《模煳数学简介》ppt课件

1、模糊数学简介模糊数学简介 模糊数学模糊数学(Fuzzy mathematics, 弗晰数学弗晰数学 )是处是处理模糊性问题的数学分支理模糊性问题的数学分支. 这里所谓的这里所谓的“模糊是相模糊是相对于对于“明晰而言的明晰而言的, 而所谓的而所谓的“明晰即非此即彼明晰即非此即彼.明晰数学数学的根底是经典集合论明晰数学数学的根底是经典集合论: 一个元素一个元素a, 要要么属于集合么属于集合A, 要么要么属于要么要么属于A的余集的余集, 二者必居其二者必居其一一. 但是并非一切的景象和概念都象经典集合论这样但是并非一切的景象和概念都象经典集合论这样“明晰明晰, 有许多概念没有明确的界限有许多概念没有

2、明确的界限, 特别是在人特别是在人类的思想与言语中，例如类的思想与言语中，例如: 高矮、胖瘦、美丑等高矮、胖瘦、美丑等. 模模糊数学的出现与计算机智能模拟亲密相关糊数学的出现与计算机智能模拟亲密相关. 1965年年, 美国加利福尼亚大学自动控制专家美国加利福尼亚大学自动控制专家L. A. Zadeh第一次提出了模糊性问题第一次提出了模糊性问题, 从不同于经典数学从不同于经典数学的角度的角度, 研讨数学的根底集合论研讨数学的根底集合论, 给出了模糊概念的给出了模糊概念的定量表示方法定量表示方法, 发表了著名的论文发表了著名的论文“模糊集合模糊集合 (Fuzzy sets). 这篇论文的问世这篇论

3、文的问世, 标志着模糊数学的诞标志着模糊数学的诞生生. 随着研讨的深化随着研讨的深化, 模糊数学的内容日益丰富模糊数学的内容日益丰富, 其其思想与方法正在广泛地浸透到科学和技术的很多领思想与方法正在广泛地浸透到科学和技术的很多领域域, 获得了很多重要成果获得了很多重要成果, 例如例如: 模糊识别、模糊决模糊识别、模糊决策、模糊控制、预告预测等策、模糊控制、预告预测等. L. A. Zadeh是美国工程科学院是美国工程科学院 院士院士, 1921年年2月出生在前苏联月出生在前苏联 的阿塞拜疆的阿塞拜疆, 1942年毕业于伊年毕业于伊 朗的德黑兰大学朗的德黑兰大学, 1949年获美年获美 国哥伦比

4、亚大学电机工程博士国哥伦比亚大学电机工程博士 学位学位, 现任伯克利加利福尼亚现任伯克利加利福尼亚 大学电机工程与计算机科学系大学电机工程与计算机科学系教授教授, 曾多次在一些大学和公司做访问研讨曾多次在一些大学和公司做访问研讨, 其中包括其中包括MIT和和IBM实验室实验室.他的著名论文他的著名论文 L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and control, 1965, 8(3): 338-353. 第一章第一章 模糊集合模糊集合1.1 1.1 经典集合经典集合1,;( )0,.AxAxxA 经典集合的元素彼此相异经典集合的元素彼此相异, 即无反复性即

5、无反复性, 并且并且边境清楚边境清楚, 即一个元素即一个元素x要么属于集合要么属于集合A(记作记作xA), 要么不属于集合要么不属于集合(记作记作xA), 二者必居其一二者必居其一. 集合集合A的特征函数：的特征函数：集合的表示法：集合的表示法： (1)枚举法；枚举法；(2)描画法，描画法，A=x | P(x). AB 假设假设xA，那么，那么xB； AB 假设假设xB，那么，那么xA； A=B A B且且 A B. 集合集合A的一切子集所组成的集合称为的一切子集所组成的集合称为A的的幂集幂集, 记为记为2A. 并集并集AB = x | xA或或xB ； 交集交集AB = x | xA且且xB

6、 ； 设选集是设选集是X, AX, 余集余集Ac = x | xX, xA .集合的运算规律集合的运算规律 幂等律：幂等律： AA = A AA = A， AA = A AA = A； 交换律：交换律： AB = BA AB = BA， AB = BA AB = BA； 结合律：结合律：( AB )C = A( BC )( AB )C = A( BC )， ( AB )C = A( BC ) ( AB )C = A( BC )； 吸收律：吸收律： A( AB ) = A A( AB ) = A， A( AB ) = A A( AB ) = A； 分配律：分配律：( AB )C = ( AB )

7、C = ( AC )( BC );( AC )( BC ); ( AB )C = ( AB )C = ( AC )( BC );( AC )( BC );0-1律：律：AX = X ， AX = A ； A = A ， A = ；复原律：复原律： (Ac)c = A ；对偶律：对偶律： (AB)c = AcBc， (AB)c = AcBc； 排中律：排中律： AAc = X， AAc = ,其中其中X为选集，为选集， 为空集为空集.集合运算的特征函数表示集合运算的特征函数表示 ( )( )( );( )( )( );( )1( ).cA BABA BABAAxxxxxxxx 这里这里表示取大运

