高考数学函数零点专题

1、专题2.函数的零点高考解读求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性;掌握零点存在性定理.增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力.知识梳理1.函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点.(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x) =f (x) g(x)的零点就是方程f(x) = g(x)的根，即函数y = f(x)的图象与函数y=g(x)的图 象交点的横坐标.(3)零点存

2、在性定理如果函数y=f(x)在区间a, b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0,那么，函数y = f(x)在区间(a, b)内有零点，即存在 cC (a, b)使得f(c) = 0,这个c也就是方程f(x) = 0的根.注意以 下两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点.,'' fI f，(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解.2.在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题 方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x),g(x

3、),即把方程写成f(x) =g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象 的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.高频考点突破考点一函数的零点判断 jr'-.-例1、2017课标3,理11已知函数f(x) x2 2x a(ex1 ex1)有唯一零点，则a=A.1B. 1C. -D. 1232【变式探究】(1)函数f(x) =ex + x 2的零点所在的区间是()A. (0,1)B. (1,1)C. (1,2)D . (2,3) 22(2)已知偶函数y=f(x), xCR满足：f(x) =x2-3x(x>0),若函数9«)=则y=f(x)

4、g(x)的零点个 数为()A. 1B. 3C. 2D. 4【方法技巧】函数零点的求法(1)直接求零点：令f(x) = 0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a, b上是连续不断的曲线，且 f(a) -f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点.【变式探究】设f(x)=lnx + x2,则函数f(x)的零点所在的区间为()A. (0,1)B . (1,2)C . (2,3)D . (3,4)考点

5、二、二次函数的零点例 2、已知函数 f(x) =x2+ ax+2, aC R(1)若不等式f (x) <0的解集为1,2,求不等式f(x)>1 x2的解集；(2)若函数g(x)=f(x)+x2+1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数 a的取值范围.【方法技巧】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.【变式探究】已知f (x) =x2+(a21)x+(a 2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.考点三函数零点的应用例3、2017课标1,理21已知函数f(

6、x) ae2x (a 2)ex x.(1)讨论f (x)的单调性；I|>/ /1'-二 J LT、(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.【变式探究】已知函数 f(x)=函数g(x)=b f(2 x),其中bC R若函数y= f(x) g(x)恰有4个零 点，则b的取值范围是()A 7、777A. (-,)B.(-)C.(0-)D. (-,2)4444【方法规律】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若 方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变 得直观、简单，这也体现了数形结合

7、思想的应用.【变式探究】对于实数mi n定义运算“"：m门=设f (x) = (2x1)(x1),且关于x的方程f (x) =a恰有三个 互不相等的实数根 xi, x2, x3,则xi + X2+x3的取值范围是 .考点四、分段函数的模型x 1, x 0, . . 1例4、2017课标3,理15设函数f (x)则满足f(x) f(x -) 1的x的取值范围是2x, x 02【变式探究】已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装 x千件并全部销售完，每千件的销售收入为Rx)万元，且R(x) =(1)写出年利润 刈万元

8、)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润=年销售收入一年总成本)【方法技巧】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本(均值)不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时， 应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值.【变式探究】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费 900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数 75人为止.每团 乘飞机，

9、旅行社需付名航空公司包机费 15000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？货，/ I .高考链接1.12017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1, 2, 3.记Q为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q, Q, Q中最大的是 .记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p, p2,伊中最大的是 ._ Ixl,x m 一2.【2016高考山东理数】已知函数 f(

10、x) 2其中m 0,若存在实数b,使得关于xx 2mx 4m, x m的方程f (x) =b有三个不同的根，则 m的取值范围是 .3.12016高考上海理数】已知 a R,函数f(x) log2(- a).x(1)当a 5时，解不等式f (x) 0；(2)若关于x的方程f (x) log2(a 4)x 2a 5 0的解集中恰好有一个元素，求 a的取值范围；1 一 ，一、 ，(3)设a 0,若对任意t 3,1,函数f(x)在区间t,t 1上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.4.【2015高考浙江，理7】存在函数f(x)满足，对任意x R都有()2A. f(sin2x) sin x B

11、. f (sin2x) x xC. f(x2 1) x 1D. f(x2 2x) x 15.【2015高考湖南，理15】已知f(x)3x x a2,右存在头数b,使函数g (x) f (x) b有两个手x , x a6.【2015高考江苏，13】已知函数f(x) |lnx|, g(x)0,0 x 1|x2 4| 2,x1,则方程 1f(x) g(x)1 1实点，则a的取值范围是.根的个数为f x7.12015高考天津，理8】已知函数2 x, x 2,2x 2 , x 2,函数 g xb f 2 x ,其中b R,若函数y f x g x恰有4个零点，则b的取值范围是()7 ,(A) 4(B)7

12、,4(C)4,28.【2015高考浙江，理10】已知函数9.关系V【2015高考四川，理kx b一一e (e 2.718f(x)2 3,x 1 xlg(x2 1),x 1,则f(f( 3)f (x)的最小值是.13】某食品的保鲜时间为自然对数的底数,k、V (单位：小时)与储存温度 x (单位：C) b为常数)。若该食品在0 c的保鲜时间设计满足函数192小时,在22 C的保鲜时间是48小时，则该食品在33 C的保鲜时间是小时f 1 x10.【2015局考上海，理10】设f x的最大值为.0,2的反函数，则y f x12.【2015高考浙江，理18】已知函数 上的最大值.f(x)axb(a,b

13、R),记 M (a,b)是 | f (x)| 在区间1,1(1)证明：当 |a| 2时，M(a，b) 2；(2)当a, b满足M(a，b) 2,求1a| |b|的最大值.13. (2014 湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p,第二年的增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.B.C.D. 114. (2014 湖南卷)已知函数f (x) =x2+ex(x<0)与g(x) = x2+ln( x + a)的图像上存在关于 y轴对称 的点，则a的取值范围是()A. (8, )B. (8, )C.D.15. (2014 天津卷)已知函数 f(x) = |x2

14、+3x| , xC R.若方程f (x) a| x1| =0恰有4个互异的实数 根，则实数a的取值范围为 .16. (2014 浙江卷)已知函数 f (x) = x3+ax2+bx+c,且 0<f ( 1) = f ( 2) = f ( 3) < 3,则()A. c<3B. 3<c<6C. 6Vg 9D. c>917. (2014 全国卷)若函数f (x) = cos2x+asin x在区间是减函数，则 a的取值范围是 .CD18. (2014 江西卷)已知函数 f(x) = 5|x|, g(x) =ax2-x(a R).若 fg(1) =1, Ma=()A. 1B.