .含绝对值不等式的证明，可用“零点分段法”讨论去掉绝对值符 号，也可利用重要不等式历历历| +仍|及其推广形式ld+t/2+, , , +