8、算表示取大运算, 表示取小运算表示取小运算.集合的笛卡儿积：集合的笛卡儿积： X Y = (x , y )| x X , y Y .映射映射 f : X Y二元关系二元关系 X Y 的子集的子集 R 称为从称为从 X 到到 Y 的二元的二元关系关系, 特别地，当特别地，当 X = Y 时，称之为时，称之为 X 上的上的二元关系二元关系. 二元关系简称为关系二元关系简称为关系. 假设假设(x , y)R, 那么称那么称 x 与与 y 有关系，有关系，记为记为R (x, y) = 1； 假设假设(x , y )R, 那么称那么称x与与y没有关系，没有关系，记为记为R (x, y) = 0. 映射映

9、射 R : X Y 0,1实践上是实践上是 XY 的子集的子集R上的特征函数上的特征函数.关系的矩阵表示法关系的矩阵表示法 设设X = x1, x2, , xm,Y=y1, X = x1, x2, , xm,Y=y1, y2, , yn, y2, , yn, R R为从为从 X X 到到 Y Y 的二元关系，记的二元关系，记rij =R(xi , yj )rij =R(xi , yj )，R = (rij)mR = (rij)mn n，那么那么R R为布尔矩阵为布尔矩阵(Boole matrix)(Boole matrix)，称为，称为R R的的关系矩阵关系矩阵. . 布尔矩阵是元素只取布尔矩

10、阵是元素只取0 0或或1 1的矩阵的矩阵. .关系的合成关系的合成 设设 R1 R1 是是 X X 到到 Y Y 的关系的关系, R2 , R2 是是 Y Y 到到 Z Z 的关系的关系, , 那么那么R1R1与与 R2 R2的合成的合成 R1 R1 R2 R2是是 X X 到到 Z Z 上的一个关系上的一个关系. .(R1 R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY 关系合成的矩阵表示法关系合成的矩阵表示法 设设 X = x1, x2, , xm, Y = y1 , X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z = z1, z2,

11、 , zn,y2 , , ys, Z = z1, z2, , zn,且且X X 到到Y Y 的关系的关系R1 = (aik)mR1 = (aik)ms s，Y Y 到到Z Z 的关系的关系R2 = (bkj)sR2 = (bkj)sn n，那么那么X X 到到Z Z 的关系可表示为矩阵方式：的关系可表示为矩阵方式：R1 R1 R2 = (cij)m R2 = (cij)mn n，其中其中cij = (aikbkj) | 1ks, R1 cij = (aikbkj) | 1ks, R1 R2 R2 称为矩阵的布尔乘积称为矩阵的布尔乘积. . 例例 设设 X =1, 2, 3, 4, Y = 2,

12、 3, X =1, 2, 3, 4, Y = 2, 3, 4, Z = 1, 2, 3, R1 4, Z = 1, 2, 3, R1 是是 X X 到到 Y Y 的关系的关系, , R2 R2 是是Y Y 到到 Z Z 的关系的关系, ,R1 =(x, y) | x + y = 6= (2,4), (3,3), (4,2),R2 =(y, z) | y z = 1= (2,1), (3,2), (4,3),那么那么R1与与 R2的合成的合成R1 R2=(x, z) | x + z = 5=(2,3), (3,2), (4,1).1000001010100R 2100010001R 等价关系：设

13、等价关系：设R为为 X 上的关系上的关系, 假设满足假设满足 (1) 自反性：自反性： X 中的任何元素都与本人有关中的任何元素都与本人有关系，即系，即R(x, x) =1； (2) 对称性：对对称性：对X中的两个元素中的两个元素x, y, 假设假设x 与与y有关系有关系,那么那么y与与x有关系有关系,即假设即假设R(x, y) =1，那么那么R(y, x) = 1； (3) 传送性：对于传送性：对于X中的三个元素中的三个元素x, y, z，假，假设设x与与y有关系，有关系，y与与z有关系，那么有关系，那么x与与z有关有关系，即假设系，即假设R(x, y) = 1,R (y, z) =1，那么

14、，那么R(x, z) = 1.那么称那么称R为为X上的等价关系上的等价关系. 设设 R R为为 X X 上的等价关系上的等价关系. . 假设假设(x, y) (x, y) R,R,即即x x与与y y有关系有关系R, R, 那么记为那么记为 x x y. y.集合上的等价类集合上的等价类 设设 R R是是X X 上的等价关系，上的等价关系，x xX. X. 定义定义x x的等价类：的等价类：xR = y | yxR = y | yX , y X , y x .x .集合的分类集合的分类 设设 X X 是非空集合，是非空集合，Xi Xi 是是 X X 的非空子集族，假设的非空子集族，假设Xi =

15、 XXi = X，且，且XiXj =XiXj = (i (i j ) j )，那么称集合族那么称集合族 Xi Xi 是集合是集合 X X 的一个分类的一个分类. .(1) 对恣意对恣意 x X，xR非空；非空；(2) 对恣意对恣意 x, y X，假设，假设x与与y 没有关系没有关系R，那么那么xRyR = ；(3) X = x X xR . 定理定理 集合集合X上的等价关系上的等价关系R可以确定可以确定X的一个分类的一个分类. 即即证明证明: (1)由于由于R具有自反性，所以具有自反性，所以x xR, 即即 xR非空非空.(2) 假设假设 xRyR , 取取z xRyR，那么那么z与与x有关系

16、有关系R，z与与y也有关系也有关系R. 由于由于R具有对称性，所以具有对称性，所以x与与z有关系有关系R，z与与y也有也有关系关系R. 又由于又由于R具有传送性，具有传送性，x与与y也有关也有关系系R. 这与题设矛盾这与题设矛盾.(3) 显然显然.1.2 1.2 模糊集合及其运算模糊集合及其运算模糊集合与隶属函数模糊集合与隶属函数 设设X X是选集是选集( (或论域或论域) )，称映射，称映射A A：X0,1X0,1确定了一个确定了一个X X中的模糊子集中的模糊子集A A，A(x)A(x)称为称为A A的的隶属函数，它表示隶属函数，它表示x x对对A A的隶属程度的隶属程度. . 当映射当映射

17、A(x)A(x)只取只取0 0或或1 1时，模糊子集时，模糊子集A A就是经典子集，而就是经典子集，而A(x)A(x)就是它的特征函数就是它的特征函数. . 可见经典子集就是模糊子集的特殊情形可见经典子集就是模糊子集的特殊情形. .模糊集合的表示模糊集合的表示 设设X X是选集，是选集，A(x)A(x)是模糊集合是模糊集合A A的隶属函的隶属函数数. . 假设假设X X是有限集合或可数集合是有限集合或可数集合, , 那么将那么将模糊集合模糊集合A A表示为表示为();iiA xAx 假设假设X是无限不可数集合是无限不可数集合, 那么将模糊集合那么将模糊集合A表示为表示为( ).A xAx X中

18、的一切模糊子集记为中的一切模糊子集记为F (X), 显然显然F (X)2X. 例例 设论域设论域X = x1 (140), x2 (150), X = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(190)(单位：单位：cm)cm)表示人的身高，假设表示人的身高，假设X X中中模糊集合模糊集合A=“A=“高个子高个子 的隶属函数的隶属函数A(x)A(x)定定义为义为那么那么A A表示为表示为140( ),190140 xA x 12345600.20.40.

19、60.81.Axxxxxx 例例 设论域设论域X = 0, 100X = 0, 100表示年龄的集表示年龄的集合，合，X X中模糊集合中模糊集合A=“A=“年老年老 和和B=“B=“年轻年轻的隶属函数可分别定义为的隶属函数可分别定义为120,050,( )501,50100;5xA xxx 121,025,( )251,25100.5xB xxx x1A(x)x1B(x)A=“年老年老B=“年轻年轻 例例 设设X 中元素是各种单连通凸区域中元素是各种单连通凸区域x, 以以光滑的封锁曲线为边境光滑的封锁曲线为边境, 用用l 表示边境的周长表示边境的周长, S表示区域的面积表示区域的面积, 模糊集

20、合模糊集合A=“圆的程度圆的程度, 可定义可定义A的隶属函数为的隶属函数为24( ,).SA l Sl 常用的隶属函数常用的隶属函数 (1) S型函数型函数(偏大型隶属函数偏大型隶属函数)22 ( ; , )0,2,212,21,.S x a bxaxaabaxbaxbabxbbabx x1ab(2) Z型函数型函数(偏小型隶属函数偏小型隶属函数) ( ; , )1( ; , ).Z x a bS x a bx1ab(3) 型函数型函数(中间型隶属函数中间型隶属函数) x1b-ab+ab( ;, ), ,( ; , )( ; ,), .S x ba bxbx a bZ x b baxb 模糊子

21、集的运算模糊子集的运算相等：相等：A = B A(x) = B(x)；包含：包含：AB A(x)B(x)；并：并：AB的隶属函数为的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)；交：交：AB的隶属函数为的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)；余：余：Ac的隶属函数为的隶属函数为Ac (x) = 1- A(x). 例例 设论域设论域X = x1, x2, x3, x4, X = x1, x2, x3, x4, x5(x5(商品集商品集),),在在X X中定义两个模糊集中定义两个模糊集: A = : A = “商质量量好商质量量好, B = “, B = “商质量量差商质量量差, , 并并

22、设设那么那么Ac = “商质量量不好商质量量不好, Bc = “商质量商质量量不差量不差.123450.80.5500.31,Axxxxx123450.10.210.860.60.Bxxxxx123450.20.4510.70,cAxxxxx123450.90.790.140.41.cBxxxxx 可见可见Ac B, Bc A. 并且并且123450.80.5510.71,cAAUxxxxx 123450.20.4500.30.cAAxxxxx 模糊子集的运算性质除了排中律以模糊子集的运算性质除了排中律以外与经典集合的运算性质一致外与经典集合的运算性质一致, , 即即AAc = XAAc =

23、X， AAc = AAc = 不一定成立不一定成立. . 模糊子集不再具有模糊子集不再具有“非此非此即彼的特点，这正是模糊性带来的本即彼的特点，这正是模糊性带来的本质特征质特征. . 设设A A是论域是论域X X中一个模糊集合中一个模糊集合, 0, 0 1, 1, 称集合称集合1.3 1.3 模糊集的分解定理模糊集的分解定理A = x | A(x) 为为A的的 程度集程度集(或或 截集截集). 模糊集模糊集A的的程度集程度集A是一个经典集是一个经典集合合, 由论域中隶属度不小于由论域中隶属度不小于的元素构成的元素构成. 显然显然, A0=X.(1) AB AB ；(2) A A；(3) (AB

24、) = A B ，(AB) = A B . 程度集的性质程度集的性质 设设A, B是两个模糊子集是两个模糊子集, , 0,1, 于是于是模糊集的分解定理模糊集的分解定理 设设A是一个模糊子集是一个模糊子集, 那么那么 即即A(x) = | 0,1，x A .0,1,AA 证明证明 由于由于1, ,( )0, ,xAAxxA 所以所以0,10,1() ( )( )( ).x AA xAxAxA x 注注 模糊集的分解定理给出了模糊集合与经模糊集的分解定理给出了模糊集合与经典集合之间的关系典集合之间的关系.1.4 1.4 模糊矩阵模糊矩阵 假设假设0rij1，那么称矩阵，那么称矩阵R = (rij

25、)mn为模糊矩阵为模糊矩阵. 显然布尔矩阵是模糊矩阵的特殊显然布尔矩阵是模糊矩阵的特殊方式方式. 当模糊方阵当模糊方阵R = (rij)nn的对角线上的的对角线上的元素元素rii都为都为1时，称时，称R为模糊自反矩阵为模糊自反矩阵. 设设A=(aij)mA=(aij)mn,B=(bij)mn,B=(bij)mn n都是模糊矩都是模糊矩阵阵. .A = B A = B aij = bij aij = bij； AB AB aijbijaijbij；AB = (aijbij)mAB = (aijbij)mn n；AB = AB = (aijbij)m(aijbij)mn n；Ac = (1- ai

26、j)mAc = (1- aij)mn.n.有限论域中的模糊集合可以表示为模糊矩阵有限论域中的模糊集合可以表示为模糊矩阵. .模糊矩阵的并、交、余运算性质模糊矩阵的并、交、余运算性质幂等律：幂等律：AA = A，AA = A；交换律：交换律：AB = BA，AB = BA；结合律：结合律：(AB)C = A(BC), (AB)C = A(BC)；吸收律：吸收律：A(AB) = A，A(AB) = A； 分配律：分配律：(AB)C = (AC )(BC)； (AB)C = (AC )(BC)；0-1律：律： AO = A，AO = O； AE = E，AE = A；复原律：复原律：(Ac)c =

27、A；对偶律：对偶律： (AB)c =AcBc, (AB)c =AcBc.1.11.1E模糊矩阵的乘积模糊矩阵的乘积 设设A = (aik)mA = (aik)ms s，B = (bkj)sB = (bkj)sn n，定，定义模糊矩阵义模糊矩阵A A 与与B B 的乘积为：的乘积为：A A B = (cij)m B = (cij)mn n，其中其中cij = (aikbkj) | 1ks .cij = (aikbkj) | 1ks . 模糊方阵的幂模糊方阵的幂 假设假设A为为 n 阶方阵阶方阵, 定义定义 A2 = A A, A3 = A2 A， ， Ak = Ak-1 A. (A B) C =

28、 A (B C)；Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn；A( BC ) = ( A B )( A C )；( BC ) A = ( B A )( C A )；O A = A O = O，I A=A I =A；AB，CD A C B D.模糊矩阵乘积运算的性质模糊矩阵乘积运算的性质注：乘积运算关于注：乘积运算关于的分配律不成立，即的分配律不成立，即( AB ) C ( A C )( B C )1.010.1I 模糊矩阵的转置模糊矩阵的转置 设设A = (aij)mn, 称称AT = (aijT )nm为为A的转置矩阵，其中的转置矩阵，其中aijT = aji.转置运算的性质转置运

29、算的性质( AT )T = A；( AB )T = ATBT，( AB )T = ATBT；( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n ；( Ac )T = ( AT )c ；AB AT BT .模糊矩阵的模糊矩阵的 截矩阵截矩阵 设设A = (aij)mn, 对恣意的对恣意的 0, 1，称，称A = (aij( )mn,为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 截矩阵截矩阵, 其中其中当当aij 时，时，aij( ) =1；当；当aij 时，时，aij( ) =0. 显然显然, A的的 截矩阵为布尔矩阵截矩阵为布尔矩阵. AB A B ；(AB) = A B ，(AB) = A

30、B ；( A B ) = A B ；( AT ) = ( A )T.设设A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn,cij( ) =1 cij (aikbkj) 存在存在k, (aikbkj) 存在存在k, aik , bkj 存在存在k, aik( ) =bkj( ) =1 (aik( )bkj( )=1;cij( ) =0 cij (aikbkj) k, (aikbkj) k, aik 或或 bkj k, aik( ) =0或或bkj( ) =0 (aik( )bkj( )=0.所以所以, cij( ) =(aik( )bkj( ).证明证明( A B ) =

31、 A B 1.5 1.5 模糊关系模糊关系 设论域设论域X X，Y Y，X X Y Y 的一个模糊子集的一个模糊子集 R R 称为从称为从X X到到Y Y 的模糊关系的模糊关系. . 模糊子集模糊子集 R R 的隶属函数为映射的隶属函数为映射R : X R : X Y Y 0,1.0,1.并称隶属度并称隶属度R (x , y )R (x , y )为为(x , y)(x , y)关于模糊关于模糊关系关系 R R 的相关程度的相关程度. . 特别地，当特别地，当 X =Y X =Y 时，称之为时，称之为 X X 上各上各元素之间的模糊关系元素之间的模糊关系. .模糊关系的运算模糊关系的运算 由于

32、模糊关系由于模糊关系 R R就是就是X X Y Y 的一个模糊的一个模糊子集子集, , 因此模糊关系同样具有模糊子集的运因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质算及性质. .设设R, R1, R2R, R1, R2均为从均为从 X X 到到 Y Y 的模的模糊关系糊关系. .相等：相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)；包含：包含：R1 R2 R1(x, y)R2(x, y)；并：并： R1R2 的隶属函数为的隶属函数为 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；交：交： R1R2 的隶属函数为的隶属函数为(R1R2 )(x, y) = R1(x,

33、y)R2(x, y)；余：余：Rc 的隶属函数为的隶属函数为Rc (x, y) = 1- R(x, y). (R1R2 )(x, y) (R1R2 )(x, y)表示表示(x, y)(x, y)对模糊关系对模糊关系“R1“R1或者或者R2R2的相关程度的相关程度, (R1R2 )(x, y), (R1R2 )(x, y)表示表示(x, y)(x, y)对模糊关系对模糊关系“R1“R1且且R2R2的相关程的相关程度度, Rc (x, y), Rc (x, y)表示表示(x, y)(x, y)对模糊关系对模糊关系“非非R R的相关程度的相关程度. .模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示 对于有限论

34、域对于有限论域 X = x1, x2, , xm X = x1, x2, , xm和和Y = y1, y2, , yn,Y = y1, y2, , yn,那么那么X X 到到Y Y 模模糊关系糊关系R R可用可用m mn n 阶模糊矩阵表示，即阶模糊矩阵表示，即R = R = (rij)m(rij)mn n，其中，其中 rij = R (xi , rij = R (xi , yj )0, 1yj )0, 1表示表示(xi , yj )(xi , yj )关于模糊关系关于模糊关系R R 的相关程度的相关程度. . 假设假设R为布尔矩阵时为布尔矩阵时, 那么关系那么关系R为普通为普通关系关系, 即

35、即xi 与与 yj 之间要么有关系之间要么有关系(rij = 1), 要要么没有关系么没有关系( rij = 0 ). 设设 R1 是是 X 到到 Y 的关系的关系, R2 是是 Y 到到 Z 的关系的关系, 那么那么R1与与 R2的复合的复合 R1R2是是 X 到到 Z 上的一个关系上的一个关系:(R1R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY . 当论域为有限时当论域为有限时, 模糊关系的合成可表模糊关系的合成可表示为模糊矩阵的乘积示为模糊矩阵的乘积.模糊关系的合成模糊关系的合成 设设X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z

36、= z1, z2, , zn, 且且X 到到Y 的模糊关的模糊关系系 R1 = (aik)ms, Y 到到Z 的模糊关系的模糊关系R2 = (bkj)sn, 那么那么X 到到Z 的模糊关系可表示为的模糊关系可表示为模糊矩阵的乘积：模糊矩阵的乘积： R1R2 = (cij)mn，其中其中cij = (aikbkj) | 1ks. 在有限论域情况下在有限论域情况下, 模糊关系合成的性模糊关系合成的性质就是模糊矩阵乘积运算的性质质就是模糊矩阵乘积运算的性质. 值得留意值得留意的是模糊关系合成关于的是模糊关系合成关于的分配律不成立的分配律不成立.模糊等价关系模糊等价关系 假设假设X X上的模糊关系上的

37、模糊关系R R满足：满足：(1)(1)自反性自反性: R(x, x) =1, : R(x, x) =1, 即即I R (I R ( rii rii =1 );=1 );(2)(2)对称性对称性: R(x, y) =R(y, x), : R(x, y) =R(y, x), 即即RT=R(RT=R( rij= rji); rij= rji); (3)(3)传送性传送性: R2: R2 R, R, 即即R2R.R2R.那么称模糊关系那么称模糊关系R R是是X X上的一个模糊等价关系上的一个模糊等价关系. . 当论域当论域X = x1, x2, , xnX = x1, x2, , xn为有限时为有限时

38、, , X X 上的一个模糊等价关系的矩阵上的一个模糊等价关系的矩阵R R称为模糊称为模糊等价矩阵等价矩阵, , 即即R R是主对角线元素是是主对角线元素是1 1的对称的对称矩阵矩阵, , 且且R2R ( (rikrkj) | 1kn rij) . 定理定理1 1 假设假设R R具有自反性具有自反性(IR)(IR)和传送和传送性性(R2R), (R2R), 那么那么 R2 = R. R2 = R. 证明证明 IR, R R IR, R R R R2 R R2 R2 R2 = R.= R. 定理定理2 2 假设假设R R是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵, ,那么对恣那么对恣意意 0, 10, 1，R

39、 R 是等价的是等价的BooleBoole矩阵矩阵. . 证明证明 (1) (1)自反性：自反性：IRIR0,1, 0,1, I I RR 0,1, I R 0,1, I R ；(2)(2)对称性：对称性：RT = R RT = R (RT)(RT) = R = R (R(R )T = R)T = R ; ; (3)(3)传送性：传送性：R2RR2R (R2) (R2) RR (R(R )2R)2R . . 定理定理3 3 假设假设R R是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵, , 那那么对恣意的么对恣意的00 1, R1, R 所决议所决议的分类中的每一个类是的分类中的每一个类是R R 决议的分类决议

40、的分类中的某个类的子类中的某个类的子类. . 证明证明 对于论域对于论域 X = x1, x2, , X = x1, x2, , xnxn，假设，假设 xi , xj xi , xj 按按R R分在一类，那么分在一类，那么有有rij(rij() = 1 ) = 1 rij rij rij rij rij(rij( ) =1) =1，即假设即假设 xi , xj xi , xj 按按R R 也分在一类也分在一类. . 所以，所以，R R 所决议的分类中的每一个类所决议的分类中的每一个类是是R R 决议的分类中的某个类的子类决议的分类中的某个类的子类. .模糊类似关系模糊类似关系 假设假设X X

41、上模糊关系上模糊关系R R满足：满足：(1) (1) 自反性自反性: R(x, x)=1, : R(x, x)=1, 即即I R (I R ( rii rii =1);=1);(2) (2) 对称性对称性: R(x, y)=R(y, x), : R(x, y)=R(y, x), 即即RT= R RT= R ( (rij= rji).rij= rji).那么称那么称R R是是X X 的一个模糊类似关的一个模糊类似关系系. . 当论域当论域X = x1, x2, , xnX = x1, x2, , xn为有限为有限时时, X , X 上的一个模糊类似关系的矩阵上的一个模糊类似关系的矩阵R R称为模

42、称为模糊类似矩阵，即糊类似矩阵，即R R是主对角线元素是是主对角线元素是1 1的对称矩的对称矩阵阵. . 定理定理4 4 假设假设R R 是模糊类似矩阵是模糊类似矩阵, , 那么对那么对恣意的正整数恣意的正整数k, Rk k, Rk 也是模糊类似矩阵也是模糊类似矩阵. . 定理定理5 5 假设假设R R 是是n n阶模糊类似矩阵，那阶模糊类似矩阵，那么存在一个最小正整数么存在一个最小正整数 k (kn ), k (kn ), 对于一对于一切大于切大于k k 的正整数的正整数 l, l, 恒有恒有Rl = Rk, Rl = Rk, 即即Rk Rk 是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵(R2k = Rk

43、). (R2k = Rk ). 此时称此时称RkRk为为R R的传送闭包的传送闭包, , 记作记作 t (R) = Rk . t (R) = Rk . 上述定理阐明，任一个模糊类似矩阵可上述定理阐明，任一个模糊类似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵诱导出一个模糊等价矩阵. .1.6 1.6 模糊映射与模糊变换模糊映射与模糊变换 设论域设论域X, Y. X, Y. 映射映射f: Xf: XF (Y)F (Y)称为从称为从X X到到Y Y的模糊映射的模糊映射. . 例如例如X = x1, x2, Y = X = x1, x2, Y = y1, y2, y3, y1, y2, y3, 那么下面的那么下面的

44、f f和和g g都是从都是从X X到到Y Y的模糊映射的模糊映射. . 121121321311,( )11,.yyxxyyf xyyxxyy 112321230.10.40.5,( )0.60.30.7,.xxyyyg xxxyyy X 到到Y 的一个模糊映射的一个模糊映射 f 可独一确定可独一确定X 到到Y 的一个模糊关系的一个模糊关系 Rf; X 到到Y 的一个模糊的一个模糊关系关系R可独一确定可独一确定X 到到Y 的一个模糊映射的一个模糊映射 fR.有时在不发生混淆的情况下有时在不发生混淆的情况下,不区分模糊关不区分模糊关系和模糊影射系和模糊影射. 假设映射假设映射T T 将将X X

45、的一个模糊子集的一个模糊子集A A映射到映射到Y Y 的一个模糊子集的一个模糊子集B,B,那么称映射那么称映射T T 为从为从X X 到到Y Y 的模糊变换的模糊变换. .假设模糊变换假设模糊变换T T 满足满足 (1) T(AB) = T(A)T(B), (1) T(AB) = T(A)T(B), (2) T( (2) T( A) = A) = T(A), T(A), 那么称那么称T T 为模糊线性变换为模糊线性变换. . 设设X =x1, x2, , xn, Y =y1, X =x1, x2, , xn, Y =y1, y2, , ym, y2, , ym, 那么对恣意的那么对恣意的X X

46、到到Y Y 的模糊关的模糊关系系R R都可以确定都可以确定X X 到到Y Y 的模糊线性变换的模糊线性变换TR(A)= TR(A)= A AR.R. 模糊变换的意义是论域的转换模糊变换的意义是论域的转换. .例例 设设X =x1, x2, x3, x4, x5,Y =y1, X =x1, x2, x3, x4, x5,Y =y1, y2 , y3 , y4, Xy2 , y3 , y4, X到到Y Y 的模糊关系的模糊关系R R为为0.50.20110.300.1.0.60.80.40.20.31000000R 假设假设A = x1, x21234511000,xxxxx 假设假设 于是于是1

47、23450.60.60.910,BxxxxxTR(B)= (0.5, 0.6, 0.9, 1, 0) R = (0.6, 1, 0.4, 0.5)12340.610.40.5.yyyyTR(A)= (1, 1, 0, 0, 0) R = (1, 0.3, 0, 1)123410.301.yyyy 于是于是第一章第一章 完完第二章第二章 模糊决策模糊决策2.1 2.1 模糊集中意见决策模糊集中意见决策 为了对论域为了对论域X =x1, x2, , xnX =x1, x2, , xn中的中的元素进展排序元素进展排序, ,由由m m个专家组成专家小组个专家组成专家小组M,M,分分别对别对X X中的元

48、素排序中的元素排序, ,得到得到m m种意见：种意见：V =v1, v2, , vm,V =v1, v2, , vm,其中其中vi vi 是第是第i i 种意见序列种意见序列, ,即即X X 中的元素的中的元素的某一个排序某一个排序. . 假设假设xj在第在第i 种意见种意见vi中排第中排第k位位, 设第设第k位的权重为位的权重为ak，那么令，那么令Bi(xj)= ak(n k )，称称 假设假设xj在第在第i 种意见种意见vi中排第中排第k位位, 那么令那么令Bi(xj) =nk, 称称1()()mjijiB xB x 1()()mjijiB xB x 为为xjxj的的BordaBorda数

49、数. .论域论域X X的一切元素可按的一切元素可按BordaBorda数的大小排序数的大小排序. .为为xj的加权的加权Borda数数. 例例 设设X =a, b, c, d, e, f , |M|= m = 4人人,v1: a, c, d, b, e, f ;v2: e, b, c, a, f , d;v3: a, b, c, e, d, f ;v4: c, a, b, d, e, f .B(a)=5+2+5+4=16; B(b)=2+4+4+3=13; B(c)=4+3+3+5=15; B(d)=3+0+1+2=6;B(e)=1+5+2+1=9; B(f )=0+1+0+0=1;按按Bor

50、da数集中后的排序为：数集中后的排序为：a, c, b, d, e, f .例例 设设6名运发动名运发动X =x1, x2, x3, x4, x5, x6 参与五参与五项全能竞赛项全能竞赛, 他们每项竞赛的成果如下：他们每项竞赛的成果如下：200m x1, x2, x4, x3, x6, x5；1500m x2, x3, x6, x5, x4, x1；跳远跳远 x1, x2, x4, x3, x5, x6；掷铁饼掷铁饼 x1, x2, x3, x4, x6, x5；掷标枪掷标枪 x1, x2, x4, x5, x6, x3. B(x1)=5+0+5+5+5=20; B(x2)=4+5+4+4+

51、4=21; B(x3)=2+4+2+3+0=11; B(x4)=3+1+3+2+3=12; B(x5)=0+2+1+0+2=5; B(x6)=1+3+0+1+1=6.按按Borda数集中后的排序为：数集中后的排序为：x2, x1, x4, x3, x6, x5.名次名次一一二二三三四四五五六六权重权重0.350.250.180.110.070.04 B(x1)=7, B(x2)=5.75, B(x3)=1.98, B(x4)=1.91, B(x5)=0.51, B(x6)=0.75.按加权按加权Borda数集中后的排序为：数集中后的排序为：x1, x2, x3, x4, x6, x5假设思索加

52、权假设思索加权Borda数排序数排序, 设权重为设权重为 设论域设论域X =x1, x2, , xn为为n个被选方个被选方案案, 在在n个被选方案中建立一种模糊优先关系个被选方案中建立一种模糊优先关系, 即先两两进展比较即先两两进展比较, 再将这种比较模糊化再将这种比较模糊化, 然然后用模糊数学方法给出总体排序后用模糊数学方法给出总体排序, 这就是模这就是模糊二元对比决策糊二元对比决策. 在在xi与与xj作对比时作对比时, 用用rij表示表示xi比比xj的优先的优先程度程度, 并且要求并且要求rij满足满足 rii = 1； 0rij1； 当当ij 时时, rij + rji = 1. 2.2

53、 2.2 模糊二元对比决策模糊二元对比决策这样的这样的rij组成的矩阵组成的矩阵R = (rij)nn称为模糊优称为模糊优先矩阵先矩阵, 由此矩阵确定的关系称为模糊优先关由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系系.模糊二元对比决策的方法与步骤模糊二元对比决策的方法与步骤 建立模糊优先关系建立模糊优先关系: 两两进展比较，建立模糊优先矩阵两两进展比较，建立模糊优先矩阵. 排序方法：排序方法： 隶属函数法隶属函数法 对模糊优先矩阵进展适当对模糊优先矩阵进展适当的数学加工处置的数学加工处置, 得到得到X中模糊优先集中模糊优先集A的隶的隶属函数属函数, 再根据各元素隶属度的大小给全体再根据各元素隶属度的大小

54、给全体对象排出一定的优劣次序对象排出一定的优劣次序.通常采用的方法通常采用的方法取小法：取小法：A(xi) =rij | 1jn, i =1, 2, , n;平均法：平均法：A(xi) =(ri1+ri2+rin)/n, i =1, 2, , n. 截矩阵法截矩阵法 对阈值对阈值 0,1, 0,1, 给出给出 截截矩阵矩阵R R = (rij( = (rij( ) )n) )nn. n. 当当 由由1 1逐渐减逐渐减小时小时, , 假设假设R R 中第中第k k行初次出现元素全等于行初次出现元素全等于1 1时时, , 那么取那么取xkxk为第一优先对象为第一优先对象( (不一定独一不一定独一)

55、. ). 再在再在R R中划去中划去xkxk所在的行与列所在的行与列, , 得到一个新得到一个新的的n-1n-1阶模糊优先矩阵阶模糊优先矩阵, ,用同样的方法获取第用同样的方法获取第二优先对象二优先对象, , 如此进展下去如此进展下去, , 可将全体对象可将全体对象排出一定的优劣次序排出一定的优劣次序. . 下确界法下确界法 先求模糊优先矩阵先求模糊优先矩阵R每一行每一行的下确界的下确界, 以最大下确界所在行对应的以最大下确界所在行对应的xk为为第一优先对象第一优先对象(不一定独一不一定独一). 再在再在R中划去中划去xk所在的行与列所在的行与列, 得到一个新的得到一个新的n-1阶模糊阶模糊优

56、先矩阵优先矩阵, 再以此类推再以此类推.2.3 2.3 模糊综合评判决策模糊综合评判决策 对一个事物的评价或评价对一个事物的评价或评价, ,经常涉及多经常涉及多个要素或多个目的个要素或多个目的, ,这时就要求根据这多个这时就要求根据这多个要素对事物作出综合评价要素对事物作出综合评价, ,而不能只从某一而不能只从某一要素的情况去评价事物要素的情况去评价事物, ,这就是综合评判这就是综合评判. .模糊综合评判决策的数学模型模糊综合评判决策的数学模型 设设X =x1, x2, , xnX =x1, x2, , xn为为n n种要种要素素( (或目的或目的), V =v1, v2, , vm), V =v1, v2, , vm为为m m种种评判评判( (或等级或等级). ). 由于各种要素所处位置不同由于各种要素所处位置不同, , 作用也作用也不一样不一样, , 可用权重可用权重A = (a1, a2, , an )A = (a1, a2, , an )来描画来描画, , 它是它是论域论域X的一个模糊子集的一个模糊子集. 对于每一个要素对于每一个要素xi , 单独作出的一个评判单独作出的一个评判 f (xi), 可看作是可看作是X到到V 的一个模糊映射的一个模糊映射 f , 由由 f 可诱导出可诱导出X到到V 的一的一